方程的应用教学内容概述

3.4实际问题与一元一次方程

第一课时配套、工程问题

教学目标：

1.会根据实际问题中的数量关系列方程解决一般配套、工程问题. 2.通过列方程解决实际问题，进一步渗透建模思想，培养学生运用一元一次方程解决实际问题的能力. 教学重点：

进一步体现一元一次方程与实际问题的密切联系，利用问题中的数量关系建立方程模型. 教学难点：

对实际问题正确地列方程求解. 教法：

研究法

学法：

讨论法、练习法

教学过程：

复习：

1.解方程：

5y4y15y52

34122.解一元一次方程的一般步骤. 学生活动：学生独立完成

老师总结：

1.解：去分母（方程两边乘12），得

45y43y1245y5

去括号，得

20y163y3245y5

移项，得

20y3y5y245163

合并同类项，得

28y16

系数化为1，得

y4

7

2.去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.

从前面的讨论中已经可以看出，方程是分析和解决问题的一种很有用的数学工具.本节课我们重点讨论如何用一元一次方程解决实际问题. 一、引入新课

例1某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母. 1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？

学生活动：小组合作找出问题中的数量、以及数量之间存在着的相等关系，然后假设未知数，列方程求解. 师生合作探究： 如果一天中只生产螺钉，那么每人可以生产 个；如果一天中只生产螺母，那么每人可以生产 个. 每种产品每天总共生产量=每人每天的 人数；问题中的相等关系可以根据刚好配套而得：螺母数量= 螺钉数量. 教师总结：解：设分配x名工人生产螺钉，其余22x名工人生产螺母. 根据螺母数量与螺钉数量的关系，列方程，得

200022x21200x. 解方程，得

522x6x，

1105x6x，

x10

22x12

答：应安排10名工人生产螺钉，12名工人生产螺母. 解法（二）如果设x名工人生产螺母，怎样列方程？

解：设分配x名工人生产螺母，其余22x名工人生产螺钉. 2000x2120022x

解方程，得

5x622x

5x1326x

11x132

x12

22x10

例2整理一批图书，由一个人做要40h完成.现计划由一部分人先做4h，然后增加2人与他们一起做8h，完成这项工作.假设这些人的工作效率相同.具体应先安排多少人工作？

学生活动：小组合作探究问题有哪些数量，数量间的基本关系是什么？找出相等关系，列出方程求解. 师生合作探究：

本题是工程问题，基本数量关系是工作量=效率人数 ，这里可以把工作量看作单位1.本题中人均效率是 ；若由x人先做4小时，完成的工作量是 ；再增加2人和前面的人一起做8小时，完成的工作量是 . 这项工作分成两段时间完成，两段时间完成的工作量之和是 . 教师总结：

解：设先安排x人工作4小时.

根据先后两个时段的工作量之和等于总工作量，列方程

4x8x21. 4040解方程，得

4x8x240，

4x8x1640，

12x24，

x2. 答：应先安排2人做4h. 问题：

用一元一次方程解决实际问题的基本过程有几个步骤？分别是什么？用一元一次方程解决实际问题的基本过程如下：

设未知数，列方程

实际问题

一元一次方程

解

方

程

一元一次方程的解

实际问题

（xa）

的答案

检验

这一过程一般包括设、列、解、检、答等步骤，即设未知数，列方程，解方程，检验所得结果，确定答案.分析问题中的相等关系是列方程的基础.

二、巩固练习：

教科书101页练习题

1.一套仪器由一个A部件和三个B部件构成.用1m3钢材可做40个A部件或240个B部件.现要用6m3钢材制作这种仪器，应用多少钢材做A部件，多少钢材做B部件，恰好配成这种仪器多少套？

2.一条地下管线由甲工程队单独铺设需要12天，由乙工程队单独铺设需要24天.如果由这两个工程队从两端同时施工，要多少天可以铺好这条管线？

学生活动：小组合作探究

教师总结：

解：设用xm3钢材做A部件，6xm3钢材做B部件，则恰好配成这种仪器40x套. 列方程

340x2406x，

解方程，得

x4，

6x2，

40x160.

答：用4m3钢材做A部件，2m3钢材做B部件，则恰好配成这种仪器160套.

2.解：设要x天可以铺好这条管线. 11列方程1224x1，

解方程，得

x8

答；要8天可以铺好这条管线. 三、课堂小结：

1. 用一元一次方程解决实际问题的基本过程有几个步骤？

1.审（找）、2.设、3.列、4.解、5.答

2.本节课主要学习了配套问题和工程问题。

四、作业

教科书第106页习题3.4第2、3、4、5题

板书设计

3.4实际问题与一元一次方程

第一课时配套、工程问题

例1 例2 3.4实际问题与一元一次方程

第二课时销售中的盈亏

教学目标：

1.理解商品销售中所涉及的进价、原价、售价、利润及利润率等概念. 2.能利用一元一次方程解决商品销售中的一些实际问题. 3.进一步培养建模能力，以及分析问题、解决问题的能力. 教学重点：运用方程解决实际问题

教学难点：如何把实际问题转化为数学问题，列方程解决实际问题

教学过程：

复习：销售中的盈亏问题

1.填空：

（1）一件运动衣按原价的八折出售时，售价是64无，则原价是元. （2）某商品的每件利润是32元，进价是120元，则售价是元. （3）某商品的利润率是23%，进价是100元，则利润是元. （4）某商品原来每件零售价是a元, 现在每件降价10%,降价后每件零售价是元. （5）商品进价是150元，售价是180元，则利润

是元.利润率是____. 2. 对上面商品销售中的盈亏问题中有哪些量？

3.这些量之间的关系是什么？

学生活动：小组合作探究

教师总结：

1.80、152、23、0.9a、30、20%

2.成本价(进价)、标价、销售价、利润、利润率

3. 售价、进价、利润的关系式：

利润=售价-进价

进价、利润、利润率的关系：

利润率=利润×100%

进价标价、折扣数、商品售价关系 : 折扣数售价标价

10商品售价、进价、利润率的关系：



商品售价商品进价1利润率前面我们结合实际问题，讨论了如何分析数量关系，利用相等关系列方程以及如何解方程，可以看出方程是分析和解决问题的一种很有用的数学工具，本节我们将进一步探究如何用一元一次方程解决实际问题。

一、引入新课

探究1：

某商店的某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，•另一件亏损25%，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？

学生行动：利用上面有关商品盈亏的数量关系，先估算，再小组讨论用方程思想求解验证估算. 师生合作探究：卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，取决于这两件衣服售价多少，•进价多少，若售价大于进价，就盈利，反之就亏损．现已知这两件衣服总售价为 60×2=120（元），现在要求出这两件衣服的进价．

假设一件商品地进价是40元，如果卖出后盈利25%，那么商品的利润是. 如果卖出后亏损25%，商品的利润是. 本题中，设盈利25%的那件衣服的进价是x元，它的商品利润就是. 根据进价与利润的和等于售价，列出方程：

x+0.25x=60. 由此得

x=48. 类似地，可以设另一件衣服的进价为y元，它的利润是-0.25y元，列出方程

y0.25y60. 由此得

y80. 两件衣服的进价是xy128元，而两件衣服的售价是60+60=120元，进价大于售价，

由此可知卖这两件衣服总共亏损8元. 教师总结：

解：设盈利25%的那件衣服的进价是x元, 另一件的进价为y元，依题意，得

x+0.25x=60

解得x=48

y0.25y60

解得y80

答：卖这两件衣服总的亏损了8元. 二、范例学习

例1：我国政府为解决老百姓看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品在2012年涨价30%后，2013降价70%至a元，则这种药品在2012年涨价前价格为多少元？

学生活动：小组合作探究

师生互动探究：

设2012年涨价前价格为x元，2012年的价格怎么表示？2013降价70%怎么表示？

老师总结：

2012年的价格是10.3x，2013降价70%为10.310.7x

解:设在2012年涨价前的价格为x元. 列方程得

10.310.7xa

解得

x100a. 39100a元

39例2：某商品的进价是1000元，售价是1500元，由于销售情况不好，商店决定降价出售，但又要保证利润率不低于5%,那么商店最多可打几折出售此商品？

学生活动：小组合作探究

师生互动探究：

设商店最多可以打x折，怎样表示打折后的价格？利润率不低于5%是多少元？打折后的价格现与利润率是什么关系？

教师总结：

x1500，10005%，打折后的价格=进价+进价利润率，

10解:设商店最多可以打x折出售此商品,根据题意得: x1500100015%

10解得

x7

答:商店最多可以打7折出售此商品。

答：在2012年涨价前价格为

三、巩固拓展

1.教科书106页练习题1 某商店有两种书包,每个小书包比大书包的进价少10元,而他们的售后利润额相同,其中,每个小书包的盈利率为30％,每个大书包的盈利率为20％,试求两种书包的进价. 2.某文具店有两个进价不同的计算器都卖64元，其中一个盈利60%，另一个亏本20%.这次交易中的盈亏情况？

学生活动：学生独立完成

教师总结：

1.解：设大书包的进价为x元，则小书包进价为x10元. 列方程

0.3x100.2x

解方程，得

x30

x1020

2.解：设盈利60%的那个计算器进价为x元，它的利润是0.6x元. 列方程

x0.6x64

解方程，得

x40. 设亏本20%的那个计算器进价为y元，它的利润是0.2y. 列方程

y0.2y64

解方程，得

y80. 所以两个计算器进价为120元，而售价128元，进价小于售价，因此两个计算器总的盈利情况为盈利8元. 四、课堂小结

1.本节课我们利用一元一次方程来解决商品销售中的一些实际问题，要解决商品销售的利润率问题类型的应用题，首先要弄清商品利润、商品进价、售价、标价，打折的意义。

2.本节课学习了有关销售的实际问题，基本数量关系有：

利润=售价-进价

利润率=利润×100%

进价以上等式两边还可以适当地进行变形. 五、作业

教科书第107页习题3.4第7、11题

板书设计

3.4实际问题与一元一次方程

第二课时销售中的盈亏

例1 例 2

3.4实际问题与一元二次方程

第三课时球赛积分表问题

教学目标：

1.了解以表格形式传递信息的问题，能利用一元一次方程解决球赛积分等实际问题. 2.通过探索球赛积分表中数量关系的过程，进一步体会方程是解决实际问题的数学模型，并且明确用方程解决实际问题时，不仅要注意解方程的过程是否正确，还要检验方程的解是否符合问题的实际意义. 3.鼓励学生自主探究，合作交流，养成自觉反思的良好习惯. 教学重点：把实际问题转化为数学问题，不仅会列方程求出问题的解，还会进行推理判断

教学难点：从图表信息中找出有用的数量关系，把实际问题转化为数学问题. 教法：互动探究法

学法：小组合作讨论法、练习法

教学过程

一、

情境引入

问题1：某篮球队在联赛中已经进行10场比赛，总比分是14分，该队共胜8场，负一场，已知胜一场得2分，那么你知道该联赛负一场得几分吗？

学生活动：小组讨论回答. 教师总结：

可设负一场得x分，根据胜、负的积分和等于总积分，得

822x14. 解方程得

x1. 问题2：

某次篮球联赛积分榜

队名比赛场次胜场负场积分

1410424前进

1410424东方

149523光明

149523蓝天

147721雄鹰

147721远大

1441018卫星

1401414

钢铁

（1）用式子表示总积分与胜、负场数之间的数量关系；

（2）某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？

（1）学生活动：小组合作弄清题意，探究数量之间的基本关系，然后列方程解决问题. 师生合作探究：

本题相等关系有总分=积分+积分；

胜场积分=，

负场积分=；

因此要求（1）题的总积分与胜、负场数之间的关系，首先要知道胜一场积分与负一场积分；在上面的图表中能写出总积分表达式的8种可能，但每一个式子中，只能有一个未知量出现的是哪一种？找出来并列出一元一次方程解决问题. 教师总结：

据表格数据可知：钢铁队的胜场是0，排除同时出现胜一场积分与负一场积分，两个未知数的可能性，因此总积分的相等关系利用钢铁队的数据：

钢铁队总积分=胜场数胜一场积分+负场数负一场积分，则得14014负一场积分，因此有负一场积分为1.由表格最后一行可看出负一场积分是1. 设胜一场积x分，从表格中的任何一行可以列方程求出x的值. 解：如果一个队胜m场，胜场积分为2m，负场积分为14m，总积分为

2m14mm14. （2）学生活动：小组合作探究可行的解题途径. 师生合作探究：判断某队胜场总积分与负场总积分是否相等？

方法1：

分别算出胜、负场总积分是多少，然后直接判断大小. 显然找不到相等的积分，也无法说明胜、负场积分不可能相等. 方法2：

假设某队的胜场积分等于负场积分，列出方程，得出的解是否合理. 教师总结：设某队胜了x场，负了14x场

列方程，得

2x14x0. 解方程，得

14x. 314不符合实际. 3用方程解决实际问题时，不仅要注意解方程的过程是否正确，还要检验方程的解是否符合实际. 二、

范例学习

例1：根据下表提供的数据，求胜一场、负一场的积分吗？

队名

比赛场数

胜场

负场

积分

前进

14 10 4 24 东方

14 10 4 24 所用场数的值必须是整数，所以x

光明

14 9 5 23 蓝天

14 9 5 23 雄鹰

14 7 7 21 远大

14 7 7 21 卫星

14 10 10 18 学生活动：

观察表格数据，小组合作探究找出解决问题的途径. 师生合作探究：表格中的数据没有全胜或全负的极端情况，因此不能直接得出胜一场积分或负一场积分.由于所有参赛队伍的胜一场或负一场积分是相同的，任意找出两个队的数据，比如第一行与第三行，每个队都有一个相等关系：

总积分=胜场数+负场数；

这里有两个未知数，但我们可以把一个队的负一场积分用胜一场的积分的式子表示出来，代入到另一个总积分相等关系中去，即可列出一元一次方程. 2410x老师总结：设前进队胜一场积x分，负一场积分为. 4在光明队的数据中，得

52410x9x23. 4解得，x2

2410x1. 4答：胜一场积2分，负一场积1分. 例2：在一次有12支球队参加的足球循环赛中（每两队必须赛一场），规定胜一场3分，平一场1分，负一场0分，某队在这次循环赛中所胜场数比所负的场数多两场，结果得18分，那么该队胜了几场？

学生活动：小组合作探究. 师生合作探究：

每两队必须赛一场，12支队共赛多少场？题目中的相等关系是什么？

教师师总结：每两个队赛一场，共赛11场，题目中的相等关系是：胜场数=负场数+2，

胜场得分+负场得分=18分，胜场数+平场数+负场数=11场

解：设该队胜了x场，则负了x2场，平了11xx2场，根据题意，得

3x11xx218. 解得x5. 答：该队胜了5场. 三、巩固拓展

1.姚明在NBA2008赛季常规赛的一场比赛中29投18中，拿下28分，其中9个罚球全中，（罚球投中一个得一分），请问姚明三分球投中几个？两分球投中几个？

学生活动：独立完成

教师总结：

解：设姚明三分球投中x个,两分球

投中189x个,依题意，得

3x2189x928

解得，

x1

189x8

答：姚明三分球投中1个,两分球投中8个. 2.足球比赛计分规则是胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一个队打了14场负5场共得19分，则求这个队胜多少场？平多少场？

学生活动：小组合作探究

教师总结：

解：设这个队胜x场，则平145x场,依题意，得

3x145x19

解得

x5

145x4

答：这个队胜5场，则平4场.

四、课堂总结

1.本节课主要学习了球赛积分表问题，其中的基本相等关系是总分等于胜、负、平场数乘以它们的单场积分的和. 2. 用方程解决实际问题时，不仅要注意解方程的过程是否正确，还要检验方程的解是否符合问题的实际意义. 五、作业

教科书第106页习题练习第3题

板书设计

例1 例2