测试公开课教案

初中数学小专题丛书编写

左教右学数学教学研究工作室

第8讲

全等三角形背景下的一线三等角模型

一、以退为进（5分钟）以最简单的两到三个题目，抽象出数学本质。

热身1 如图，AC＝CD，∠ACD＝∠B＝∠E＝90°，AB＝4，DE＝3，则BE长度是（

）

A.3

B.4 C.7

D.12

AD

ADBC热身1 EB热身2 CE热身2 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AE是过A点的一条直线，AE⊥CE于E，BD⊥AE于D，DE＝5cm，CE＝3cm，则BD＝__________cm．

【编写说明】热身是为解决典型例题做铺垫，所以呈现的方式是简洁（如X光片），即一些枝叶要剪掉. 为了体现题型的多元化，这里采取一个选择一个填空的呈现方式.

【实施要点】体现图形的生成过程

第一步：在黑板画两个不同位置的等腰直角三角形且把斜边擦去，告诉学生，这是全等三角形背景下一线三等角（此时这个角为直角）的特征之一.

BCAADC第二步：过直角顶点画一条直线，告诉学生，左图直线在外，右图直线在内，其实可以看成是绕直角顶点旋转不同角度所产生的. 这是全等三角形背景下一线三等角（此时这个角为直角）的特征之二.

集众师智慧

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ADACBC

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第三步：过等腰直角三角形的另外两个顶点往过直角顶点的那条直线作垂线. 这是全等三角形背景下一线三等角（此时这个角为直角）的特征之三.至此模型特征呈现完成.

DAAD

BECBCE第四步：在图形上标上数据，就成了热身1与热身2.

二、以小见大（10分钟）一个例题，例题设计具有针对性、生长性、开放性，由简到繁，以简驭繁。

典例分析

在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．

⑴当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，试求证：DE＝AD＋BE；

⑵当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，⑴中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由．

M

MDCCENDA图2 AN【实施要点】让学生画图，体现图形的生成过程（热身时教师已经有了示范，一般来说，学生可以模仿图1 BEB了，倘若学生还处于懵懂阶段，则教师带着学生再来感悟一遍.）（注意让学生给两个全等三角形描个阴影）

学以致用

在平面直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），点B在y轴负半轴上，以AB为腰作等腰Rt△ABC．

⑴如图1，当OB＝4，点C落在第三象限上时，求C点的坐标；

⑵如图2，当点C落在第四象限上时，过C作CD⊥x轴于D点，求OB－CD的值．

图1 集众师智慧

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yACBBOxAyODxC图2

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三、举一反三（25分钟）课题实施：留给学生课后独立完成

㈠我能及格（难度系数在0.8，一选择一填空一解答）

1.如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE，垂足分别为

E、D，AD＝2.5，DE＝1.7，则

BE＝（

）

A.0.8cm

B.1.2cm

C.1.7cm D.1.8cm

BEDDC第2题

ABAC 第1题

E2.如图，桌面上竖直放置一等腰直角三角板ABC，若测得斜边AB在桌面上的投影DE为8cm，且点B距离桌面的高度为3cm，则点A距离桌面的高度为是________cm．

3.如图，直线l经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B，D作BF⊥l于点F，DE⊥l于点E，若DE＝8，BF＝5，求EF的长．

FBCAEDl㈡我能优秀（难度系数在0.5--0.8，一解答，设置为两个问，第一问0.7-0.8，第二问0.5-0.7）

4.

如图，△ABD≌△BCE，点B在DE上，AD⊥DE于D. （原创题）编写时不作此要求

⑴求证：CE⊥DE；

⑵求证：△ABC为等腰直角三角形.

集众师智慧

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DABEC

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㈢我能超越（难度系数在0.2--0.5，一解答，设置为三个问，第一问0.7-0.8，第二问0.5-0.7，第三问0.2-0.5）

5.在△ABC中，CA＝CB，其中D、C、E三点都在直线l上，并且有∠1＝∠2＝∠3＝α. ⑴当α＝90°时，直接写出AD、DE与EB三条线段长度之间的关系；

⑵当α＝60°时，请问⑴中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由. ⑶当α为钝角时，四边形ABCD周长是m，△BCE周长是n，试用含m、n的式子表示线段AB的长度．

AB2132AB13AB213DCElDCElDCEl集众师智慧

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