整式的乘除教学实录及点评

《整式的乘除》教学设计

固始县草庙一中 李付红

单元教学分析

14.1幂的运算

1.乘方的意义→同底数幂的乘法→幂的乘方，乘方的意义+乘法交换律→积的乘方→同底数幂的除法. 14.1.2整式的乘法

1.乘法的运算律+同底数幂的乘法→单项式乘法。

5.乘法分配律+单项式乘法→单项式乘以多项式。

14.2.1乘法公式

1.两数和乘以它们的差、两数和的平方公式均来自整式的乘法,又应用于整式的乘法. 2.两数差的平方公式可以由“和”的情形来理解. 14.2.2整式的除法

14.3因式分解

1.整式的乘法+“因数分解”→因式分解．整式的乘法可以用来检验因式分解的正确性。

第1课时

同底数幂的乘法

教学分析

重点：掌握并能熟练地运用同底数幂的乘法法则进行乘法运算。

难点：对法则推导过程的理解及逆用法则。

关键：关注性质的推导，主动探索，在实践中获得结论，并能正确地用语言表述性质。

教学过程

1．填空。

(1)2×2×2×2×2＝（ ），a·a·…·a＝( ) m个

1．下述题目，要求学生说出每一步变形的根据之后，再提问让学生直接说出2×2＝( )，3×3＝( )，由此可发现什么规律? (1)2×2＝( )×( )＝2(2)5×5＝( )×( )＝5(3)aa＝( )×( )＝a34343232( )( )( )3567，

，

。

mn2．如果把a×a中指数3和4分别换成字母m和n(m、n为正整数)，你能写出aa的结果吗?你写的是否正确? (让学生猜想，并验证。) 即a·a＝a(m、n为正整数) 这就是同底数幂的乘法法则。

让学生用文字语言表述法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

3．说明:同底数幂的乘法法则是初中数学中第一个关于幂的运算法则，应充分展示教学过程。

三、举例及应用。

1．例1、计算：

mnm＋n（1）10×10 （2）a·a （3）a·a·a

第2课时

幂的乘方

教学分析

34335

重点：掌握并能熟练地运用同底数幂的乘法法则进行乘法运算。

难点：对法则推导过程的理解及逆用法则。

关键：利用教材内容安排的特点，把幂的乘方的学习与同底数幂的乘法紧密联系起来。

教学过程

二、新授。

1．x表示什么意义? 2．如果把x换成a，那么(a)表示什么意义? 3．怎样把a·a·a·a＝a4．由此你会计算(a)吗? 5．根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空。

(1)(2)＝2×2＝2233533233( )4522222＋2＋2＋24433写成比较简单的形式? ；

( )(2)(3)＝( )×( )×( )＝334；

( )3n(3)(a)＝a×( )×( )×( )×( )＝a119。

6．用同样的方法计算：(a)； (a)； (b)(n为正整数)。

这几道题学生都不难做出，在处理这类问题时，关键是如何得出3＋3＋3＋3＝12，教师应多举几例。

教师应指出这样处理既麻烦，又容易出错。此时应让学生思考，有没有简捷的方法?引导学生认真思考，并得到：

(2)＝2323×2＝2； (3)＝3＝3； (a)＝a6232×3611911×9＝a (b)＝b993n3×n＝b

3n(现察结果中幂的指数与原式中幂的指数及乘方的指数，猜想它们之间有什么关系?结果中的底数与原式的底数之间有什么关系?)怎样说明你的猜想是正确的? 即(a)＝a·(m、n是正整数)。

这就是幂的乘方法则。

你能用语言叙述这个法则吗? 幂的乘方，底数不变，指数相乘。

三、举例及应用。

3．例2、下列计算过程是否正确? (1)x·x·x＋x·x·x＝x＋x＝x。

(2)(x)＋(x)＝x＋x＝x

(3)a·a·a＋a·a·a＝a＋a＝2a。

(4)(a)＋a·a＝a＋a＝2a。

说明：(1)要让学生指出题中的错误并改正，通过解题进一步明确算理，避免公式用错。(2)进一步要求学生比较“同底数幂的乘法法则”与“幂的乘方法则”的区别与联系。

23336662532388842538152326354ll102lmnmn第3课时

积的乘方

教学分析

重点：探索积的乘方法则的形成过程。

难点：积的乘方公式的推导及公式的逆用。

关键：关注性质的推导，主动探索，在实践中获得结论，并能正确地用语言表述性质。

教学过程

3.探索，概括。

于是我们得到了积的乘方法则：(ab)＝ab(n是正整数)。

这就是说，积的乘方，等于各因数乘方的积。

教师应一步一步地引导学生，得出结论(因为指数是用字母表示的，就学生的思维状况来说是个难点)。然后让学生自己对照公式总结，自己叙述出法则。

4．引导学生剖析积的乘方法则。

问题：三个或三个以上因式的积的乘方，是不是也具有这一性质? (1)(abc)＝(ab)c＝abc。

nnnnnnnnn

即(abc)＝abc(n为正整数)。

三、举例及应用。

1．例3计算：

(1)(－2b)； (2)(2×a)； (3)(－a)； (4)(－3x)。

33234nnnn第4课时

同底数幂的除法

教学分析

重点：准确熟练地运用同底数幂的除法运算法则进行计算。

难点：理解同底数幂的除法的运算算理。

关键：根据乘、除互逆的运算关系得出同底数幂的除法运算法则。

教学过程

（1）叙述同底数幂的乘法性质．

（2）计算：①102103 ②2233 ③a2a3

amanamn．（m，n都是正整数）

三．导向深入，揭示规律

我们通过同底数幂相乘的运算法则可知，x那么，根据除法是乘法的逆运算可得x也就是x552x3x5

x3x2

x3x53x2

同样，a那么am253532a3a5，aaaa

an，当m，n都是正整数时，如何计算呢？（板书）aman?

四．尝试反馈，理解新知

例1计算：（1）x例2计算：（1）8x2 （2）(a)4(a)

ab5ab2 （2）yn2y2

第5课时

单项式与单项式相乘

教学分析

重点：对单项式运算法则的理解和应用；

难点：尝试与探究单项式与单项式的乘法运算规律；

关键：正确认识单项式与单项式的系数、相同字母、不同字母三者在它们的乘积中的处理方法。

教学过程

；

1．判断下列计算是否正确，如有错误加以改正。

(1)a·a＝a (2)a·a·a＝a； (3)(a)＝a； (4)(3ab)·a＝6ab。

2．计算：

(1)10×10×10＝( )； (2)(a＋b)·(a＋b)·(a＋b)＝( )； (3)(－2xy)＝( )。

二、导入新课。

我们刚才已经复习了幂的运算性质。从本节开始，我们学习整式的乘法。我们知道，整式包括什么?(包括单项式和多项式。)因此整式的乘法可分为单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式。这节课我们就来学习最简单的一种：单项式与单项式相乘。

2434232351025732922424第6课时

单项式与多项式相乘

教学分析

重点：掌握单项式乘以多项式的法则。

难点：熟练地运用法则，准确地进行计算。

关键：单项式与多项式相乘时应用乘法分配律转化为单项式相乘。

教学过程

1．单项式与单项式相乘的法则? 单项式乘以单项式就是系数与系数相乘，相同字母按同底数的幂相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式。

2．完成下列各题。

(1)2x·(－4xy)＝( )； (2)(－2x)·(－3xy)＝( )；

122352(3)(－ ab)·( ab)＝( )； (4)12(

－

＋ )＝( ) 23346二、引导观察，图形演示。

2351．在l2×(

－

＋ )中，你是怎样计算的?用什么样的方法较简单?(乘法分配律。) 346235235即12×(

－

＋ )＝12×

－12×

＋12×

。

34634622

2．我们知道代数式中的字母都表示数，如果把上题中的数都换成字母，你会计算m(a＋b＋c)吗? (引导学生用乘法的分配律解决。) 3．你算出的结果能否用长方形的面积加以验证?(出示图。) 大长方形的面积有两种表示方法，一是长为a＋b＋c，宽为m，面积是m(a＋b＋c)；二是三个小长方形的面积和，即am＋bm＋cm。它们都是大长方形的面积，所以它们是相等的，即m(a＋b＋c)＝am＋bm＋cm。

4．在m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc中，“m”是单项式，“a＋b＋c”是多项式，这两者相乘，从中你能看出什么规律? (在教师的引导下，学生总结出法则，并用语言叙述。) 法则：单项式与多项式相乘，只要将单项式分别乘以多项式的各项，再将所得的积相加。

用式子表示为：m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc 三、举例及应用。

1．例1计算：(－2a)·(3ab－5ab)。

解：(－2a)·(3ab－5ab) ＝(－2a)·3ab＋(－2a)·(－5ab) ＝－6ab＋l0ab。

(此题是为了熟悉法则，解题时要严格按法则，教师示范解题格式。) 212224．例3计算：－2a( ab＋b)－5a(ab－ab)。

232332223223223(该题是含有两个单项式与多项式相乘的混合运算，对于后一个括号中的“－”的处理，要看成是单项式的符号。) 第7课时

多项式与多项式相乘

教学分析

重点：多项式乘以多项式法则的形成过程以及理解和应用；

难点：多项式乘以多项式的法则的正确应用；

关键：多项式的乘法应先转化为单项式乘多项式相乘进行运算，进一步再转化为单项式的乘法。

教学过程

一、复习活动。

指名学生说出单项式与多项式相乘的法则。

(单项式乘以多项式就是用单项式乘以多项式中的每一项，再把所得的积相加。) 二、引导观察，图形演示。

1．式子p(a＋b)=pa＋pb中的p，可以是单项式，也可以是多项式。如果p=m＋n，那么p(a＋b)就成了(m＋n)(a＋b)，这就是今天我们所要讲的多项式与多项式相乘的问题。(由此引出课题。) 你会计算这个式子吗?你是怎样计算的? (教师引导学生由繁化简，把m＋n看作一个整体，使之转化为单项式乘以多项式，即：[(m＋n)(a＋b)=(m＋n)a＋(m＋n)b=ma＋mb＋na＋nb。] 2．你能用图形验证你算出的式子吗? 某地区在退耕还林期间，有一块原长m米、宽a米的长方形林区增长了n米，加宽了b米。请你表示这块林区现在的面积。

问题：(1)如何表示扩大后的林区的面积? (2)用不同的方法表示出来后的等式为什么是相等的呢?

(学生分组讨论，相互交流得出答案。) 学生得到了两种不同的表示方法,一个是(m＋n)(a＋n)米；另一个是(ma＋mb＋na＋nb)米.以上的两个结果都是正确的。

3．观察这一结果的每一项与原来两个多项式各项之间的关系，能不能由原来的多项式各项之间相乘直接得到?如果能得到，又是怎样相乘得到的?(教师示范。) 你能用语言叙述这个式子吗? 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

即：(m＋n)(a＋b)=ma＋mb＋na＋nb。

22第8课时

两数和乘以这两数的差

教学分析

重点：掌握平方差公式的特点，牢记公式。

难点：具体问题要具体分析，会运用公式进行计算。

关键：抓住本节公式结构特征，判断哪些算式符合公式特征，哪些不符合公式特征。

教学过程

二、知识回顾。

1．多项式乘以多项式的法则：____________________________________________________________。

2．利用多项式与多项式的乘法法则说出(x＋a)(x＋b)的结果。

3．计算：

(1)(x＋3)(x－3)； (2)(a＋2b)(a－2b)； (3)(4m＋n)(4m－n)； (4)(5＋4y)(5－4y)。

三、引导观察。

1．请你观察一下这几个多项式与多项式相乘的乘法式子，两个因式有什么特点?积有什么特点? 2．这四个题目与(x＋a)(x＋b)=x＋(a＋b)x＋ab有什么关系?你还能再举出这样的几个例子来吗? (引导学生发现：当a=－b时，(x＋a)(x＋b)=x－b，从而得出平方差公式。) 222第9课时

两数和的平方

教学分析

重点：掌握两数的平方这一公式的结构特征；

难点：对具体问题会运用公式以及理解字母的广泛含义。

关键：引导学生对本节课公式结构特征进行理解，并注意同两数与这两数差的积的公式进行区分。

教学过程

1．说出平方差公式。

(两数的和乘以这两数的差等于这两个数的平方差。) 2．计算：(x＋a)(x＋b)＝＿＿＿＿＿＿。

二、引导观察。

4．你会用(a＋b)=a＋2ab＋b计算(a－b)。

引导学生将“－b”看作一个数，将(a－b)化为[a＋(－b)]=a＋2a×(－b)＋(－b)=a－2ab＋b，并指出这也是一个乘法公式：(a－b)=a－2ab＋b。

5．你能用图形验证：(a＋b)=a＋2ab＋b及(a－b)=a－2ab＋b吗?

2222222222222222222

在左图中，大正方形的面积是(a＋b)，它由两个小正方形和两个相等的长方形组成的，两个小正方形的面积分别是a、b，长方形的面积是ab，所以有等式(a＋b)=a＋2ab＋b。

在右图中，大正方形的面积是a，两个小正方形的面积分别是(a－b)、b，两个相等的长方形面积都是(a－b)·b，于是有a2=(a－b)＋2(a－b)·b＋b，即(a－b)=a－2(a－b)·b－b=a－2ab＋b。

(让学生进一步感受“数形结合”的思想。) 6．比较(a＋b)=a＋2ab＋b及(a－b)=a－2ab＋b这两个公式，它们有什么不同?有什么联系? (引导学生进一步总结公式的结构特点，公式的左边是两数和(或差)的平方，右边是一个三项式，其中两项是这两个数的平方，另一项是这两个数积的2倍。) 6、你会用乘法公式计算吗？

（1）（m＋n）（m－n）（m－n） （2）（a＋b＋c）

先让学生讨论，再解答，交流体会。

7、请你完成下面计算。

（1）91 （2）301 （3）（x＋2）－（x－2）

22222222222222222222222222222第10课时

单项式除以单项式

教学分析

重点：掌握整式除法运算法则，并学会简单的整式除法运算。

难点：理解和体会单项式除以单项式的法则。

关键：通过整式乘法，类比数的运算，迁移到整式除法运算。

教学过程

（l）叙述同底数幂的除法性质．

（2）计算：（1）a10a3

（2）y7y6

（3）105105

（4）y3y3

m学生活动：学生回答上述问题．（aanamn，m，n都是正整数，且m＞n）

通过复习引起学生回忆，且巩固同底数幂的除法性质．同时为本节的学习打下基础，注意要指出零指数幂的意义．

二．指出问题，引出新知

问题

地球的质量约为5.98×1024千克，木星的质量约为1.9×1027千克.问木星的质量约是地球的多少倍？（结果保留三个有效数字）

分析

本题只需做一个除法运算：（1.9×1027）÷（5.98×1024），我们可以先将1.9除以5.98，再将1027除以1024，最后将商相乘.

解

（1.9×1027）÷（5.98×1024）＝（1.9÷5.98）×1027-24≈0.318×103＝318. 答：木星的重量约是地球的318倍. ①

8a32a ②

6x3y3xy ③ 12a3b2x33ab2 （2）你能根据（2）说一说单项式除以单项式的运算法则吗？

学生总结，教师归纳：单项式除以单项式法则：单项式除以单项式，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

三．范例学习

例1 计算（1）24a评析：注意b课堂演练：

计算：（1）28x423b23ab2 （2）－21a2b3c3ab

（3）6xy23xy

2b2=b0=1，字母c只在被除式中出现，结果它仍保留在商中. y24x3y （2）15a5b3c15a4bc2

第11课时

多项式除以单项式

教学分析

重点：掌握多项式除以单项式的运算法则及简单运算。

难点：理解和体会多项式除以单项式的法则。

关键：类比数的除法，除以单项式看成是乘以这个单项式的倒数，也可利用逆运算进行考虑。

教学过程

一、课堂小测

1、2rs4rs 2、－13xy2223431x4y522

3、2ab22ab4a2b2ab 4、6ab2÷2ab－4a2b÷2ab

二．讨论

1.问题提出

计算下列各式，谈谈你是怎么计算

（1）（am＋bm）÷m （2）三、范例学习

例3 计算

（1）a2aba （3）4x2y2xy22xy

9x415x26x3x （2）28a3b2ca2b314a2b27a2b

四、课堂演练

计算：（1）(12a（2）6a23a)÷3a 21x4y335x3y27x2y27x2y3

（3）[xy2y（2x＋y）－8x]÷2x 第12课时

因式分解（1）

教学分析

重点：因式分解的概念及用提公因式法分解因式。

难点：正确的找出多项式各项的公因式进行因式分解。

关键：正确找出多项式各项的公因式，对于每个多项式应分解彻底。

教学过程

二、因式分解的概念

教师活动：

1、探究题：请同学们把下列多项式写成整式的积的形式（投影）

（1）x+x=___________(2)x-1=_____________ 2、引导学生分析上面式子的特点，归纳因式分解的概念。

定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解。也叫做把这个多项式分解因式。

22

3、引导学生分析整式乘法与因式分解的联系与区别。

联系：都是由几个相同的整式组成的等式。

区别：相同整式的位置比同，两者是相反的恒等变形。

例1下列各式那些是因式分解？

（1）x+x=x(x+1) (2)a(a-b)=a-ab (3)(a+3)(a-3)=a-9 (4)a-2a+1=a(a-2)+1 例2指出下列多项式的公因式：

(1)a-a (2)5ab-ab

(3)4mnp-2mnq (4)ab-ab

强调找公因式的方法：公因式的系数应取最大公约数；字母取相同字母且字的指数取最低次数。

3、引入提公因式法分解因式。

整式乘法：m(a+b+c)=ma+mb+mc逆变形得到

因式分解：ma+mb+mc=m(a+b+c) 说明：多项式ma+mb+mc各项都有的公因式m可以提到括号外面，写成m（a+b+c）的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

定义：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法。

4、提公因式法分解因式典型举例。

例3把下列各式分解因式：

(1)8ab-12abc (2)3x-6xy+x (3)2a(b+c)-3(b+c) 说明：1）提公因式法分解因式的步骤：第一步：找出公因式。第二步：提公因式。

2）当多项式的一项是公因式时，这项应看成它与1的积，提公因式后剩下的是1，不能漏掉。

3）公因式不仅可以是单项式，也可以是多项式，找公因式时要注意观察。

四、课堂巩固练习

1．把下列各式分解因式：

（1）8mn+2mn (2)12xyz-9xy (3)2a(y-z)-3b(z-y) (4)p(a+b)-q(a+b) 2.先分解因式，再求值。

4a(x+7)-3(x+7),其中a=5,x=3 六、布置作业：用提公因式法分解因式

（1）－20a－25ab （2）－a（3）9a（5）3322222222323222222222222b23a2b3

x227a5x236a4x4 （4）amam1

xm3mxm （6）a2x2a2a2ax2

第13课时

因式分解（2）

教学分析

重点：能利用公式法进行分解因式

难点：观察多项式的特点,判断是否符合公式的特征和综合运用分解的方法,并完整地进行分解

关键：抓住乘法公式的特征应用于多项式的分解，注意检验多项式是否分解彻底

教学过程

特点：这两个多项式都可以写成两个数的平方差的形式,对于这种形式的多项式,可以利用平方差公式来分解因式。

即：ababa2b2反过来就是：a2b2abab 2要求学生具体说说这个公式的意义，教师用语句清楚地进行表述。

例1、分解因式：（1）4x-9 （2）例2、分解因式 (1)x492x-0.01y2 （3）(x+p)2-(x+q)2

49y4 （2）a3bab

22例3、分解因式 (1)16x+24x+9 (2)-x+4xy-4y

训练学生运用完全平方公式分解因式，要尽可能地让学生说和做，引导学生把多项式与公式进行比较找出不同点，把多项式向公式的方向转化。

例4、分解因式 (1)3ax+6axy+3ay (2)(a+b)-12(a+b)+36 学生仔细观察多项式的特点,教师适当提醒和指导,要从公式的形式和特点上进行比较.(可把a+b看作一个整体，设a+b=m) 四、随堂练习：

1、用公式法分解因式

（1）a222236b2 （2）9x216y2 （3）144x2-256y2

2（4）zxy2 （5）a2b2x3y2 （6）a－a5

第14课时

面积与代数恒等式

教学分析

重点、难点

从图形面积到代数恒等式、从代数恒等式到图形面积

教学方法：引导启发、自主探索、合作交流

教学手段：网络教学

教学过程

（一）引入：

前一阶段我们学习了整式的乘法和因式分解，无论是整式的乘法还是因式分解，我们都接触了一些幂的运算公式和乘法公式。今天我们借用拼图的方式来验证它们的正确性。

（二）从图形面积到代数恒式：

1、说一说

首先请同学们观察用硬纸片拼成的几幅图形：

a

a

图1aaababbaab图2图3

这些图形面积的两种不同表示，可以用来解释什么等式？2a24a2，ab2a22abb2 小结：利用同一图形面积的不同表示方法可以得出代数恒等式

（三）从代数恒等式到图形面积：

1、做一做

前面我们根据拼图面积的不同表示方法，写出了代数恒等式。现已知代数恒等式，同学们能否用拼图的方法来验证它们的正确性？

如：代数恒等式：

(1)2a3b(3)6ab (2)aaba2ab

2abab2a23abb2 (4)a2b2ab2a23abb2

2小结：由代数恒等式来设计图形，可根据恒等式左右两边的特点来进行。

如：a可以看成一个边长为a的正方形的面积，画出图形；

ab可以看成一个长为a，宽为b的长方形的面积，画出图形；

。

2abab可以看成一个长为2ab，宽为ab的长方形的面积，然后对画出的图形进行适当的割补！

2、试一试

让大家都当一回设计师，帮一个工程队设计一套住房，要求：在一块长为4x，宽为4y的长方形荒地上建成一套两室一厅一厨一卫的房子。其中客厅面积为6xy；两卧室面积共为8xy；厨房面积为xy；卫生间面积为xy。根据今天所学的内容，请你试着把自己的想法画成平面结构示意图。

yxy2y卧室厨房卫生间3x客厅卧室