测试名师教学设计2

全等三角形的应用

学习目标：

1、利用正方形的性质结合全等三角形的知识来解决问题

2、能找到变化过程中的不变关系

3、体会转化的数学思想、从特殊到一般的数学思想的利用

能力目标

以数学说题的方式进行测试, 训练数学的说题能力

一、小组探究活动一旋

转

问

题

情境创设：如图是一块正方形草地，要在上面修建两条交叉的小路，使得这两条小路将草地分成的四部分面积相等，你有多少种方法？并与组内的同学交流一下．

二、实验探究

如图,正方形ABCD的对角线交于点O,点O是正方形A′B′C′O的一个顶点,如果两个正方形的边长相等,那么正方形A′B′C′O绕点O无论怎样转动，两个正方形重叠部分的面积与一个正方形面积的有怎样的数量关系？说明理由猜想：四分之一

【解析】由题易知△AOE≌△BOF，故两个正方形重叠部分的面积可转化为△

ABO的面积．数学转化思想的利用。

解：∵四边形ABCD为正方形

∴∠OAE=∠OBF=45°,BO⊥AC

即∠AOE+∠EOB=90°

又∵四边形A′B′C′O为正方形

∴∠A′OC′=90°

即∠BOF+∠EOB=90°

∴∠AOE=∠BOF

在△AOE和△BOF中

∠AOE=∠BOF

AO=BO，

∠OAE=∠OBF

∴△AOE≌△BOF(ASA)

即：两个正方形重叠部分的面积

=S△BOF+S△BOE=S△AEO+S△BOE

= S △ABO=一个正方形面积的四分之一

三、知识应用

如图是一块正方形草地，要在上面修建两条交叉的小路，使得这两条小路将草地分成的四部分面积相等，你有多少种方法？并与组内的同学交流一下．

【解答】分法有无数种，只要保持两条路互相垂直且均过正方形的中心即可．

四、推广应用

将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放,点A1,A2,…,An分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是n−1 . 【解析】

由题意知一个阴影部分面积等于正方形面积的

,

即四分之一×4=1，n个正方形重叠部分的面积和即为（n-1）个阴影部分的

面积和为：1×(n−1)=n−1. 五、小组探究活动二

-----------点的平移问题

1.典例：如图在正方形ABCD中，当点E是边BC的中点时，∠AEF=90°，EF交正方形外角平分线CF于点F

。求证：AE=EF

解析：想证明

AE=EF，需证AE、EF所在的两个三角形全等，显然EF是△ECF的边，图中没有和△ECF全等的三角形就通过作辅助线构造全等形。

在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，所以想到取边AB的中点G，这样AG=EC，连接GE．易证明△AGE≌△ECF，

即可得对应边AE=EF 。

证明：取边AB的中点G，连接GE．

∵在正方形ABCD中

点G，E为边AB、BC中点，

∴AG=EC

即：△GBE为等腰直角三角形

∴∠AGE=180°-45°=135°

又∵CF为正方形外角平分线

∴∠ECF=90°+45°=135°

∵∠AEF=90°

∴∠GAE=90°-∠AEB=∠CEF

在△AGE和△ECF中

∠AGE＝∠ECF，AG＝EC，∠GAE＝∠CEF ∴△AGE≌△ECF（ASA）

∴AE=EF．

2.变形拓展：当点E是边BC上的任意一点时，∠AEF=90°，EF交正方形外角平分线CF于点F，那么（1）中结论是否成立？若成立请加以证明，若不成立请说明理由

解析：在边AB上取点G使AG=EC，连接GE,依然构造△AGE≌△ECF 从特殊到一般的数学思想

证明：在边AB上取点G,使

AG=EC，连接GE

∵AG=EC，AB=BC ∴BG=BE 即：△GBE为等腰直角三角形

∴∠AGE=∠ECF=135°

∵∠AEF=90°

∴∠GAE=90°-∠AEB=∠CEF

在△AGE和△ECF中

∠AGE＝∠ECF, AG＝EC, ∠GAE＝∠CEF ∴△AGE≌△ECF（ASA）

∴AE=EF 3.变形拓展：当点E是CB延长线上的任意一点时，

∠AEF=90°，EF交正方形外角平分线CF于点F，那么（1）中结论是否成立？若成立请加以证明，若不成立请说明理由。

解析：此变形中点E已不在边CB上，移动到边的延长线上，所以不能在边AB上取点了，而要在边AB的延长线上取一点G，使AG=EC,连接EG。依然构造

△AGE≌△EC，体会变化过程中不变的关系。

证明：在边AB的延长线上取

一点G，使AG=CE,连接EG

∴BG=BE ∴∠G=∠GEB＝∠ECF =45°

∵∠AEF=90°

∴∠GAE=90°-∠AEB=∠CEF

∴∠GAE=∠CEF

在△AGE和△ECF中

∠G＝∠ECF, AG＝EC, ∠GAE＝∠CEF

∴△AGE≌△ECF（ASA）

∴AE=EF

4.变形拓展：当点E是BC延长线上的任意一点时，∠AEF=90°，EF交正方形外角平分线CF于点F，那么（1）中结论是否成立？若成立请加以证明，若不成立请说明理由。

解析：此变形中要在边BA的延长线上取一点G，使AG=CE,连接GE。依然构造△AGE≌△ECF。

证明：在边BA的延长线上

取一点G，使AG=CE,连接GE。

∴BG=BE ∴∠G=45°

∴∠G=∠ECF=45°

∵AD∥BE，

∴∠DAE=∠BEA，

又∵∠GAD=∠AEF=90°，

∴∠DAE+∠GAD=∠BEA+∠AEF，

即∠GAE=∠CEF，

在△AGE和△ECF中

∠G＝∠ECF, AG＝EC, ∠GAE＝∠CEF

∴△AGE≌△ECF（ASA）

∴AE=EF．

六、总结收获，深化理解

1.本节课你有哪些收获？

2.学习了哪些数学思想？

3.做好学习反思