数轴表示根号13课时教学实录

第十七章

勾股定理

第课时

1.利用勾股定理,能在数轴上找到表示无理数的点.

2.进一步学习将实际问题转化为直角三角形的数学模型,并能用勾股定理解决简单的实际问题.

1.经历在数轴上寻找表示无理数的点的过程,发展学生灵活运用勾股定理解决问题的能力.

2.在用勾股定理解决实际问题的过程中,体验解决问题的策略,发展学生的动手操作能力和创新精神.

3.在解决实际问题的过程中,学会与人合作,并能与他人交流思维过程和结果,形成反思的意识.

1.在利用勾股定理寻找数轴上表示无理数的点的过程中,体会勾股定理的重要作用,并从中获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建立自信心.

2.在解决实际问题的过程中,形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯.

【重点】

能利用勾股定理在数轴上表示无理数.

【难点】

利用勾股定理寻找直角三角形中长度为无理数的线段.

【教师准备】

三角板、直尺、圆规.

【学生准备】

复习尺规作图的有关知识,准备三角板、直尺、圆规、铅笔.

导入一:

[过渡语]

上一节课,我们学会了利用勾股定理解决生活中的实际问题.本节课我们将继续研究勾股定理的综合运用.

我们知道数轴上的点有的表示有理数,有的表示无理数,你能在数轴上找到表示

的点吗?表示

的点呢?

[设计意图]

在七年级时,学生只能找到数轴上的表示有理数的点,而对于表示像,这样的无理数的点却找不到.学习了勾股定理后,这样的问题就可以得到解决.由旧入新,开门见山导入新课.

导入二:

[过渡语]

同学们,我们一起来欣赏一幅图片:

这个美丽的图案是怎么画出来的呢?它依据的是什么数学知识?

[设计意图]

以图案导入,在直观形象的图案欣赏中吸引了学生的注意力,加上巧妙设问,为新课的展开做好了铺垫.

1.利用勾股定理证明HL定理

[过渡语]

让我们一起来探究下面的问题:

在八年级上册中,我们曾经通过画图得到结论:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.学习了勾股定理后,你能证明这一结论吗?

师生共同画图,写出已知、求证.引导学生关注画图的过程,思考哪些元素相等.

已知:如图所示,在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,AB=A'B',AC=A'C'.

求证:Rt△ABC≌Rt△A'B'C'.

〔解析〕

要证明Rt△ABC≌Rt△A'B'C',难以找到锐角对应相等,只有找第三边相等,发现可以根据勾股定理得到BC=,B'C'=,容易得到BC=B'C'.

证明:在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,根据勾股定理,得:

BC=,B'C'=.

又AB=A'B',AC=A'C',

∴BC=B'C'.

∴△ABC≌△A'B'C'(SSS).

2.利用勾股定理在数轴上表示无理数

思路一

[过渡语]

下面我们回到导入一的问题,一起来看:

我们知道数轴上的点有的表示有理数,有的表示无理数,你能在数轴上找到表示

的点吗?表示的点呢?

学生回忆以前的作法,并运用勾股定理计算,长为的线段是两条直角边的长都为1的直角三角形的斜边.

学生尝试在数轴上找到表示

的点.

OB是以数轴的单位长度为边的正方形的对角线,以数轴的原点为圆心、OB长为半径画弧,交数轴正半轴于点A,则点A表示的数是.

小组交流讨论:找到长为的线段所在的直角三角形.

教师可指导学生寻找长为,……这样的包含在直角三角形中的线段.逐步引导学生得出,由于在数轴上表示的点到原点的距离为,所以只需画出长为的线段即可.设c=,两直角边为a,b,根据勾股定理得a2+b2=c2,即a2+b2=13,若a,b为正整数,则13必须分解为两个平方数22的和,即13=4+9,a=4,b=9,则a=2,b=3.所以长为的线段是直角边长为2,3的直角三角形的斜边.

学生在数轴上画出表示的点.

教师根据巡视情况指导步骤如下:

(1)在数轴上找到点A,使OA=3;

(2)作直线l垂直于OA,在l上取一点B,使AB=2;

(3)连接OB,以原点O为圆心、以OB为半径作弧,弧与数轴交于点C,则点C即为表示的点.

学生自由作图,教师适当指导.利用勾股定理作出长为,,……的线段,按照同样方法,在数轴上画出表示,,……的点.

[设计意图]

利用勾股定理和数轴上的点表示实数,将数与形进一步联系在一起,渗透数形结合思想,加深对勾股定理、数轴和实数的理解.

思路二

引导学生观察图案发现:

图形由若干个直角三角形形成,是根据我们所学的勾股定理来完成的.

最后教师总结画图的方法:先构造出直角边长为1的等腰直角三角形,并以前一个三角形的斜边及长度为1的线段为直角边,以此向外画直角三角形,就可以得到问题中的图案了.

提问:我们知道是两条直角边的长都为1的直角三角形的斜边的长,可是在数轴如何表示出?如何表示出呢?

学生根据观察的结果思考在数轴上如何表示出,.教师根据情况指点.

追问:你能在数轴上找出表示的点吗?

学生讨论:利用勾股定理把长为的线段看成一个直角三角形的斜边,那么两条直角边长分别是哪两个正整数? 222

学生发现()=2+3后,尝试作图,教师讲解,师生再共同完成.

作法:在数轴上找到点A,使OA=3;过点A作直线l垂直于OA,在l上取一点B,使AB=2,连接OB,以原点O为圆心、以OB为半径作弧,弧与数轴交于点C,则点C即为表示的点.

[设计意图]

通过观察感知,讨论分析,规范作图,一步紧扣一步,让学生明白如何利用勾股定理在数轴上找到表示无理数的点.

[知识拓展]

在数轴上表示无理数时,将在数轴上表示无理数的问题转化为画长为无理数的线段问题.第一步:利用勾股定理拆分出哪两条线段长的平方和等于所画线段(斜边)长的平方,注意一般其中两条线段的长是整数;第二步:以数轴原点为直角三角形斜边的顶点,构造直角三角形;第三步:以数轴原点为圆心,以斜边长为半径画弧,即可在数轴上找到表示该无理数的点.

3.例题讲解

(补充)如图所示,∠B=∠D=90°,∠A=60°,AB=4,CD=2.求四边形ABCD的面积.

学生讨论:如何构造直角三角形?

比较发现:可以连接AC,或延长AB,DC交于F,或延长AD,BC交于E,根据本题给定的角应选后两种,进一步根据本题给定的边选第三种较为简单.

解:延长AD,BC交于E,如图所示.

∵∠A=60°,∠B=90°,∴∠E=30°.

∴AE=2AB=8,CE=2CD=4, 22222∴BE=AE-AB=8-4=48,BE==4.

DE2=CE2-CD2=42-22=12,DE==2.

∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE= AB·BE- CD·DE=6.

[解题策略]

不规则图形的面积,可转化为特殊图形求解,本题通过将图形转化为直角三角形的方法,把四边形面积转化为三角形面积之差.

师生共同回顾本节课所学主要内容:

1.用勾股定理在数轴上表示无理数,构造长为无理数的线段放在直角三角形中,有时是直角边,有时是斜边.

2.求不规则图形的面积,应用割补法把图形分解为特殊图形,四边形中常常通过作辅助线构造直角三角形,以利用勾股定理.

1.如图所示,长方形OABC的边OA长为2,边AB长为1,OA在数轴上,以原点O为圆心,对角线OB的长为半径画弧,交数轴正半轴于一点,则这个点表示的实数是

(

)

A.

B.2

C.

D.2.5

解析:∵长方形OABC的长OA为2,宽AB为1,∴由勾股定理得OB===,∴这个点表示的数是.故选C.

2.如图所示,以数轴的单位长度线段为边作一个正方形,以表示数1的点为圆心,正方形对角线长为半径画弧,交数轴于点A,则点A表示的数是

(

)

A.-

B.-1+

C.-1-

D.1-

解析:数轴上正方形的对角线长为=,由图可知表示1的点和点A之间的距离为.∴点A表示的数是1-.故选D.

3.如图所示,数轴上点A所表示的数为a,则a的值是

.

解析:图中直角三角形的两直角边长为1,2,∴斜边长为=,∴表示-1的点和点A之间的距离为,∴a的值是-1+.故填-1+.

4.在平静的湖面上有一支红莲,高出水面1 m,一阵风吹来,红莲吹到一边,花朵齐及水面,已知红莲移动的水平距离为2 m,求这里的水深是多少.

解:如图所示,AD是红莲高出水面部分,即AD=1,点B是红莲入泥处(根部).设BD=x,则AB=1+x.在Rt△BCD中,CD2+BD2=BC2,即22+x2=(1+x)2.解得x=,故这里的水深为 m.

1.利用勾股定理证明HL定理

2.利用勾股定理在数轴上表示无理数

3.例题讲解

例题

第3课时

一、教材作业

【必做题】

教材第27页练习第1,2题;教材第28页习题17.1第6,7,8题.

【选做题】

教材第29页习题17.1第11,12,13,14题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.如图所示,正方形OABC的边长为2,OA在数轴上,以原点为圆心,对角线OB的长为半径画弧,交数轴正半轴于一点D,则点D表示的实数是(

)

A.5

B.2

C.

D. 22.如图所示,OA=OB,数轴上点A表示的数为x,则x-13的立方根是

(

)

A.-13

B.--13

C.2

D.-2 3.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,边AC落在数轴上,点A表示的数是1,点C表示的数是3.以点A为圆心、AB长为半径画弧交数轴负半轴于点B1,则点B1所表示的数是

(

)

A.-2

B.-2 C.1-2

D.2-1 【能力提升】

4.如图所示,正方形网格中,每个小正方形的边长为1,则网格上的三角形ABC中,长为无理数的边有

(

) A.0条

B.1条

C.2条

D.3条

5.如图所示,以数轴的单位长度线段为边作一个正方形,以表示数2的点为圆心,正方形对角线长为半径画半圆,交数轴于点A和点B,则点A表示的数是

,点B表示的数是

.

6.如图所示,在Rt△AOB中,OB=1,AB=2,以原点O为圆心,OA为半径画弧,交数轴负半轴于点P,则点P表示的实数是

.

7.如图所示,4×4方格中每个小正方形的边长都为1.

(1)直接写出图(1)中正方形ABCD的面积及边长; (2)在图(2)的4×4方格中,画一个面积为8的格点正方形(四个顶点都在方格的格点上),并把图(2)中的数轴补充完整,然后用圆规在数轴上表示实数.

【拓展探究】

8.如图所示,老师在讲实数时画了一个图,即以数轴的单位长度为边长作一个正方形,然后以原点为圆心,正方形的对角线的长为半径画弧,交数轴于点A,作这样的图是用来说明

.

(1)点A表示的数x为

;

(2)试比较x与1.4的大小; (3)你能否用类似的方法在数轴上分别作出表示,- 的点B和点C呢?

【答案与解析】

1.B(解析:由勾股定理,得OB==2,则OD=OB=2.故选B.) 2322.D(解析:根据图可知A点的横坐标x的值为-=-,则x-13=5-13=-8,∵(-2)=-8,∴x-13的立方根是-2.故选D.) 3.C(解析:根据题意,得AC=3-1=2,∵∠ACB=90°,AC=BC,∴AB===2,∴点B1表示的数是1-2.故选C.) 4.D(解析:根据图中所示,利用勾股定理求出每条边长,然后根据无理数的定义即可得出答案.根据题意得AC=2,AB=,BC=,所以长为无理数的边有3条.故选D.) 5.2-

2+(解析:由图可知,正方形的边长是1,所以对角线长是,因此,点A表示的数是2-,点B表示的数是2+.) 6.-(解析:由勾股定理,得OA===,由半径相等,得OP=OA=,故答案为-.) 7.解:(1)正方形的边长是=,面积为×=5. (2)如图所示.

8.解:数轴上的点可以表示无理数

(1)

(2)∵x=2,1.4=1.96,2>1.96,∴x>1.4. (3)如图所示.

22

本节课注重数学与生活的联系,注重数学知识的应用,从学生认知规律和接受水平出发,循序渐进地引入新课,成功地引导学生会将长为无理数的线段看成一个直角三角形的斜边,再按照尺规作图的要求,在数轴上找出表示无理数的点.

由于学生尺规作图的能力较差,学生在确定了作图思路之后,却难以按照尺规作图的步骤完成作图.

教师指导在数轴上找出表示无理数的点,示范作图步骤.教学中,根据学生的基础情况,适当进行复习,帮助学生解决学习中的困难.

练习(教材第27页) 1.

解:如图所示. 2.解:(1)∵AD是等边三角形ABC的BC边上的高,∴BD=BC=×6=3,∴在Rt△ABD中,AD===3. (2)S△ABC=×BC×AD=×6×3=9.

习题17.1(教材第28页) 1.解:(1)c===13. (2)b===. (3)a===.

2.解:如图所示,AC=3 m,BC=4 m,而在Rt△ABC中,∠C=90°,∴AB===5(m),∴AC+AB=3+5=8(m),即木杆折断之前高为8 m.

2223.解:由题意可知OA⊥OB.在Rt△AOB中,由勾股定理得AB=OA+OB.因为OA=2.4,OB=0.7,222所以AB=2.4+0.7=5.76+0.49=6.25,所以AB==2.5.

4.解:由题意可知∠C=90°,AC=40-21=19(mm),BC=60-21=39(mm).在Rt△ABC中,有AB2=AC2+BC2,所以AB2=192+392=361+1521=1882,所以AB=≈43.4(mm),即A,B两孔中心的距离约是43.4 mm. 22222225.解:如图所示,∠B=90°,CB=5 m,CA=7 m,由勾股定理得CA=CB+BA,所以BA=CA-CB=7-25=49-25=24,所以BA==2≈4.9(m).

6.提示:作法有多种,例如:以4和2为直角边长画直角三角形,用勾股定理求得这个三角形的斜边长为=.具体作法是:如图所示,以2和4为直角边长作直角三角形,则斜边OA=,再以点O为圆心,OA为半径画弧,交数轴正半轴于点P,则点P表示的数即为.

7.解:(1)如图(1)所示,在△ABC中,∠C=90°,AB=c,∠A=30°,则BC=AB=c,AC== =c. (2)222如图(2)所示,在△ABC中,∠C=90°,AB=c,∠A=45°,∴BC=AC.设BC=AC=x,则由AC+BC=AB22222得x+x=c,即2x=c,∴x=c,∴BC=AC=c.

8.解:(1)因为∠C=90°,AC=2.1,BC=2.8,所以S△ABC=AC·BC=×2.1×2.8=2.94. (2)因为∠C=90°,所以AB2=AC2+CB2=2.12+2.82=12.25,所以AB=3.5. (3)因为S△ABC=AC·BC=AB·CD,所以AC·BC=AB·CD,所以CD===1.68.

9.解:如图所示,过A作AD⊥BC于D,∵AB=AC,∴BD=BC=32 mm.在Rt△ABD中,由勾股定理得AD===8≈82(mm),∴l≈82 mm.

10.解:如图所示,设水深

OC=x尺,则OB=OA=(x+1)尺,AC=×10=5(尺).在Rt△ACO中,∠OCA=90°.由勾股定理得OC2=OA2-AC2,∴x2=(x+1)2-52,∴x=12,∴OC=12尺,AO=OB=13尺.答:水深12尺,芦苇长13尺.

11.解:∵∠C=90°,∠A=30°,∴AB=2BC.设BC=x,则AB=2x,由勾股定理得AB=AC+BC,即222(2x)=2+x,∴x=,2x=,∴斜边AB的长为.

12.解:由题意知拼成的大正方形的面积为5,边长为,拼图如图所示.

222

13.证明:∵△ACD是等腰直角三角形,∴可设AB=BD=BC=k,则AC=CD=k,∴S月形AGCE+S月形DHCF=S2半圆AEC+S半圆DFC+S△ADC-S半圆ACD=π+AC·CD-πk=AC·CD,∴图中两个月形图案AGCE和DHCF的面积之和等于Rt△ACD的面积. 14.证明:如图所示,连接BD,∵△ACB与△DCE都是等腰直角三角形,∴CA=CB,CE=CD,∠ACB=∠ECD=90°,∴∠ACE=∠BCD.在△ACE与△BCD中, ∴△ACE≌△BCD,∴BD=AE,∠CDB=∠CEA=45°,∴∠ADB=∠CDE+∠CDB=45°+45°=90°,∴BD2+AD2=AB2,2222222222即AE+AD=AB.又∵AB=AC+BC=2AC,∴AE+AD=2AC.

本节课是在学习了勾股定理基础上进一步让学生灵活运用勾股定理解决问题.以前我们只能找到数轴上的一些表示有理数的点,而对于像,……这样的无理数,表示它们的点却找不到的情况下展开本节课,利用勾股定理把长为(n为非负整数)的线段看成一个直角三角形的斜边,进而在数轴上画出表示的点,从而加深对“实数与数轴上的点一一对应”的理解.在教学中,给学生足够的时间思考如果直角三角形的斜边长为(n为非负整数),那么两条直角边长分别是哪两个正整数?然后再按照步骤进行作图.

如图所示,OP=1,过P作PP1⊥OP且PP1=1,得OP1=;再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1,得OP2=;又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1,得OP3=2;…;依此法继续作下去,得OP2016=

.

〔解析〕

由勾股定理得OP4==,OP1=,OP2=,OP3=2=,以此类推得OPn=,∴OP2016=.故填.

[解题策略]

本题考查了勾股定理的运用,解题的关键是由已知数据找到规律.