3. 波的图像PPT配套优秀教学设计内容

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波的图像

[学习目标]

1.知道图像中横、纵坐标各表示的物理量，理解波的图像的物理意义.2.理解波的图像和振动图像的区别.3.会处理由波的双向性和周期性引起的多解问题．

一、横波的图像

[导学探究]

如图1所示是横波的演示仪，左图中各质点处在平衡位置，右图是机械波向右传播时某时刻各质点的位置．在右图中，若以第一个质点所在平衡位置为坐标原点、以各质点所在的平衡位置为x轴，并取向右为正方向，质点振动的方向为y轴，并取向上为正方向，建立坐标系，并把各质点用平滑的曲线连接起来，这就是波的图像．思考下列问题：(1)画出这个图像．(2)某个质点的横、纵坐标表示什么意义？(3)整条图线有什么物理意义？

图1 答案

(1)

(2)横坐标表示质点的平衡位置，纵坐标表示该时刻质点离开平衡位置的位移

(3)表明了该时刻各质点的位置

[知识梳理]

1．波形图

若以横坐标x表示在波的传播方向上各质点的平衡位置，纵坐标y表示该时刻各个质点偏离平衡位置的位移，规定位移的方向向上为正值，向下为负值，则在xOy坐标平面上，描出该时刻各质点的位置(x，y)，用平滑曲线将各点连接起来，就得到这一时刻横波的图像．波的图像有时也称为波形图，简称波形．

2．正弦波：波形图是正弦曲线的波，又称为正弦波．

3．图像的物理意义

直观地表明了离波源不同距离的各振动质点在某一时刻的位置．

[即学即用]

判断下列说法的正误．

(1)波的图像反映的是某一时刻介质中各质点的位移情况．(√)

(2)从波的图像可以知道各质点振动的振幅．(√) (3)从波的图像能读出质点的振动周期．(×) (4)在不同时刻波的图像有可能完全相同．(√) 二、波的图像和振动图像的比较

[导学探究]

如图2为某一列波在某时刻的波的图像和某质点的振动图像，两图像横坐标和纵坐标分别表示什么意义？两图线的物理意义分别是怎样的？

图2 答案

波的图像横坐标表示各质点的平衡位置，纵坐标表示各质点离开平衡位置的位移；而振动图像横坐标表示某质点运动的时间，纵坐标表示该质点离开平衡位置的位移．波的图像表示某时刻各质点的位移；振动图像表示质点的位移随时间变化的规律．

[知识梳理]

波的图像和振动图像的比较

振动图像

波的图像

图像

坐标

横坐标

纵坐标

研究对象

物理意义

时间

某一质点各时刻偏离平衡位置的位移

一个质点

一个质点在不同时刻的振动位移

原有图形不变，图线随时间而延伸

振幅和周期

单人舞的录相

波线上各质点的平衡位置

某一时刻各质点偏离平衡位置的位移

沿波传播方向上的各质点

介质中各质点在同一时刻的振动位移

原有波形沿波的传播方向平移

振幅和波长

抓拍的集体舞照片

随时间的变化

显示的主要物理量

比喻

[即学即用]

判断下列说法的正误．

(1)振动图像研究的是一个质点在振动过程中位移随时间的变化，而波的图像研究的是某一时刻在波的传播方向上各个质点在空间的分布．(√) (2)简谐运动的图像和简谐波的图像其形状都是正弦(或余弦)曲线．(√) (3)振动图像的图线实质是振动质点所经过的路径形状，波的图像其图线实质是某一时刻各个

质点的连线形状．(×)

一、波的图像的理解和应用

由波的图像可获取的信息

1．直接读出波长．若已知波速，可计算出周期、频率．或已知周期、频率可计算出波速．

2．直接读出该时刻各质点的位移，间接判断回复力、加速度情况．

3．介质中各质点的振幅．

4．已知波的传播方向，可知质点的振动方向；已知质点的振动方向，可知波的传播方向．

例1

一列沿x轴正方向传播的简谐机械横波，波速为4 m/s.某时刻波形如图3所示，下列说法正确的是(

)

图3 A．这列波的振幅为4 cm B．这列波的周期为1 s C．此时x＝4 m处质点沿y轴负方向运动

D．此时x＝4 m处质点的加速度为0 答案

D λ8解析

由图像可知，这列波的振幅为2 cm，A项错误；波长λ＝8 m，故周期T＝v＝

s＝2 s，4B项错误；波向右传播，根据“上下坡法”可知，x＝4 m处质点沿y轴正方向运动，C项错误；此时x＝4 m处质点处于平衡位置，回复力为零，加速度为零，D项正确．

二、波的图像的画法

1．特殊点法

先找出两点(平衡位置、波峰或波谷等特殊点)并确定其运动方向，然后确定经Δt时间后这两点所达到的位置，最后按正弦规律画出新的波形．

T该法适用于Δt＝n(n＝1,2,3……)的情况．

42．波形平移法

在已知波的传播速度的情况下，由Δx＝vΔt可得经Δt时间后波向前移动的距离Δx，把图像沿传播方向平移Δx即得到相对应的图像．

TT例2

某一简谐横波在t＝0时刻的波形图如图4所示．若波向右传播，画出后和前两个44时刻的波的图像．

图4 答案

见解析

解析

解法一

特殊点法

根据t＝0时刻波的图像及传播方向，可知此时刻A、B、C、D、E、F各质点在该时刻的振T动方向，由各个质点的振动方向可确定出经后各个质点所在的位置，将这些点所在位置用4T平滑曲线连接起来，便可得经后的波的图像．如图中的虚线(a)所示．

4TT同样道理，根据各个质点的振动方向可确定出前时刻各个质点所在位置，于是便可得到前44时刻的波的图像．如图中虚线(b)所示．

解法二

波形平移法

由题图我们可以知道，在质点振动的一个周期内，波向前传播一个波长的距离，即传播的距T离x＝12 m，因此在内，波向前传播了3 m．根据波的传播过程和传播的实质，若波向右传4TT播，把波的原有图形向右移动3 m的距离，就得到了后时刻的波形图，同理可以得到前时44刻波的图像．

在已知波速的情况下，由公式Δx＝vΔt可得经Δt时间后波向前移动的距离Δx，把波形平移Δx即可得Δt时间后的波形图，注意，当Δx＝kλ＋Δx0时，只需将波形沿波的传播方向平移Δx0即可得Δt时间后的波形图，这就是所谓的“去整留零平移法”．当然也可以采用“特殊点法”．

三、波的图像与振动图像的比较

1．波的图像描述的是介质中的“各质点”在“某一时刻”离开平衡位置的位移；而振动图像描述的是“一个质点”在“各个时刻”离开平衡位置的位移．

2．横、纵坐标所表示的物理量：波的图像中的横坐标x表示介质中各个振动质点的平衡位置，纵坐标y表示各个振动质点在某时刻的位移；振动图像的横坐标t表示一个振动质点振动的时间，纵坐标y表示这个质点振动时各个不同时刻的位移．

例3

(多选)根据图5甲、乙所示，判断下列说法正确的是(

)

图5 A．甲是振动图像，乙是波的图像

B．甲是波的图像，乙是振动图像

C．甲中A质点向下振，乙中B时刻质点向下振

D．甲中A质点向上振，乙中B时刻质点向下振

答案

BD 解析

波的图像的横坐标为波的传播方向上各质点的平衡位置，振动图像的横坐标为时间，故A错，B对；甲中A质点被其左侧的质点带动向上振，乙中B时刻后位移由零变为负值，故向下振，所以C错，D对．

四、波的多解问题

1．波具有时间和空间的周期性，传播具有双向性，所以关于波的问题更容易出现多解．造成多解的主要因素有：

(1)时间间隔Δt与周期T的关系不明确；

(2)波的传播距离Δx与波长λ的关系不明确；

(3)波的传播方向不确定．

2．在解决波的问题时，对题设条件模糊、没有明确说明的物理量，一定设法考虑其所有的可能性：

(1)质点达到最大位移处，则有正向和负向最大位移两种可能；

(2)质点由平衡位置开始振动，则有起振方向相反的两种可能；

(3)只告诉波速不指明波的传播方向，应考虑沿两个方向传播的可能；

(4)只给出两时刻的波形，则有多次重复出现的可能．

例4

一列简谐横波t1时刻的波形如图6中实线所示，t2时刻的波形如图中虚线所示，已知Δt＝t2－t1＝0.5 s．问：

图6 (1)这列波的传播速度是多少？

(2)若波向左传播，且3T<Δt<4T，波速是多大？

(3)若波速等于68 m/s，则波向哪个方向传播？

答案

(1)若波向右传播，v右＝(16n＋4) m/s(n＝0,1,2，…)；若波向左传播，v左＝(16n＋12) m/s(n＝0,1,2，…)

(2)60 m/s

(3)向右

1sn＋λ，又有v右＝＝解析

(1)有两组解：若波向右传播，传播距离s＝4Δtn＋1×840.5

m/s＝3sn＋λ，(16n＋4) m/s(n＝0,1,2，…)；若波向左传播，传播距离s＝又有v＝左＝4Δtn＋3×840.5

m/s＝(16n＋12) m/s(n＝0,1,2，…)．(2)因波向左传播，且3T<Δt<4T，则必有3λ

解决周期性及双向性带来的多解问题的一般思路如下：

1首先考虑传播方向的双向性，如果题目未说明波的传播方向或没有其他条件暗示，应首先按波传播的可能性进行讨论. 2对设定的传播方向，确定Δt和T的关系，一般先确定最简单的情况，即一个周期内的情况，然后在此基础上加nT. 3应注意题目是否有限制条件，如有的题目限制波的传播方向，或限制时间Δt大于或小于一个周期等.所以解题时应综合考虑，加强多解意识，认真分析题意. 4空间的周期性和时间的周期性是一致的，实质上是波形平移规律的应用，所以解题时我们可以针对不同题目选择其中一种方法求解.

1．如图7所示为一列简谐横波在某时刻的波形图．已知图中质点b的起振时刻比质点a超前

了0.4 s，则以下说法正确的是(

)

图7 A．波的波速为10 m/s B．波的频率为1.25 Hz C．波沿x轴正方向传播

D．该时刻质点P正沿y轴正方向运动

答案

B 解析

由于b比a先振动，所以波沿x轴负方向传播，选项C错误；由图可知a、b的平衡x2位置之间的距离为2 m，则波速v＝＝

m/s＝5 m/s，选项A错误；由图可知，波长λ＝4 m，t0.4v5由v＝λf得频率f＝＝

Hz＝1.25 Hz，选项B正确；根据“上下坡法”可知此时质点P正沿λ4y轴负方向运动，选项D错误．

2．一列沿x轴正方向传播的横波在某一时刻的波形图如图8所示，已知波的传播速率是16 m/s.

图8 (1)指出这列波中质点振动的振幅是多少；

(2)画出再经过0.125 s时的波形图像．

答案

(1)10 cm

(2)见解析图

解析

(1)由图像可以看出，质点振动的最大位移大小是10 cm，因此振幅是10 cm.(2)再经0.125 s波形沿x轴正方向移动的距离为Δx＝vΔt＝16×0.125 m＝2 m，所以再经过0.125 s后的波形图像如图中的虚线所示．

3．一列横波沿x轴传播，图9是波上某一质点P的振动图像．图10为这列横波在0.1 s时刻的波形图．由此可以判断该波的传播速度和传播方向是(

)

图9

图10 A．1 m/s，沿x轴正方向传播

B．1 m/s，沿x轴负方向传播

C．0.5 m/s，沿x轴正方向传播

D．0.5 m/s，沿x轴负方向传播

答案

A

λ解析

从图中可以读出周期为0.2 s，波长为20 cm＝0.2 m，根据v＝，计算可得波速为1 Tm/s,0.1 s时刻根据振动图像可知，P点速度方向向上，下坡向上，所以波沿x轴正方向传播．故选A. 4．一列横波在x轴上传播，t1＝0和t2＝0.005 s时的波形分别如图11中的实线和虚线所示．

图11 (1)设周期大于(t2－t1)，求波速；

(2)设周期小于(t2－t1)，并且波速为6 000 m/s.求波的传播方向．

答案

(1)波向右传播时，v＝400 m/s

波向左传播时，v＝1 200 m/s

(2)x轴负方向

解析

当波传播时间小于周期时，波沿传播方向前进的距离小于一个波长；当波传播的时间大于周期时，波沿传播方向前进的距离大于波长．这时从波形的变化上看出的传播距离加上n个波长才是波实际传播的距离．

(1)因Δt＝t2－t1＜T，所以波传播的距离可以直接由图读出．

2 m若波向右传播，则在0.005 s内传播了2 m，故波速为v＝＝400 m/s. 0.005 s6 m若波向左传播，则在0.005 s内传播了6 m，故波速为v＝＝1 200 m/s. 0.005 s(2)因Δt＝t2－t1＞T，所以波传播的距离大于一个波长，在0.005 s内传播的距离为Δx＝vΔtΔx3033＝6 000×0.005 m＝30 m，＝＝3，即Δx＝3λ＋λ. λ844因此，可得波的传播方向沿x轴负方向．

一、选择题

1．关于波的图像的物理意义，下列说法正确的是(

) A．表示某一时刻某一质点的位移

B．表示各个时刻某一质点的位移

C．表示某一时刻各个质点的位移

D．表示各个时刻各个质点的位移

答案

C 解析

波的图像表示的是介质中的各个质点在某一时刻离开各自的平衡位置的位移．

2．(多选)关于振动图像和波的图像，以下说法正确的是(

) A．波的图像反映出很多质点在同一时刻的位移

B．通过波的图像可以找出任一质点在任一时刻的位移

C．振动图像的横轴是时间轴

D．两种图像的y轴都表示质点离开平衡位置的位移

答案

ACD 3. (多选)关于如图1所示的波形图，下列说法中正确的是(

)

图1 A．此列波的振幅是0.1 m B．x＝15 cm处质点的位移是0.1 m C．若质点A此刻的速度沿y轴正方向，则质点B此刻的速度亦沿y轴正方向

D．质点A此刻的加速度沿y轴负方向，而质点B、C此刻的加速度沿y轴正方向

答案

ACD 解析

从题目中波的图像上可以直接读出振幅、各质点离开平衡位置的位移，A正确，B错误；各质点加速度的方向总是指向平衡位置，D正确；由于A、B两质点此刻处在同一“坡”上，根据“上下坡法”可以判断C正确．

4. (多选)一列简谐横波在t＝0时的波形图如图2所示．介质中x＝2 m处的质点P沿y轴方向做简谐运动的表达式为y＝10sin (5πt) cm.关于这列简谐波，下列说法正确的是(

)

图2 A．周期为4 s

C．传播方向沿x轴正向

答案

CD 2π解析

ω＝5π rad/s ，周期为T＝＝0.4 s．由题目中波的图像得：振幅A＝10 cm，波长λ＝ωλ4 m，故波速为v＝＝10 m/s.P点在t＝0时振动方向为y轴正方向，故波沿x轴正方向传播．

T5.在均匀介质中，一列沿x轴正向传播的横波，其波源O在第一个周期内的振动图像如图3所示，则该波在第一个周期末的波形图是(

) B．振幅为20 cm D．传播速度为10 m/s

图3

答案

D 解析

根据特殊点振动法，由振动图像可知，在t＝T时，波源O的振动方向向下，再结合波形可知形成的波的图像为D图．故选项D正确．

6. (多选)一列横波在t＝0时刻的波形如图4中实线所示，在t＝1 s时的波形如图中虚线所示．由此可以判定此波的(

)

图4 A．波长一定是4 cm B．周期一定是4 s C．振幅一定是2 cm D．传播速度一定是1 cm/s 答案

AC 解析

直接从题图上读出振幅是2 cm，波长是4 cm，故A、C选项正确；1 s时间与周期的1λ关系是nT＋T＝1 s(n＝0,1,2,3…)，是不确定解，因此B选项错；同理，传播速度v＝也不4T确定，D选项错．

7. (多选)如图5所示，一列简谐波沿一直线向左传播，当直线上某质点a向上运动到达最大位移时，a点右方与其相距0.15 m的b点刚好向下运动到最大位移处，则这列波的波长可能是(

)

图5 A．0.6 m

B．0.3 m

C．0.2 m

D．0.1 m 答案

BD λ解析

由题意可知，a、b间的距离为半波长的奇数倍，即：xab＝(2n＋1)(n＝0,1,2…)，解得：22xab0.3λ＝＝

m(n＝0,1，2…)，当n＝0时，λ＝0.3 m，选项B正确；当n＝1时，λ＝0.1 2n＋12n＋1m，选项D正确；波长不可能等于0.6 m和0.2 m，选项A、C错误．

8.一列简谐横波沿直线由A向B传播，A、B相距0.45 m，如图6所示是A处质点的振动图像．当A处质点运动到波峰位置时，B处质点刚好到达平衡位置且向y轴正方向运动，这列波的波速可能是(

)

图6

A．4.5 m/s

C．1.5 m/s

答案

A 解析

B．3.0 m/s D．0.7 m/s

从题图中可知周期T为0.4 s．由题可知质点A、B间最简单波形如图所示，A、B间距和波长1λ4.5的关系为x＝(n＋)λ，再由公式v＝得v＝(n＝0,1,2，…)，代入数据可知波速v可能4T4n＋1为4.5 m/s，选项A正确．

9．一列简谐横波沿x轴负方向传播，图7(a)是t＝1 s时的波形图，图(b)是波中某质点振动位移随时间变化的图像(两图用同一时间作为起点)．图(b)可能是图(a)中哪个质点的振动图像(

)

图7 A．x＝0处的质点

C．x＝2 m处的质点

答案

A 解析

当t＝1 s时，由题图(b)振动图像可知，质点处于平衡位置，正要沿y轴负方向运动，由题图(a)波形图向x轴负方向传播，可判断x＝0处和x＝4 m处的质点在平衡位置，且正沿y轴负方向运动，故选A. 10．(多选)图8(a)为一列简谐横波在t＝2 s时的波形图，图(b)为介质中平衡位置在x＝1.5 m处的质点的振动图像，P是平衡位置为x＝2 m处的质点．下列说法正确的是(

) B．x＝1 m处的质点

D．x＝3 m处的质点

图8 A．波速为0.5 m/s B．波的传播方向向右

C．0～2 s时间内，P运动的路程为8 cm D．0～2 s时间内，P向y轴正方向运动

E．当t＝7 s时，P恰好回到平衡位置

答案

ACE λ2解析

v＝＝

m/s＝0.5 m/s，A正确；x＝1.5 m处的质点在t＝2 s时正在向下振动，根据“上T4坡下”可判断波向左传播，B错误；0～2 s是半个周期，P质点运动的路程为2×4 cm＝8 cm，C正确；0～2 s时间内，P质点由正向最大位移处运动至负向最大位移处，D错误；7 s是此1时刻再经过5 s，即1T，这时P质点刚好回到平衡位置，E正确．

411．(多选)图9(a)为一列简谐横波在t＝0.10 s时刻的波形图，P是平衡位置在x＝1.0 m处的质点，Q是平衡位置在x＝4.0 m处的质点；图(b)为质点Q的振动图像．下列说法正确的是(

)

图9 A．在t＝0.10 s时，质点Q向y轴正方向运动

B．在t＝0.25 s时，质点P的加速度方向与y轴正方向相同

C．从t＝0.10 s到t＝0.25 s，该波沿x轴负方向传播了6 m D．从t＝0.10 s到t＝0.25 s，质点P通过的路程为30 cm E．质点Q简谐运动的表达式为y＝0.10sin 10πt m 答案

BCE λ解析

由图(a)得λ＝8 m，由图(b)得T＝0.2 s，所以v＝＝40 m/s.由图(b)知，在t＝0.10 s时，T质点Q通过平衡位置向y轴负方向运动，A错误；结合图(a)，由“同侧法”判得波沿x轴负方向传播，根据特殊点法，画出t＝0.25 s时的波形图，标出P、Q点，如图，此时P点在x轴下方，其加速度沿y轴正方向，B正确；

Δt＝0.25 s－0.10 s＝0.15 s，Δx＝v·Δt＝6 m，C正确；P点起始位置不在平衡位置或最大位移2π处，故D错误；由图知A＝0.1 m，ω＝＝10π rad/s，所以Q点简谐振动的表达式为：y＝0.10sin T10πt (m)，E正确．

二、非选择题

12．如图10甲表示一列简谐波在介质中传播时某一质点a的振动图像，请你在图乙中作出这列简谐波在t＝0时刻向x轴正方向传播的波形图(质点a画在坐标原点上)．

图10 答案

见解析图

解析

由题图甲知，t＝0时质点a在平衡位置且向y轴正方向运动，结合题中要求，将质点a画在坐标原点上，波向x轴正方向传播，表明t＝0时刻a右侧同一“坡”上的质点均在平衡位置以下，都在a的带动下向上运动，波的图像如图所示．

13．如图11所示，甲为某一波在t＝1.0 s时的图像，乙为参与该波动P质点的振动图像，波速为4 m/s，求：

图11 (1)说出两图中AA′的意义；

(2)说出甲图中OA′B图线的意义；

(3)在甲图中画出再经3.5 s时的波形图；

(4)求再经过3.5 s时P质点的路程s和位移．

答案

见解析

解析

(1)甲图中AA′表示A质点的振幅或1.0 s时x＝1.0 m的质点的位移大小为0.2 m，方向为负；乙图中AA′表示P质点的振幅，也代表P质点在0.25 s时的位移大小为0.2 m，方向为负．

(2)甲图中OA′B段图线表示O到B之间所有质点在1.0 s时的位移，方向均为负．由乙图看出P质点在1.0 s时向y轴负方向振动，所以甲图中波向左传播，则OA′间各质点正向远离平衡位置方向振动，A′B间各质点正向靠近平衡位置方向振动．

13＋λ. (3)传播距离：Δx＝v·Δt＝4×3.5 m＝14 m＝2所以只需将波形向x轴负方向平移2 m即可，如图所示．

Δt3.5(4)因为n＝＝＝7. T122所以路程s＝2An＝2×0.2×7 m＝2.8 m. 由于波动的重复性，经历时间为周期的整数倍时，位移不变，所以只需考虑从图示时刻P质T点经时的位移即可，所以经3.5 s质点P的位移仍为0. 2