习题训练精品学案

习题训练：

《

最短（长）距离问题》

抚顺四十二中学 李红敏

学习目标：最值问题是初中数学的重要内容，也是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中考的热点问题，它主要考察学生对平时所学的内容综合运用，无论是代数问题还是几何问题都有最值问题，在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论（如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等）。

学习重点与难点：

1、重点：（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”。凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型。

（2）归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型。 2、难点：不管在什么背景下，有关线段之和最短问题，总是化归到“两点之间的所有连线中，线段最短”，而转化的方法大都是借助于“轴对称点”. 教学过程是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程，具体教学过程如下：

(一)知识模型回顾

解决最短距离的理论依据是： 条件：如图，A、B是直线l同旁的两个定点．

问题：在直线l上确定一点P，使PAPB的值最小．

方法：作点A关于直线l的对称点A，

B 连结AB交l于点P，

则PAPBAB的值最小（不必证明）．

(二)模型的几何图形应用

（1）如图1，正方形ABCD的边长为2，

E为AB的中点，P是AC上一动点．

A l P A′

B E A 图1 p c 连结BD，由正方形对称性可知，B与D

关于直线AC对称．连结ED交AC于P，

则PBPE的最小值是___________；

（2）如图2，⊙O的半径为2，点A、B、C

在⊙O上，OAOB，AOC60°，

P是OB上一动点，求PAPC的最小值；

D A C 图2 O P B （3）如图所示，正方形ABCD的面积为12，

△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，

在对角线AC上有一点P，使PDPE的和最小，

则这个最小值为（ ） A P E C D A．23 B．26 C．3 D．6

(三)模型的函数应用

B （4）一次函数ykxb 的图象与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4）．

（1）求该函数的解析式；

（2）O为坐标原点，设OA、AB的中点

分别为C、D，P为OB上一动点，

求PC＋PD的最小值，

并求取得最小值时P点坐标．

yBDPOCA（5）已知：抛物线的对称轴为与x轴交于A，B两点，与y轴交于点xAC，其中0C0，2．3，、

（1）求这条抛物线的函数表达式．

（2）已知在对称轴上存在一点P，使得△PBC的周长最小．请求出点P的坐标．

y A O B x C (四)巩固提高

在这一环节，我会根据例题做以拓展，考虑当条件变化之后结论是否还成立，从而引导学生从多个角度思考问题。

431，3的坐标为交2yaxbxc的顶点P（6）如图，抛物线3)．

x轴于A、B两点，交y轴于点C(0，

（1）求抛物线的表达式．

（2）把△ABC绕AB的中点E旋转180°，得到四边形ADBC．

判断四边形ADBC的形状，并说明理由．

（3）试问在线段AC上是否存在一点F，使得△FBD的周长最小，若存在，请写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

y D B x O E 教师通过图形的变化过程，学生观察。对于问题2给予足够的时间让学生独立思考、小组合作，由不同学生表述自己的不同思路，教师展示学生的不同方案，对于有创意的方案要大力表扬，然后教师规范板书。并引导学生从多种证明思路中选择较为简洁的方法。

有了问题2的深入探究，估计问题3对学生有些困难，因此，让学生独立思考后寻找解题方法、思路。

(五)小结作业

小结：师生共同小结，在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论（如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等）。

C P P