方程的应用优质课教学设计

实际问题与一元一次方程

一、教学目标

（一）学习目标

1.初步感知方程与生活的密切联系，增强学生应用意识和学习兴趣.

2.经历探究解决“电话计费问题”的一般过程，列一元一次方程解决“分段计费”问题，体会数学分类思想和方程思想.

3.进一步掌握解决实际问题的一般方法与步骤，熟练列一元一次方程解决实际问题.

（二）学习重点

1.建立方程模型解决电话计费问题.

2.把实际问题转化为数学问题，体会分类讨论思想的运用.

（三）学习难点

由实际问题抽象出数学模型的探究过程中，准确理解电话计费问题中的各方式计费方法. 二、教学设计

（一）课前设计

1.预习任务

分段计费常用于计算水电费、煤气费、个人所得税、通信网费、医疗保险报销等.分段计费要明确各段收费的___范围___和___费率___. 2.预习自测

（1）某市出租车的计费标准如下表：

里程

3km以内包含3km

超过3km的部分

收费标准

10元

每千米1．8元

（不足1km的按1km算）

琳琳从家乘出租车到奶奶家花费19元，则琳琳家到奶奶家的距离是（

）.（取整千米数）

A.6km

B.7km

C.8km

D.9km

【知识点】简单的一元一次方程的应用.

（x3）19，

【解题过程】解：设琳琳家到奶奶家的距离是x千米，由题意得：101.8解得：x8．

1

【思路点拨】花19元则说明路程超过3km，弄清楚收费标准是分两步.列方程即可. 【答案】故选C．

（2）为鼓励居民节约用水，某市对自来水用户按分段计费方式收取水费：若每月用水不超过7吨，则按每吨1元收费；每月超过7吨的部分按每吨2元收费．如果某户居民某月缴纳了水费17元，则其用水量为

吨．

【知识点】分段计费问题.

2x7）17，解得x12.

【解题过程】解：设用水量为x吨，依题意列方程得，17（【思路点拨】很显然，这户居民用水量超过了7吨，抓住17元分两段计费建立等量关系即可．

【答案】用水量为12吨.

（3）下表是两种移动电话计费方式（被叫免费）

月租费

本地通话费

方式一

30元/月

0.30元/分

方式二

0元/月

0.40元/分

①设每月主叫通话时间为t分钟，按方式一需费用______元，按方式二需费用______元；

②当每月通话时间是__________时，两种方式费用相同；

③完成如下表格：

时间

250分钟

350分钟

方式一费用

方式二费用

根据每月通话时间，应如何选择较省钱的方式？

【知识点】分段计费问题．

【数学思想】分类讨论思想

300.3t，0.4t；t300；【解题过程】解：①

方式一费用：方式二费用：②当300.3t0.4t时，

③当t250时，方式一费用：300.3t300.3250105（元）；

方式二费用：0.4t0.4250100（元）；

当t350时，方式一费用：300.3t300.3350135（元）

方式二费用：0.4t0.4350140（元）

当t＜300时，选方式二；当t300时，选方式一、二均可；当t300时，选方式一；

【思路点拨】根据计费方式表示出两种方式的收费．分类讨论得到结果即可. 【答案】①300.3t，0.4t；②t300分钟；③表格：105，100，135，140；当t＜300时，选

2

方式二；

当t300时，选方式一、二均可；当t300时，选方式一.

（三）课堂设计

1.知识回顾

（1）快速求解下列方程. ①10y511y52y；

②

x32xx21.

26（2）回顾列一元一次方程解应用题的一般步骤？

2.问题探究

探究一

引入新课

●活动①

师问：现在电话和手机基本普及到家，

你家里有几台手机或者座机？你知道手机和座机的收费标准吗？同学们可以交流一下你家里人的电话是怎样收费的？

收费方式

学生举手抢答.

【设计意图】

通过讨论与交流，让学生们能对电话计费问题中的一些术语更熟悉，唤起学生的学习兴趣及探索欲望. 探究二

探究生活中电话计费问题

★

▲

●活动①

问题初探

下表中有两种移动电话计费方式

方式一

方式二

月使用费/元

主叫限定时间/分

主叫超时费（元/分）

被

叫

58 88 150 350 0.25 0.19 免费

免费

爸爸

妈妈

爷爷

奶奶

师问：你了解表格中这些数字的含义吗？什么叫月使用费、主叫时间、主叫超时费？

生答：月使用费是不受主叫时间多少的影响而固定收费的项目；主叫时间就是给别人打电话的时间；主叫超时费就是按超时量加收的费用.

总结：电话计费方式=月使用费+主叫超时费.

【设计意图】有了探究1的铺垫，用提问方式来培养学生如何审清题意、理解表格，并对表格信息做初步梳理和加工，并渗透“话费的多少与主叫时间”有关.

3

●活动②

问题再探、解决问题

老师出示探究的问题：

（1）设一个月内移动电话主叫为t

min（t是正整数）. 根据上表，列表说明：当t在不同时间范围内取值时，按方式一和方式二如何计费. （2）观察你的列表，你能从中发现如何根据主叫时间选择省钱的计费方式吗？通过计算验证你的看法. 师问1：由上表可知，计费与什么有关？两种方式的计费首先是要看主叫时间_ _ _____.

生答：计费与主叫时间有关，两种方式的计费首先是要看主叫时间是否超过限定时间.因此，考虑t的取值时，两个主叫限定时间150

min和350

min是不同的时间划分点.

师问2：从表格数据中，你能把主叫时间分为几部分？

生答：主叫时间分为限定时间和超时时间.

师问3：你能分别把主叫时间不同的话费情况用含t的代数式表示出来吗？

生答：学生小组讨论交流并代表展示.

（1）学生充分讨论后完成以下表格. 主叫时间t

/

min

t150

t150

方式一计费/元

58 58 580.25（t150）

方式二计费/元

88 88 88 88 150t350

t350

t350

108 580.25（t150）

880.19t350

师问：观察上面的表格，想一想，因为计费方式与主叫的时间有关，那么选择哪一种计费方式合算？

生答：学生分析：直接观察比较

主叫时间t

/

min

t150

方式一计费/元

58(划算) 58（划算）

580.25(t150)

方式二计费/元

88 88 88 88（划算）

t150

150t350

t350

108

4

t350

580.25(t150)

880.19(t350)

直接观察表格，可以发现，

当t150，按方式一的计费少；当t150，按方式一的计费少；当t350，按方式二的计费少；

师追问：那么当150t350

和t350的时候，选择哪种方式更划算呢？

师生共同探究：

分析：当t从150增加到350时，按方式一的计费由58元增加到108元；而方式二一直是88元，∴当150t350时，可能在某主叫时间按两种方式的计费相等.

t

270.

借助“方程模型”列方程580.25(t150)88，解得

故当t270时，两种计费方式一样，都是88元，当150t270时，按方式一计费低于按方式二计费；当270t350时,按方式一计费多于按方式二计费；当t350时，可以看出按方（t150）（t350）式一的计费为：580.25；按方式二的计费为：880.19

.

所以：580.25(t150)880.19(t350)0.06t10，所以：按方式二的计费少.

实际上，只要主叫时间超出限定时间越长，选择方式二应当更省钱.

生答：综合以上的分析，可以发现：

主叫时间t/

min

方式一计费/元

方式二计费/元

划算

二者一样

划算

t<150 t=150 150

师问：选一些具体的数字如：当t=200分和300分，按两种计费方式各需交费多少元？通过计算来验证你的发现是否正确.

总结：电话费的分段计费方法可以类比使用到水费、电费、出租车费、税率等问题，主要弄清分段计算的方法，注意分类讨论的思想方法.

5

【设计意图】通过层层设问，让问题聚焦在要解决的本质问题上，引导学生从填表格开始，用方程找到关键时间，再分类归纳出“分类的关键点”，综合寻找不同时段所对应的两种收费方式，使学生从感性认识逐步上升到理性认识，从而解决实际问题. ●活动③

反思过程，发现规律

师问：在刚才我们解决电话计费问题的过程中，和之前探究的几个问题相比，有哪些地方是不一样的呢？

师问：电话计费问题中的核心问题是什么？

生答：对时间t的分类.

师问：探究解题过程大致包含哪些步骤？

生答：①根据已知列表，②建立方程，③找到关键的时间节点分类讨论，④选择省钱方案. 师问：我们在探究过程中用到哪些方法？

生答：画图、列表、比较、字母表示数、方程.

总结：选择省钱方案问题，一般先把几个方案的费用表示出来，再根据两种费用相等建立方程从而确定分界值，再针对这个分界值分类讨论哪种方案更省钱.

【设计意图】通过回顾和提炼解决电话计费问题的方法和过程，获取到经验，从而提高分析和解决问题的能力，不断完善自己的认识体系，并且感受数学与生活的密切联系.帮助学生渗透建立实际问题的方程模型的思想和分类讨论的思想，从而完成建模解题的完整过程. 探究三

运用知识解决问题

★

▲

●活动①

师问：通过前面的探究，我们知道了利用一元一次方程解决实际问题的基本过程，利用这些步骤和方法可以解决一些怎样的实际问题呢? 例1

学校有一批复印任务，在甲复印社的价格为每页0.4元，在乙复印社的价格为每页0.15元，但每月要缴纳200元的租借费.当每月复印多少页时，两复印社的实际费用相同？

【知识点】

一元一次方程的应用.

【解题过程】解：

设每月复印x页时，两复印社实际收费相同．根据题意可得：

0.4x2000.15x解得：x800．

答：每月复印800页时，两复印社实际收费相同．

【思路点拨】抓住“两复印社复印收费用相同”这一等量关系来列方程.

【答案】每月复印800页时，两复印社实际收费相同．

练习：用A4纸在誊复印社复印文件，复印页数不超过20时,每页收费0.12元；复印页数超过20页时，超过部分每页收费降为0.09元. 在某图书馆复印同样的文件,不论复印多少页，

6

每页收费0.1元. 如何根据复印的页数选择复印的地点使总价格比较便宜？（复印的页数不为零）

【知识点】一元一次方程的应用.

【解题过程】解：设当复印文件页数为x时，在某誊印社及某图书馆复印价格相同.

根据题意得：0.12200.09(x20)0.1x，解得：x60.

∴当复印文件页数小于60时，选择某图书馆价格便宜；当复印文件页数为60时，选择某誊印社及某图书馆价格相同；当复印文件页数超过60时，选择某誊印社价格便宜. 【思路点拨】设当复印文件的页数为x时，某誊印社及某图书馆复印价格相同，根据总价=单价×数量即可得出关于x的一元一次方程，再结合题意即可得出答案. 【答案】当复印文件页数小于60时，选择某图书馆价格便宜；当复印文件页数为60时，选择某誊印社及某图书馆价格相同；当复印文件页数超过60时，选择某誊印社价格便宜. 【设计意图】通过一组基础的例题和练习，使学生掌握列一元一次方程解决分段计费问题. ●活动2

例2

为增强公民的节约意识，合理利用天然气资源，某市自1月1日起对市区民用管道天然气价格进行调整，实行阶梯式气价，调整后的收费价格如表所示：

每月用气量

不超出75

m3的部分

超出75

m3不超出125

m3的部分

超出125

m3的部分

单价（元/

m3）

2.5

a

a+0.25

（1）若甲用户3月份的用气125m3，缴费325元，求a的值；

（2）在（1）的条件下，若乙用户2、3月份共用气175m3（3月份用气量低于2月份用气量），共缴费455元，乙用户2、3月份的用气量各是多少？

【知识点】一元一次方程的应用.

【数学思想】分类讨论思想.

【解题过程】解：（1）由题意，得752.5(12575)a=325，解得a2.75．故a的值是2.75；

（2）设乙用户2月份用气xm3，则3月份用气(175x)m3，

＞125，175x75时，列方程得：①当x[2.575＋2.75(12575)＋3(x125)] 2.5（175x）455，

7

解得：x=135，175﹣135=40，符合题意；

②当75＜x≤125，175﹣x≤75时，2.575＋2.75(x75)

2.5（175x）455，

解得：x=145，不符合题意，舍去；

③当75＜x≤125，75＜175﹣x≤125时，

[2.575＋2.75(x75)]＋[2.575＋2.75（175x75）]

455，此方程无解．

∴乙用户2、3月份的用气量各是135m3，40m3．

【思路点拨】（1）根据单价×数量=总价，以及甲用户3月份的用气125m3，缴费325元，可（175x）m3，列关于a的方程，解方程即可求解；（2）设乙用户2月份用气xm3，则3月份用气

＞125，175x75时，75＜x125，175x75时，当75＜x125，分3种情况：x75＜175x125时，分别建立方程求出其解就可以．

【答案】（1）a的值是2.75；（2）乙用户2、3月份的用气量各是135m3，40m3．

练习：为鼓励居民节约用电，某省试行阶段电价收费制，具体执行方案如下表：

档次

第一档

第二档

第三档

每户每月用电数/度

小于等于200 大于200小于400 大于等于400 执行电价/（元/度）

0．55 0．6 0．85 某户居民五、六月份共用电500度，缴电费290．5元．已知该用户六月份用电量大于五月份，且五、六月份的用电量均小于400度．问该户居民五、六月份各用电多少度？

【知识点】一元一次方程的应用.

【数学思想】分类讨论思想.

【解题过程】解：设5月份耗电量为x度，6月份耗电量为（500-x）度，因为（500-x）>x，所以x250

①当5月份用电量为x度≤200度，6月份用电量为（500-x）度，由题意，得0.55x+0.6(500-x)=290.5，解得：x=190，∴ 6月份用电量为500-x=310度，

②当5月份用电量为250>x度>200度，6月份用电量为（500-x）度

由题意，得0.6x+0.6(500-x)=290.5，方程无解，∴该情况不符合题意.

答：该户居民五、六月份各用电190度、310度.

【思路点拨】某户居民五、六月份共用电500度，就可以得出每月用电量不可能都在第一档，分情况讨论，当5月份用电量为x度≤200度，6月份用电量为（500-x）度，当5月份用电量

8

为x度>200度，6月份用电量为（500-x）>x度，分别建立方程求解即可.

【答案】该户居民五、六月份各用电190度、310度．

【设计意图】通过第二组例题和练习，进一步巩固用一元一次方程解决分段计费问题. 特别是体会利用方程思想和分类讨论的思想解决实际问题.

●活动3 例3

中国现行的人个所得税法自2011年9月1日起施行，其中规定个人所得税纳税办法如下：（Ⅰ）以个人每月工资收入额减去3500元后的余额作为其每月应纳税所得额．

（Ⅱ）个人所得税纳税率如下表所示：

纳税级数

1 2 3 4 5 6 7 个人每月应纳税所得额

不超过1500元的部分

超过1500元至4500元的部分

超过4500元至9000元的部分

超过9000元至35000元的部分

超过35000元至55000元的部分

超过55000元至80000元的部分

超过80000元的部分

纳税税率

3% 10% 20% 25% 30% 35% 45% （1）若甲、乙两人的每月工资收入额分别为4000元和6000元，请分别求出甲、乙两人每月应缴纳的个人所得税；

（2）若丙每月缴纳的个人所得税为95元，则丙每月的工资收入额应为多少？

【知识点】一元一次方程的应用．

【解题过程】

解：（1）（4000-3500）×3% =500×3%=15（元），

1500×3%+（6000-3500-1500）×10%=45+1000×10%=145（元）；

（2）设丙每月的工资收入额应为x元，则1500×3%+（x-3500-1500）×10%=95，解得：x=5500.

答：丙每月的工资收入额应为5500元.

【思路点拨】（1）读懂纳税的办法，找出应纳税的部分；

（2）根据个人所得税

纳税税率表可知，丙“个人每月应纳税所得额”为超过1500至4500元的部分，根据“个人所得税为95元”列出方程即可.

【答案】（1）甲、每月应缴纳的个人所得税为15元；乙每月应缴纳的个人所得税145元.

（2）丙每月的工资收入额应为5500元.

练习：为体现党和政府对农民健康的关心，解决农民看病难问题，某县于今年4月1日开始

9

全面实行新型农村合作医疗，对住院农民的医疗费实行分段报销制．下面是该县医疗机构住院病人累计分段报销表：

医疗费

500元以下（含500元）

500元（不含）至2000元部分

2000元（不含）至5000元部分

5000元（不含）至10000元部分

10000元以上部分

报销比例（%）

20

30

35

40

45

（例：某住院病人花去医疗费900元，报销金额为500×20%+400×30%=220（元））

（1）农民刘老汉在4月份因脑中风住院花去医疗费2200元，他可以报销多少元？

（2）刘老汉在6月份因脑中风复发再次住院，这次报销医疗费4790.25元，刘老汉这次住院花去医疗费多少元？

【知识点】一元一次方程的应用．

【解题过程】

解：（1）报销数额为500×20%+（2000﹣500）×30%+（2200﹣2000）×35%=620（元），所以刘老汉可以报销620元；

（2）设刘老汉这次住院花去医疗费x元，由题意，得：

500×20%+（2000﹣500）×30%+（5000﹣2000）×35%+（10000﹣5000）×40%+（x﹣10000）×45%=4790.25，整理得出：0.45x﹣900=4790.25，解得x=12645．

答：刘老汉这次住院花去医疗费12645元．

【思路点拨】（1）注意本题：报销的总金额是分段报销的，比如2200分为3个阶段，分别为：0﹣500、500﹣2000、2000﹣5000．那么超过1万元的报销额，报销金额=500×20%+（2000﹣500）×30%+（5000﹣2000）×35%+（10000﹣5000）×40%+（x﹣10000）×45%．（前面报销过的不能往后面的范围算）．得出2200元在第三个阶段，依据报销方法即可求解；

（2）根据图表即可计算出每段报销的数额，判断住院费在超过10000元的那一段，列方程求解即可．

【答案】（1）刘老汉可以报销620元；（2）刘老汉这次住院花去医疗费12645元．

【设计意图】通过这一组例习题，强化对信息的阅读理解能力及利用方程模型和分类讨论思想解决综合性问题的能力.

3.课堂总结

知识梳理

10

（1）应用分类讨论思想对实际问题中不同情形分别进行分析.借助图表来分析复杂的数量关系.

（2）发现并利用相等关系确立方程模型. （3）当遇到问题中的相等关系比较隐蔽时，需根据数量间的大小变化来确立.

（4）列一元一次方程解决实际问题的一般步骤：审、设、列、解、检、答.

重难点归纳

（1）建立电话计费问题的方程模型.

（2）体会分类思想和方程思想，增强应用意识和应用能力．

（三）课后作业

基础型

自主突破

1.某市为节约用水，制定了如下标准：用水不超过20吨，按每吨1.2元收费，超过20吨则超出部分按每吨1.5元收费．小明家六月份的水费是平均每吨1.25元，那么小明家六月份应交水费（

）

A.20元

B.24元

C.30元

D.36元

【知识点】一元一次方程的应用.

【解题过程】解：设小明家六月用水x吨，由题意得：1.2×20+1.5×（x﹣20）=1.25x，

解得：x=24，∴1.25x=30．故选C．

【思路点拨】设小明家六月用水x吨，根据小明家六月份的水费是平均每吨1.25元可列出关于x的一元一次方程，解方程求出x值，进而即可得出结论．

【答案】选C.

2.某市出租车的收费标准是：起步价7元（行驶距离不超过3km，都需付7元车费），超过3km每增加1km，加收1.2元，小陈乘出租车到达目的地后共支付车费19元，那么小陈坐车可行驶的路最远是（

）

A.12km

B.13km

C.14km

【知识点】一元一次方程的应用．

【解题过程】解：设小陈坐车行驶的路程最远为x千米，根据题意得：7+1.2（x﹣3）=19，

解得：x=13．故选B．

【思路点拨】根据等量关系：车费=起步价+1.2×超出3千米的路程，列出方程即可．

【答案】选B.

11 D.15km

3.某市按如下规定收取每月煤气费：用煤气如果不超过60立方米，每立方米按1元收费，如果超过60立方米，超过部分按每月1.5元收费．已知12月份某用户的煤气费平均每立方米1.2元，那么12月份该用户用煤气

立方米．

【知识点】一元一次方程的应用．

【解题过程】

解：设12月份用了煤气x立方米，由题意得，60×1+（x﹣60）×1.5=1.2x，

解得：x=100，故答案为：100 【思路点拨】设12月份用了煤气x立方米，12月份的煤气费平均每立方米1.2元，那么煤气一定超过60立方米，等量关系为：60×1+超过60米的立方数×1.5=1.2×所用的立方数，把相关数值代入即可求得所用煤气的立方米数．

【答案】100.

4．某地居民生活用水基本价格为2元/吨，规定每月基本用水量为a吨，超过部分按基本水价增加50%收费．某用户在8月份用水20吨，共交水费45元，则a=

．

【知识点】一元一次方程的应用．

【解题过程】解：∵2×20=40＜45，∴a＜20，由题意，得2a+（20﹣a）×2×（1+50%）=45，

解得a=15．故答案为：15．

【思路点拨】根据题中所给的关系，找到等量关系，由于共交水费45元，可列出方程求出a．

【答案】15.

5.某市电话拨号上网有两种收费方式，用户可以任选其一：A、计时制：0.05元/分钟；B、月租制：50元/月（限一部个人住宅电话上网），此外，每种上网方式都得加收通信费0.02元/分钟．

（1）小玲说：两种计费方式的收费对她来说是一样的．小玲每月上网多少小时？

（2）某用户估计一个月内上网的时间为65小时，你认为采用哪种方式较为合算？为什么？

【知识点】一元一次方程的应用.

【解题过程】解：（1）设小玲每月上网x小时，根据题意得：（0.05+0.02）×60x=50+0.02×60x，

解得x=5050．答：小玲每月上网小时；

33（2）如果一个月内上网的时间为65小时，

选择A、计时制费用：（0.05+0.02）×60×65=273（元），

选择B、月租制费用：50+0.02×60×65=128（元）．

所以一个月内上网的时间为65小时，采用月租制较为合算．

【思路点拨】（1）利用A：费用=每分钟的费用×时间；B：费用=包月费+通信费，根据两种

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计费方式的收费相同列出方程，解方程即可；

（2）如果一个月内上网的时间为65小时，根据两种收费方式分别计算费用，比较后即可回答问题．

【答案】（1）小玲每月上网50小时；（2）采用B月租制较为合算．

36.甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购买商品超出300元之后，超出部分按原价的八折优惠；在乙超市累计购买商品超出200元之后，超出部分按原价的九折优惠．设顾客预计累计购物x元（x＞300）．

（1）请用含x的代数式分别表示顾客在两家超市购物所付的费用．

（2）试比较顾客到哪家超市购物更优惠？说明你的理由．

【知识点】列一元一次方程解决实际问题.

【数学思想】分类讨论思想.

【解题过程】解：（1）设顾客预计累计购物x元（x＞300），

∵在甲超市累计购买商品超出300元之后，超出部分按原价的八折优惠，

∴在甲超市购物所付的费用为：300+0.8（x﹣300）=0.8x+60，

∵在乙超市累计购买商品超出200元之后，超出部分按原价的九折优惠，

∴在乙超市购物所付的费用为：200+0.9（x﹣200）=0.9x+20；

（2）当0.8x+60=0.9x+20时，解得：x=400，∴当x=400元时，两家超市一样；

当0.8x+60＜0.9x+20时，解得：x＞400，∴当x＞400元时，甲超市更合算；

当0.8x+60＞0.9x+20时，解得：x＜400，∴当300＜x＜400元时，乙超市更合算．

【思路点拨】（1）根据优惠方案分别表示出在两家超市购物所付的费用；

（2）根据（1）的结论先找到使得两家超市所付费用一样的值，再分别讨论

其余的两种情况.

【答案】（1）在甲超市购物所付的费用为：300+0.8（x﹣300）=0.8x+60，

在乙超市购物所付的费用为：200+0.9（x﹣200）=0.9x+20；

（2）当x=400元时，两家超市一样；当x＞400元时，甲超市更合算；当300＜x＜400元时，乙超市更合算．

能力型

师生共研

1.为引导居民节约用水，某市出台了城镇居民用水阶梯水价制度．每年水费的计算方法为：年交水费=第一阶梯水价×第一阶梯用水量+第二阶梯水价×第二阶梯用水量+第三阶梯水价×

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第三阶梯用水量．该市某同学家在实施阶梯水价制度后的第一年缴纳水费1730元，则该同学家这一年的用水量为（

）

某市居民用水阶梯水价表

阶梯

第一阶梯

第二阶梯

第三阶梯

A.250m3

户年用水量v（m3）

0≤v≤180

180＜v≤260

v＞260 水价（元/m3）

5 7 9

B.270m3

C.290m3

D.310m3

【知识点】一元一次方程的应用．

【解题过程】解：设该同学这一年的用水量为x，

根据表格知，180×5+80×7=1460＜1730，则该同学家的用水量包括第三阶梯水价费用．

由题意得：180×5+80×7+（x﹣260）×9=1730，解得x=290．故选：C．

【思路点拨】利用表格中数据得出水费不超过1460元时包括第三阶梯水价费用，进而得出等量关系求出即可．

【答案】选C.

2.现在，红旗商场进行促销活动，出售一种优惠购物卡（注：此卡只作为购物优惠凭证不能顶替货款），花300元买这种卡后，凭卡可在这家商场按标价的8折购物．

（1）顾客购买多少元金额的商品时，买卡与不买卡花钱相等？在什么情况下购物合算？

（2）小张要买一台标价为3500元的冰箱，如何购买合算？小张能节省多少元钱？

（3）小张按合算的方案，把这台冰箱买下，如果红旗商场还能盈利25%，这台冰箱的进价是多少元？

【知识点】一元一次方程的应用.

【解题过程】解：（1）解：设顾客购买x元金额的商品时，买卡与不买卡花钱相等．

根据题意，得300+0.8x=x，解得x=1500，所以，当顾客消费少于1500元时不买卡合算；

当顾客消费等于1500元时买卡与不买卡花钱相等；当顾客消费大于1500元时买卡合算；

（2）小张买卡合算，3500﹣（300+3500×0.8）=400，所以，小张能节省400元钱；

（3）设进价为y元，根据题意，得（300+3500×0.8）﹣y=25%y，解得

y=2480 答：这台冰箱的进价是2480元．

【思路点拨】（1）根据花300元买这种卡后，凭卡可在这家商场按标价的8折购物，得出等式进而求出即可；（2）根据（1）中所求即可得出怎样购买合算；

（3）首先假设进价为y，则可得出（300+3500×0.8）﹣y=25%y进而求出即可．

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【答案】（1）当顾客消费少于1500元时不买卡合算；当顾客消费等于1500元时买卡与不买卡花钱相等；当顾客消费大于1500元时买卡合算；（2）小张买卡合算，能节省400元钱；

（3）这台冰箱的进价是2480元．

探究型

多维突破

1.滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表：

计费项目

单价

里程费

1.8元/公里

时长费

0.3元/分钟

远途费

0.8元/公里

注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程7公里以内（含7公里）不收远途费，超过7公里的，超出部分每公里收0.8元．

小王与小张各自乘坐滴滴快车，行车里程分别为6公里与8.5公里．如果下车时两人所付车费相同，那么这两辆滴滴快车的行车时间相差（

）

A．10分钟 B．13分钟 C．15分钟 D．19分钟

【知识点】一元一次方程的应用.

【数学思想】整体思想.

【解题过程】解：设小王的行车时间为x分钟，小张的行车时间为y分钟，

由题意可得：1.8×6+0.3x=1.8×8.5+0.3y+0.8×（8.5﹣7），10.8+0.3x=16.5+0.3y，0.3（x﹣y）=5.7，

x﹣y=19．故这两辆滴滴快车的行车时间相差19分钟．故选：D．

【思路点拨】设小王的行车时间为x分钟，小张的行车时间为y分钟，根据题意列出小王和小张车费的代数式，两者相等，计算可得出时间差．

【答案】选D．

2.党的十八届三中全会决定提出研究制定渐进式延迟退休年龄政策．据报道，最近，人社部新闻发言人对延迟退休年龄进行了回应，称：每年只会延长几个月．渐进式退休年龄应该怎么算？（假定2022年起实施延迟退休．）以55岁退休为标准，假定每年延长退休时间为6个月，自方案实施起，逐年累计递增，直到达到新拟定的退休年龄．网友据此制作了一张“延迟退休对照表”．

出生年份

1967 1968

2022年年龄（岁）

延迟退休时间（年）

55 54 15 实际退休年龄（岁）

55.5 56 0.5 1

1969 1970 1971 1972 …

53 52 51 50 …

1.5 2 2.5 3 …

56.5 57 57.5 58 …

（1）根据上表，1974年出生的人实际退休年龄将会是

岁；

（2）若每年延迟退休3个月，则

年出生的人恰好是65岁退休；

（3）若1990年出生的人恰好是65岁退休，则每年延迟退休多少个月？

【知识点】一元一次方程的应用．

【解题过程】

解：（1）58+0.5×2=58+1=59（岁）．

答：1974年出生的人实际退休年龄将会是59岁；

（2）设x年出生的人恰好是65岁退休，由题意得：55+3（x

-1966）=65，解得x=2006．

12故2006年出生的人恰好是65岁退休．故答案为：2006．

x（3）设每年延迟x 个月退休，由题意得：（1990﹣1967+1）×+55=65，解得：x=5．

12答：每年延迟5个月退休．

【思路点拨】（1）根据表格可知，1974年出生的人实际退休年龄=1972年出生的人实际退休年龄+每年延迟退休时间×2，依此列式计算即可求解；

（2）可设x年出生的人恰好是65岁退休，根据等量关系：1966年出生的人实际退休年龄+每年延迟退休时间×（x﹣1966），列出方程求解即可；

（3）可设每年延迟退休x个月，根据等量关系1990年出生的人恰好是65岁退休列出方程解答即可．

【答案】（1）59；（2）2006；（3）每年延迟5个月退休．

自助餐

1.一种肥皂的零售价每块2元,凡购买2块以上（含2块）,商场推出两种优惠销售办法,第一种：“1块按原价,其余按原价的7.5折优惠”：第二种“全部按原价的8折优惠”.若你在购买相同数量的情况下,要使第一种办法和第二种办法得到的优惠相同,需要购买肥皂（

）块.

A.5块

B.4块

C.3块

D.2块

【知识点】一元一次方程的应用.

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【解题过程】

解：设买x块肥皂时第一种方法和第二种方法得到的优惠相同，则

220.75(x1)20.8x，解得：x=5. 即当购买5块肥皂时第一种方法和第二种方法得到的优惠相同.

【思路点拨】分别表示出两种销售方法的优惠，再根据优惠相同建立方程. 【答案】故选A.

2.某市按以下规定收取每月的天然气费：如果用气量不超过60立方米，按每立方米1.8元收费，如果用气量超过60立方米，则超过的部分每立方米按2.2元收费，已知某用户一个月的天然气费平均每立方米1.96元，该用户这个月份应交的天然气费是（

）元. A.286元

B.196元

C.274元

D.186元

【知识点】列一元一次方程解决实际问题.

【解题过程】解：设该用户这个月份用的天然气是x立方米，根据题意得：1.8602.2(x60)1.96x，解得：x=100,

则1.96x=196(元)，选B.

【思路点拨】由一个月的天然气费平均每立方米1.96元，可知该用户这个月份用的天然气是超过了60立方米的.

【答案】B.

3.为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某城市规定用水收费标准如下：每户每月用水量不超过6m3时，水费按0.8元/m3收费，超过6m3时，超过部分按2元/m3收费．已知某户7月份缴水费8.8元，则该用户7月份的用水量为________立方米.

【知识点】一元一次方程的应用．

【解题过程】解：设该户7月份的用水量是xm3，列方程为0.8×6+2（x﹣6）=8.8，解得：x=8.

【思路点拨】先根据“7月份缴水费8.8元”判断7月份的用水量超过6m3，再根据分段收费列出一元一次方程求解．

【答案】该用户7月份的用水量为8立方米.

4．有一位旅客携带了30kg重的行李从上海乘飞机去北京，按民航总局规定：旅客最多可免费携带20kg重的行李，超重部分每千克按飞机票价格1.5%购买行李票，现该旅客购买了180元的行李票，则飞机票价格应是

元.

【知识点】由实际问题抽象出一元一次方程．

【解题过程】解：设飞机票价格应是x元，由题意得：（30﹣20）×1.5% x=180，

解之得：x=1200，答：飞机票价格应是1200元．

【思路点拨】设飞机票价格应是x元，根据该旅客购买了180元的行李票，列方程求解．

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【答案】飞机票价格应是1200元．

5.根据下面的两种移动电话计费方式表，考虑下列问题：

月租费

本地通话费

全球通

25元/月

0.2元/分钟

神州行

0 0.3元/分钟

（1）一个月内本地通话多少分钟时，两种通讯方式的费用相同？

（2）若某人预计一个月内使用本地通话费90元，则应该选择哪种通讯方式较合算？

【知识点】一元一次方程的应用．

【解题过程】解：（1）设一个月内本地通话x分钟时，两种通讯方式的费用相同，由题意得：

25+0.2x=0.3x，解得：x=250．答：一个月内本地通话250分钟时，两种通讯方式的费用相同；

（2）设一个月内本地通话y分钟时，花费90元，由题意得：

全球通：25+0.2y=90，解得：y=325，神州行：0.3y=90，解得：y=300，

∵325＞300，∴选择全球通比较合算．

【思路点拨】（1）由两种通讯方式的费用相同，即等量关系：全球通的花费（月租25元+x分钟的通话费）=神州行的花费（x分钟的通话费）；

（2）设一个月内本地通话y分钟时，花费90元，然后根据收费方式计算出全球通可以打多长时间的电话，神州行可以打多长时间的电话，比较时间长短即可得到答案．

【答案】（1）一个月内本地通话250分钟时，两种通讯方式的费用相同；

（2）选择全球通比较合算．

6.为发展校园足球运动，某县城区四校决定联合购买一批足球运动装备，市场调查发现：甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的足球队服和足球，已知每套队服比每个足球多50元，两套队服与三个足球的费用相等，经洽谈，甲商场优惠方案是：每购买十套队服，送一个足球；乙商场优惠方案是：若购买队服超过80套，则购买足球打八折．

（1）求每套队服和每个足球的价格是多少？

（2）若城区四校联合购买100套队服和a个足球，请用含a的式子分别表示出到甲商场和乙商场购买装备所花的费用；

（3）假如你是本次购买任务的负责人，你认为到哪家商场购买比较合算？

【知识点】一元一次方程的应用．

【解题过程】

解：（1）设每个足球的定价是x元，则每套队服是（x+50）元，

根据题意得2（x+50）=3x，解得x=100，∴x+50=150．

答：每套队服150元，每个足球100元；

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（2）到甲商场购买所花的费用为：150×100+100（a﹣100）=100a+14000（元），

10到乙商场购买所花的费用为：150×100+0.8×100•a=80a+15000（元）；

（3）当在两家商场购买一样合算时，100a+14000=80a+15000，解得a=50．

∴购买的足球数等于50个时，则在两家商场购买一样合算；购买的足球数多于50个时，则到乙商场购买合算；购买的足球数少于50个时，则到甲商场购买合算.

【思路点拨】（1）根据两套队服与三个足球的费用相等列出方程即可；（2）根据甲、乙两商场的优惠方案即可求解；（3）先求出到两家商场购买一样合算时足球的个数，再根据题意即可求解．

【答案】（1）每套队服150元，每个足球100元；（2）甲商场购买所花的费用：100a+14000 乙商场购买所花的费用：80a+15000；（3）购买的足球数等于50个时，则在两家商场购买一样合算；购买的足球数多于50个时，则到乙商场购买合算；购买的足球数少于50个时，则到甲商场购买合算.

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