多边形的外角和板书设计及意图

11.2.2

三角形的外角

1.理解外角的定义并能够识别三角形的外角.

2.理解三角形外角的性质,能够用三角形外角性质求与三角形有关的角的度数.

3.能够用三角形的外角性质解决生活中的实际问题.

在学习外角及外角性质中体会数学中的“转化”思想,通过探究三角形外角性质的过程培养自主探究和小组合作的意识.

通过猜想问题到结论的证实,让学生体验到探索问题成功的喜悦和成就感,让学生在解题中感受生活中数学的存在,体验数学充满着探索和创造.

【重点】

三角形外角的识别及外角性质的运用.

【难点】

运用三角形外角性质进行有关计算时,能准确地表达推理的过程和方法,并能够迁移到生活中.

【教师准备】

比较大的纸板.

【学生准备】

硬三角形纸板,量角器.

导入一:

(提出问题) 1.三角形的内角和定理是什么?那么你是用什么方法得到这个结论的呢?怎样用硬纸板证明这一结论呢? 2.学生根据要求完成操作.

3.把学生的拼图在黑板上展示,学生观察.

学生回忆三角形的内角和定理,并说出证明的方法:拼图、推理、画出图形,进行表述.

[设计意图]

通过回忆旧知,为本课内容做好知识铺垫,同时为利用拼图继续探究三角形的外角性质提供基础.

导入二:

两只猎豹在如图所示的A处发现一只野牛独自在O处,猎豹打算用迂回的方式,先由一只从A前进到C处,然后再折回在B处截住野牛,另一只直接从A处扑向野牛,已知∠BAC=40°,∠ABC=70°,则猎豹从C处要转多少度才能直达B处? 学习做好设疑.

[设计意图]

通过富有情趣的故事引入,激发学生学习的情趣,能够引导学生积极投入思考中,为新知的

[过渡语]

三角形的内角和为180°,内角和哪些角还有关系呢?还能得到哪些推论呢?我们进一步研究三角形的有关角.

一、三角形外角的定义

(教师提出问题) 1.观察图形,∠ACD与∠ACB在位置上有什么关系? 2.对于∠ACB而言,∠ACD在ΔABC的内部还是外部? 学生回答教师问题,继而师生共同总结三角形外角的定义.

板书:像∠ACD这样,三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角.

二、三角形外角性质的探究

[过渡语]

在我们对三角形外角的概念认识之后,那么三角形的外角和内角之间有什么关系呢?我们继续探究.

思路一

问题1 如图,在ΔABC中,分别度量∠A和∠B的大小,并且度量∠ACD的大小.

问题2 ∠A和∠B的和与∠ACD有什么关系?再画一个图形试一下!

【师生活动】

学生进行操作、探究、交流后,得到结论:∠ACD=∠A+∠B;教师引导学生用自己的语言总结三角形外角的这一性质.

【结论】

三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和.老师引导学生回顾三角形内角和定理的证明方法.

【师】

我们是否可以不加辅助线证明三角形外角的性质? 【生】

用等量代换.

【师】

在证明三角形外角性质时,采用了等量转化.

学生小组讨论,尝试使用等量代换的思想证明三角形外角的性质,并进行汇报.教师根据学生汇报的情况有针对性地讲解并点名学生进行板演.

已知:如图所示,ΔABC中,D为BC延长线上一点.

求证:∠ACD=∠A+∠B.

证明:因为∠A+∠B+∠ACB=180°, ∠ACD+∠ACB=180°, 所以∠A+∠B=180°-∠ACB, ∠ACD=180°-∠ACB, 所以∠ACD=∠A+∠B.

【教师板书】

三角形外角性质:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.

[设计意图]

当∠A和∠B变化时,采用测量的方式进行直观感受,再用一般的方法来计算∠ACD,使学生产生认知上的冲突,为本课的探究提供内驱力,通过学生的推导,来培养学生的合情推理能力.

思路二

教师布置学生自学教材第15页思考的内容,然后同学间进行交流、讨论,归纳三角形的外角有什么性质,并提出以下问题: 你能否用证明的方法说明你所归纳的性质?让学生先自己去尝试说一说,互相讨论交流,然后安排学生当堂发言,师生共同纠正过程中的不当之处,学生归纳得出三角形外角的性质:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.

[设计意图]

三角形外角的性质是在三角形内角和定理的基础上得出的,根据探究中的提示,学生能够发现它们之间的关系,学生能自己学会的教师就不必讲,要充分调动学生的学习主动性,这也正是这里安排学生自学的目的所在.进一步提出要求,让学生用证明的方法去说明,培养学生的推理论证能力,同时更严谨地说明三角形外角的性质.

[知识拓展]

因为三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和,所以可以得到三角形的外角大于任意一个和它不相邻的内角.

利用以上的关系证明角之间的不等关系时,应设法把求证中的大角放在三角形的外角位置上,把小角放在内角位置上,也可以把它们的一部分放在外角或内角的位置上.

[过渡语]

在学习三角形的外角性质后,那么有什么应用呢?我们看一下几个问题.

根据下列图形,分别求出各图中的∠1的度数.

〔解析〕

根据图形中∠1的位置,判断∠1是三角形的内角还是外角,选择运用三角形的内角和定理或外角的性质进行解答.

解:图(1)中,∠1+30°+60°=180°,所以∠1=180°-30°-60°=90°.

图(2)中,120°=∠1+35°,所以∠1=120°-35°=85°.

图(3)中,∠1=45°+50°=95°.

(教材例4)如图所示,∠BAE,∠CBF,∠ACD是ΔABC的三个外角,它们的和是多少?

〔解析〕

由图形可知,所求三角均为ΔABC的外角,所以利用三角形外角的性质,把外角转化为三角形内角和进行计算.

解:由三角形外角性质得: ∠BAE=∠2+∠3,∠CBF=∠1+∠3,∠ACD=∠1+∠2, 所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=2(∠1+∠2+∠3)=2×180°=360°.

【师生总结】

三角形的外角和为360°.

[解题策略]

求三角形的外角可以转化为求三角形的内角,再根据三角形内角和知识进行解答.

1.三角形外角的定义:三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角.

2.三角形外角的性质:三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和.

1.如图所示,∠α与∠β的度数之和为

(

)

A.90°

B.130°

C.180°

D.270°

解析:根据三角形外角的性质可得,∠α等于三角形的一个锐角与直角的和,∠β等于另一个锐角与直角的和,所以∠α与∠β的度数之和即为直角三角形两个锐角之和与两个直角的和,即为270°.故选D.

2.如图所示,∠A,∠1,∠2的大小关系是

(用“>”将它们连接起来). 解析:在ΔACD中,∠1为外角,所以∠1>∠A,在ΔECD中,∠2为外角,所以∠2>∠1,所以∠2>∠1>∠A.故填∠2>∠1>∠A.

3.如图所示,ΔABC中,BD,CD分别平分∠ABC和外角∠ACE,若∠D=24°,则∠

A=

. D=48°.故填48°.

解析:因为∠A=∠ACE-∠ABC=2∠DCE-2∠DBC=2(∠DCE-∠DBC),∠D=∠DCE-∠DBC,所以∠A=2∠4.已知,如图所示,在ΔABC中,D为BC边上一点,∠1=∠2,∠3=∠4,∠BAC=120°,求∠DAC的度数.

解析:根据三角形的外角的性质进行解答.

解:因为∠BAC=120°,所以∠2+∠3=60°,设∠2=x,则∠1=x,根据三角形外角的性质,得∠3=∠4=2x,所以x+2x=60°,解得x=20°,所以∠3=∠4=40°,所以∠DAC=100°.

11.2.2

三角形的外角

一、三角形外角的定义

二、三角形外角性质的探究

一、教材作业

【必做题】

教材第15页练习.

【选做题】

教材第16页习题11.2第2题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.下面说法正确的是

(

) A.三角形的一个外角等于这个三角形的两个内角和

B.三角形的一个外角小于它的一个内角

C.三角形的一个外角大于这个三角形的内角

D.以上说法均不正确

2.如图所示,已知AC∥ED,∠C=26°,∠CBE=37°,则∠BED的度数是

(

) A.63°

B.83°

C.73°

D.53°

3.如图所示,已知AD是∠CAE的平分线,∠B=30°,∠DAC=55°,则∠ACD=

.

4.一个三角形的三个内角度数之比是2∶3∶4,则相应的外角度数之比是

.

【能力提升】

5.如图所示,在ΔABC中,BE与CD相交于点O,∠A=62°,∠ACD=34°,∠ABE=20°.求:

(1)∠BDC的度数; (2)∠BOC的度数.

6.如图所示,请求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数. 【拓展探究】

7.如图所示,在ΔABC中,外角∠ACD的平分线与∠ABC的平分线交于点A1,∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2. (1)∠A1与∠A有怎样的数量关系?

(2)继续作∠A2BC的平分线与∠A2CD的平分线可得∠A3,如此下去可得∠A4,∠A5,…,∠An,那么猜想∠An与∠A又有怎样的数量关系,并求出当∠A=64°时,∠A4的度数.

【答案与解析】

1.D(解析:根据三角形外角的性质:三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和.) 2.A(解析:因为∠CAE=∠C+∠B=26°+37°=63°,且AC∥ED,所以∠E=∠CAE=63°.) 3.100°(解析:因为AD平分∠CAE,所以∠CAD=∠DAE=55°,因为∠DAE=∠B+∠D,所以∠D=25°,所以∠ACD=180°-∠DAC-∠D=180°-25°-55°=100°.) 4.7∶6∶5(解析:设三个角度数为2x,3x,4x,则2x+3x+4x=180°,所以x=20°,所以三个内角分别为40°,60°,80°,所以三个外角分别为140°,120°,100°,所以它们之比为7∶6∶5.) 5.解:(1)因为∠BDC=∠A+∠ACD,∠A=62°,∠ACD=34°,所以∠BDC=96°. (2)因为∠BOC=∠ABE+∠BDC,所以∠BOC=116°.

6.解:设BE与AC,AD分别相交于点M,N,则∠AME=∠E+∠C,∠ANB=∠B+∠D,所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠AME+∠ANB+∠A=180°.

7.解:(1)因为∠A+∠ABC+∠ACB=180°, 所以∠ABC+∠ACB=180°-∠A,因为∠ACD=180°-∠ACB,CA1平分∠ACD,所以∠A1CD=

∠ACD=

(180°-∠ACB)=90°-

∠ACB,因为BA1平分∠ABC, 所以∠A1BC=

∠ABC ,因为∠A1CD是ΔA1BC的外角,所以∠A1CD=∠A1+∠A1BC=∠A1+∠ABC,所以∠A1+∠ABC=90°-∠ACB ,所以∠

A1=90°-

(∠ABC+∠ACB)=90°-

(180°-∠A)=

∠A. (2)由(1)同理可得: ∠A2=

∠A1=

∠A, 即∠A2=次类推:∠An= ∠

,则当∠A=64°,n=4

∠

,依时,∠A4=∠

=4°.

本节的教学,教师重在引导学生形成解决问题的一些基本策略,在体验解决问题多样性的同时,进行发散思维训练.通过对三角形外角的性质的方法证明,拓展学生的思维角度,激发了学生的学习兴趣,让学生在不同角度解决问题的过程中,感受几何问题的解题策略多样化,体会数学的魅力.

整体来说,本堂课的教学围绕三角形的外角识别、性质及应用展开,通过言简意赅的定义讲解,及时提醒易错问题,并结合图形进行分析等使本节课的重点得到了突出,难点得到了突破;并且对学生学习中的情况进行了点评和分析,对有较多学生存在的问题作出了反馈;教育了学生要善于总结解题思路和方法,效果较好.

在练习的设计上,尤其在对三角形外角的定义的理解上,教师没有设计相应的习题加以练习,这样会使学生在找外角时不会找,尤其是对于稍复杂的图形.

教师在教学过程中要做到讲练结合,对于三角形外角的认识应该是一个难点,教师在这方面要设计一些题进行练习,让学生通过辨析确定外角.这样使学生不但从定义上加以理解,更能够在练习的过程中,进一步掌握外角的判断方法,从而为学习和应用三角形外角的性质打下基础.

练习(教材第15页) 解:(1)∠1=40°,∠2=140°. (2)∠1=110°,∠2=70°. (3)∠1=50°,∠2=140°. (4)∠1=55°,∠2=70°. (5)∠1=80°,∠2=40°. (6)∠1=60°,∠2=30°.

习题11.2(教材第16页) 1.解:(1)由三角形内角和定理得x+39+108=180,解得x=33. (2)由三角形内角和定理得x+x+x=180,解得x=60. (3)由三角形内角和定理得x+x+72=180,解得x=54. (4)由三角形内角和定理得x+(x+36)+(x-36)=180,解得x=60.

2.解:(1)一个三角形最多有一个直角.因为如果一个三角形有两个或三个角是直角,那么三角形的内角和大于180°,这个结果与三角形的内角和定理相矛盾,所以一个三角形最多有一个直角. (2)一个三角形最多有一个钝角,如果一个三角形有两个或三个角是钝角,那么三角形的内角和大于180°,这个结果与三角形内角和定理相矛盾,所以一个三角形最多有一个钝角. (3)直角三角形的外角不可以是锐角,如果有一个外角是锐角,那么与它相邻的内角是钝角,这时直角三角形的内角和大于180°,这个结果与三角形内角和定理相矛盾,所以直角三角形的外角不可以是锐角.

3.解:把∠B=∠A+10°代入∠C=∠B+10°,得∠C=∠A+10°+10°=∠A+20°,因为∠A+∠B+∠C=180°,所以∠A+(∠A+10°)+(∠A+20°)=180°,解得∠A=50°,所以∠B=60°,∠C=70°.

4.解:由AD⊥BC可得∠ADB=90°,所以∠1+∠2=180°-∠ADB=180°-90°=90°.又因为∠1=∠2,所以∠2=45°.由∠BAC+∠2+∠C=180°,可得∠BAC=180°-∠2-∠C=180°-45°-65°=70°.

5.解:由AB∥CD,可得∠1=∠A=40°,所以∠2=∠1+∠D=40°+45°=85°.

6.解:因为AB∥CD,∠A=45°,所以∠C+∠E=45°,因为∠C=∠E,所以∠C=22.5°.

7.解:由题意知∠BAC=45°+15°=60°,∠ABC=80°-45°=35°,由三角形内角和定理得∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=180°-60°-35°=85°.

8.解:∠BDC=∠A+∠ACD=62°+35°=97°,∠BFD=180°-∠BDF-∠ABE=180°-97°-20°=63°.

9.解:由三角形内角和定理得100°+∠1+∠2+∠3+∠4=180°.因为∠1=∠2,∠3=∠4,所以100°+2(∠2+∠4)=180°,所以∠2+∠4=40°.由三角形内角和定理得∠2+∠4+x°=180°,所以x°=140°,即x=140.

10.180°

90°

90°

11.证明:因为∠BAC是ΔACE的外角,所以∠BAC=∠E+∠ECA.因为CE平分∠ACD,所以∠ECA=∠ECD,所以∠BAC=∠E+∠ECD.因为∠ECD是ΔBCE的外角,所以∠ECD=∠B+∠E,所以∠BAC=∠E+∠B+∠E=∠B+2∠E.

三角形外角的性质是在学生学习了三角形的内角和定理之后的学习内容,是三角形内角和特性的具体应用.体现了教学知识的应用性的需要,也使学生体会到数学知识之间的相互联系.

本节内容是学生今后解答几何问题中寻找角度相等的常用方法,对于今后数学知识的学***的作用.另外,三角形外角性质的研究过程为学生展示了几何图形探究的模式,研究几何图形不仅要研究图形内部的角度及线段,还需要研究图形的外部元素,这对于培养学生全面分析问题的能力有较大的帮助,也为学生研究多边形提供了研究的模式与知识基础.

(1)如图(1)所示,在ΔABC中,∠ABC的平分线与∠ACB的平分线交于点O,求证∠BOC=90°+

∠A; (2)如图(2)所示,在ΔABC中,BP,CP分别是ΔABC的外角∠DBC和∠ECB的平分线,试探究∠BPC与∠A的关系.

〔解析〕

(1)先根据三角形内角和定理得到∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB,则2∠BOC=360°

-2∠OBC-2∠OCB,再根据角平分线的定义得到∠ABC=2∠OBC,∠ACB=2∠OCB,则2∠BOC=360°-∠ABC-∠ACB,易得∠BOC=90°+

∠A.(2)结合三角形外角的性质,可得∠BCP=

(∠A+∠ABC),∠PBC=

(∠A+∠ACB),根据三角形内角和定理可得∠BPC=90°-∠A.

证明:(1)在ΔBOC中, 因为∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB, 所以2∠BOC=360°-2∠OBC-2∠OCB.

因为BO平分∠ABC,CO平分∠ACB, 所以∠ABC=2∠OBC,∠ACB=2∠OCB, 所以2∠BOC=360°-(∠ABC+∠ACB), 因为∠ABC+∠ACB=180°-∠A, 所以2∠BOC=180°+∠A, 即∠BOC=90°+∠A.

解:(2)∠BPC=90°-∠A.

因为BP,CP为∠DBC,∠ECB的平分线, 所以∠BCP=(∠A+∠ABC), ∠PBC=(∠A+∠ACB), 由三角形内角和定理得: ∠BPC=180°-∠BCP-∠PBC=180°-[∠A+(∠A+∠ABC+∠ACB)]

=180°-(∠A+180°)=90°-∠A.

〔解题策略〕

解答此类题目的关键是围绕三角形的内角和定理、三角形外角的性质进行求解.