小结教案范文

2.4.1

向量在平面几何中的应用

一、教学目标

1．知识与技能：

运用向量的有关知识（向量加减法与向量数量积的运算法则等）解决平面几何和解析几何中直线或线段的平行、垂直、相等、夹角和距离等问题

2．过程与方法：

通过应用举例，让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-----向量法和坐标法

3．情感、态度与价值观：

通过本节的学习，让学生体验向量在解决几何问题中的工具作用，增强学生的积极主动的探究意识，培养创新精神。

二、教学重点难点

重点：理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法则解决几何问题.

难点：选择适当的方法，将几何问题转化为向量问题加以解决.

三、教学方法

本小节主要是例题教学，要让学生体会思路的形成过程，体会数学思想方法的应用。教学中，教师创设问题情境，引导学生发现解题方法，展示思路的形成过程，总结解题规律。指导学生搞好解题后的反思，从而提高学生综合应用知识分析和解决问题的能力。

四、教学内容安排：

教学

环节

复

习

准

教学内容

师生互动

设计意图

课前复习任务（由学生总讨论：

结成书面材料）

让学生回（1）若O为ABC重心,顾学过的知识有力于本节课（1）向量的线性运算是则OA+OB+OC=0

怎样的? （2）平面向量共线的含义及条件是什么？

（3）平面向量的基本定（2）水渠横断面是四边形的进行

ABCD,DC=1AB,且2|AD|=|BC|,则这个四边形为等腰梯形.类比几何元

1 / 9

备

理及向量的坐标运算有素之间的关系,你会想到哪些？

向量运算之间都有什么关（4）平面向量的数量积系? 中有哪些主要内容？

平移、全等、相似、长度、夹角等几何性质可以由向量线性运算及数量积表示出来：

新

课

引

入

讨论（让学生回顾学过的

让学生掌知识，有利于本课的顺利握用向量方法进行）：（１）向量运算与解平面几何问几何中的结论＂若ab，题的步骤：

则|a||b|，且a,b所在直线建立平面几何

例如，向量数量积对应着平行或重合＂相类比，你与向量的联几何中的长度.如图：

平有什么体会？（２）由学系，用向量表行四边行ABCD中，设AB＝a,AD＝b，则ACABBCab（平生举出几个具有线性运算示问题中涉及的几何实例．（3）向量平的几何元素，行、垂直的判定方法

将平面几何问题转化为向量．

通过向量运算研究几何运算之间的关系，如距离、夹角等．

把运算结果＂翻译＂成几何关系．

移），DBABADab，ADb|AD|2（长22度）．向量AD，AB的夹角为DAB

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例1：如图2-55，已知平问题1

证明AECF是平

通过分步行四边形ABCD中，E、行四边形的方法有什么？

设问，引导学F在对角线BD上，并且学生思考，回答

生展开思维过BE=FD，求证AECF是问题2

选择合适的方法，程，让学生体平行四边形。

问如何转化为向量条件表会分析、解决示？

问题的方法

小结：本题的关键选择适学生思考，回答，完成证当的基底，把四边形明（选一名学生板书）

应

用

举

例

AECF的一组对边表示问题3

由学生总结解题出来

例2：求证平行四边形对问题4

如何证明？

角线互相平分．

学生思考，回答

本题所用方法比较特方法

老师点评学生思路：要证殊，学生不易明两条对角线互相平分，想到，教师在分析学生提供的思路的基础上，点出方法，又不直接说怎小结：法一注重向量的坐可以证明标运算和解析法的运用：AMMC,BMMD，或法二选取基底AB和11AMAC,BMBD。22AD，设未知数，列向量方程，解方程组的待定系前一种方法可以建立平面么做，引导学数得结论，体现了方程思直角坐标系，将向量用坐生再去探索，想的运用。

标表示后即可；后一种方让学生体验思法就是课本提供的方法。

路的形成过师生共同讨论交流，由教程，学会分析师给出证明过程

问题的方法。

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例3：已知正方形ABCD问题5

如何证明？能否本题用坐（图2-57），P为对角线用坐标法完成？学生思标法。尤其是AC上任意一点，考，回答

PEAB于点第二种方法用E，

老师点评学生向量坐标法证PFBC于点F，连接思路：要证明两条直线明比较简单，DP，EF。求证DPEF。

（段）互相垂直，可以证可见选定方法

小结：结合图形特点，选定正交基底，用坐标表示向量进行运算解决几何问题，体现几何问题代数化的特点，数形结合的数学思想体现的淋漓尽致。向量作为桥梁工具使得运算简练标致，又体现了数学的美。有关长方形、正方形、直角三角形等平行、垂直等问题常用此法。

课

堂

练

习

练习1．

求证：平行四由向量的数量积的性质，进一步巩固所边形两条对角线的平方线段的长的平方可看做相学知识，归纳和等于四条边的平方和．

应向量自身的内积

方法

明kDPkEF=1，也可以证是关键，学生明两向量数量积为0。前可从中体会，一种方法可以建立平面直形成思维习角坐标系，点用坐标表示惯。

用斜率公式即可；后一种方法就是课本提供的方法，将向量用坐标表示后进行向量的数量积运算即可。

师生共同讨论交流，由教师指导学生给出证明过程

练习2．如图，在平行四要证四边形OBCA为矩形，边形OBCA中，OAa，只需证一角为直角．

OBb，|ab||ab|，

求证四边形OBCA为矩

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形

本节主要研究了用向量师生交流共同完成

归纳

小结

知识解决平面几何问题；掌握向量法和坐标法，以及用向量解决平面几何问题的步骤

练习：A组1、2及B组学生独立完成

布置

作业

1 作业：习题2-4A1及习题2-4B1

2.4.2

向量在物理中的应用举例

一、教学目标：

1．知识与技能：

运用向量的有关知识（向量加减法与向量数量积的运算法则等）解决简单的物理问题. 2．过程与方法：

通过应用举例，让学生理解用向量知识研究物理中的相关问题的“四环节” 和生活中的实际问题，培养学生的探究意识和应用意识，体会向量的工具作用. 3．情感、态度与价值观：

通过本节的学习，让学生体验向量在物理问题中的工具作用，增强学生的积极主动的探究意识，培养创新精神。

二、教学重点难点：

重点：利用向量方法解决与物理相关的实际问题

难点：选择适当的方法，建立以向量为主的数学模型，把物理问题转化为数学问题

三、教学方法

本小节主要是例题教学，要让学生体会思路的形成过程，体会数学思想方法的应用。教学中，教师创设问题情境，引导学生发现解题方法，展示思路的形成

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帮助学生总结知识，归纳方法

巩固所学方法，规范解题步骤

过程，总结解题规律。指导学生搞好解题后的反思，从而提高学生综合应用知识分析和解决问题的能力。

教学内容安排：

四、教学内容安排：

教学

环节

教学内容

复习引入，设置情景

师生互动

讨论：出示相关的图片资料或多媒体设计意图

让学生回顾学过的知识有力于本引导学生回顾用向量法演示，设置问题情景

解决平面几何问题的基两个人提一个旅行包,夹角越大越节课的进行

本思维过程，为学习用费力. 向量方法解决物理以及复

习

准

备

在单杠上做引体向上运动,两臂夹生活中的问题奠定理论角越小越省力. 与方法的基础. 观察思考、探索思路

引引导学生从数学的角度解释这些现象，探讨用向量知识来表示问题中的物理量，并利用向量的线性关系表示各物理量之间的关系. 设｜F1｜=｜F2｜

①当θ逐渐增大时，|F1|的大小怎样变化，为什么？

②θ为何值时，｜F1｜最小？最小值是多少？

③θ为何值时，|F1|=|G|？为什么？(F= F1+ F2) 新

课

物理中的向量：

讨论：力是向量，在不考虑作用点的用向量知识研①

物理中有许多量,比情况下可利用向量运算法则进行计究物理中的相关问如力、速度、加速度、算。

位移都具有大小和方题的“四环节”：

1.一质点在运动中每一时刻都有一把物理问题转化为向，因而它们都是向量.

个速度向量。例如，“东北风30m/s”数学问题.2.建立以

6 / 9

引

入

②

力、速度、加速度、可用图2-64中的有向线段来表示。

位移的合成就是向量的

加法,因而它们也符合向量加法的三角形法则和平行四边形法则. 力、速度、加速度、位移的分解也就是向量的分解,运动的叠加也用到了向量的加法. ③

动量mv是数乘向量. ④

力所做的功就是作用力F与物体在力F的作用下所产生的位移s的数量积. ⑤

用向量研究物理问题的方法:首先把物理问题转化成数学问题,即将物理量之间的关系抽象成数学模型,然后利用建立起来的数学模型解释和回答相关的物理现象. ⑥

探究：学生举出几个关于力、速度、加速度、位移的例子. 向量为主题的数学模型.3.求出数学模型的有关解------理论参数值.4.回到问题的初始状态,解释相关的物理现象.

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例1：如图2-63所示，问题1

证明AECF是平行四边形的

本题所用方法是求两个力F1、F2的合力方法有什么？

F的大小（精确到0.1N）学生思考，回答

和方向（精确到分）

应

用

举

例

建立以向量为主的数学模型，把物理问题2

选择合适的方法，问如何转化问题转化为数学问为向量条件表示？

题来解决。并通过小结：本题的关键选择学生思考，回答，完成证明（选一名两种方法对比引导适当的基底，把四边形学生板书）

AECF的一组对边表示问题3

由学生总结解题方法

出来

例2：河水从东向西流，问题3如何解？学生思考，回答

本题所用方法学生探索，体验思路的形成过程，学会分析问题的方法。

流速为2m/s，一轮船以

老师点评学生思路：

由学是建立以向量为主2m/s垂直于水流方向生思考轮船实际航行的速度是水流速的数学模型，把物向北横渡，求轮船实际和船速的合速度，转化为向量加法运理问题转化为数学航行的方向和航速（精算。

确到0 .1m/s）（图2-65）

练习1．某人在静水中游解决此类行船问题的关键在于＂水速进一步巩固所问题来解决。

课

堂

练

习：

泳,速度为43km/h⑴如+船速=船实际速度”,注意到速度是一学知识，归纳方法

果他径直游向河对岸,水个向量,既有大小,又有方向. 流速度为4km/h,那么他

实际上沿什么方向前

进?速度大小为多少?⑵他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向

前进?实际前进的速度

大小为多少? 练习2．如图,用两根分解决此类问题要先依题意将物理向量

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别长52m和10m的绳子用有向线段来表示,利用向量加法的平将100N的物体吊在水行四边形法则,将物理问题转化为数学平屋顶

中向量加法,然后由已知条件进行计上,平衡后G点距屋顶的算. 距离恰好为5m,求A处受力的大小. 本节主要研究了用向量归

纳

小

结

师生交流共同完成用向量知识研帮助学生总结知知识解决物理问题；掌究物理中的相关问题的“四环节”：

1.识，归纳方法

握向量法和坐标法，以把物理问题转化为数学问题.2.建立以及用向量解决物理问题向量为主题的数学模型.3.求出数学模的步骤

型的有关解------理论参数值.4.回到问题的初始状态,解释相关的物理现象.

练习：1A组1、2及B学生独立完成

巩固所学方法，规范解题步骤

布

置

作

业

组1、2 作业：习题2.4A组3、4及B组3

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