正数、负数以及0的意义名师教学设计1

一元二次方程及应用教学设计

茶房桥街九年一贯制学校 赵建贤

（1）通过回顾与思考，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型；

知识（2）能够利用一元二次方程解决有关实际问题；

与技能

（3）进一步了解一元二次方程及其相关概念，会用配方法、公式法、分解因式法解简单的一元二次方程(数字系数)．

（1）通过回顾与思考进一步体会一元二次方程也是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型；

（2）能够利用一元二次方程解决有关实际问题，能学习

过程根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步目标

与方培养学生分析问题、解决问题的意识和能力；

法

（3）在解一元二次方程的过程中体会转化等数学思想；

（4）通过估计一元二次方程解的过程，发展估算的意识和能力。

情感态度

通过师生共同的活动，使学生在交流和反思的过程中与价建立本章的知识体系，从而体验学习数学的成就感．

值观

1

1．一元二次方程的四种解法：直接开平方法、配方法、公式教学重点

2．列一元二次方程解决实际生活中的问题．

教学1．列一元二次方程解决实际问题；

法、因式分解法；

难点

2．转化的思想方法

教学“尝试指导，效果回授”教学法

方法

学法发现法、练习法、合作学习。

指导

借助多媒体展示引例及变式训练题组，增大课堂容量，吸教学引学生眼球，最大限度地激发学生的学习兴趣，优化课堂结资源

构，提高课堂教学效率。

教

学

程

序

媒体使用与教教学内容

师生互动

学评价

2

活动一

揭示课题，提出要求

一

、揭示并板书课题

一元二次方程复习与小结

二、出示复习要求

（一）

1、本章主要学习哪些知识？哪些思想方法？

2、举例说明什么叫一元二次方【教师活动】

【媒体使1、揭示并板书课用】

题

（1）出示复2、出示复习要求

习要求

【学生活动】

1、一名学生朗读复习要求

2、结合要求反思【设计意图】

出示复习要求，通过学生的朗读使学生明白本节课的任务及要求。

程?

一元二次方程的解法思想是回顾

什么？常用解法有哪些？各种解法的适应范围分别是怎样的？

3、怎样利用一元二次方程根的判别式判别根的情况？

4、一元二次方程根与系数又怎样的关系？在应用时应注意什么？

（二）你认为本章知识之间有怎样的关系？请用你喜欢的方式构建本章知识结构图，并与同伴交流。

3

知识梳理，建构体系

考点知识精讲

考点一 一元二次方程的定义

在整式方程中，只含有一个未知数，并且含未知数项的最高次数是2，这样的整式方程叫一元二次方程，一元二次方程的标准形式是ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．

考点二 一元二次方程的常用解法

1．直接开平方法：如果x2＝a(a≥0)，则x＝±a，则x1＝a，x2＝－a. p2p2222．配方法：如果x＋px＋q＝0且p－4q≥0，则x＋＝－q＋. 22ppp2p2x1＝－＋－q＋，x2＝－－－q＋. 2222－b±b2－4ac223．公式法：方程ax＋bx＋c＝0且b－4ac≥0，则x＝. 2a4．因式分解法：

先将一元二次方程化成一般形式ax2＋bx＋c＝ 0(a≠0) 再将方程左边ax2＋bx＋c分解因式（1.提公因式法；2、运用公式法；3、十字相乘法。）

4

考点三 列一元二次方程解应用题

列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程(组)解应用题步骤一样，即审、找、设、列、解、答六步．

几种常见的等量关系

•

（1）增长率等量关系：

•

A.增长率=增长量÷基础量x100% •

B.增长率（降低率)模型：a（1±x）n =b •

a是基础量，n是增长或降低次数，b变化后的量，x是增长率（降低率)。

•

（2）利润率等量关系：

•

A.利润=售价－成本

•

B.利润率=利润÷成本x100% 中考典型精析

例题1.（1）一元二次方程x2＋3x－4＝0的解是(

)

A．x1＝1，x2＝－4

B．x1＝－1，x2＝4 C．x1＝－1，x2＝－4 D．x1＝1，x2＝4 (2)用配方法将代数式a2＋4a－5变形，结果正确的是(

) A．(a＋2)2－1 B．(a＋2)2－5 C．(a＋2)2＋4 D．(a＋2)2－9 【点拨】本组题考查一元二次方程的相关概念和解法．

【解答】(1)∵x2＋3x－4＝0，∴(x＋4)(x－1)＝0. ∴x＋4＝0或x－1＝0.∴x1＝－4，x2＝1，故选A. (4)a2＋4a－5＝a2＋4a＋4－4－5＝(a＋2)2－9，故选D. 例2.

解方程．

(1) x2－6x－6＝0；

(2) (x－3)2＋4x(x－3)＝0. 【点拨】本组题考查一元二次方程的解法．

【解答】(1)x2－6x－6＝0 移项，得x2－6x＝6，

配方，得(x－3)2＝15，∴x－3＝±15. ∴x1＝3＋15，x2＝3－15.

(2)(x－3)2＋4x(x－3)＝0 提公因式，得(x－3)(x－3＋4x)＝0，

(x－3)(5x－3)＝0. ∴x－3＝0或5x－3＝0. 3∴x1＝3，x2＝. 5方法总结

解一元二次方程共有以下几种方法：1.直接开平方法；2.配方法；3.公式法；4.因式分解法。

解一元二次方程时，要注意根据方程的特点，选择适当的方法求解。一般地，若方程左边是一个完全平方式，右边是一个非负数或完全平方式，就采取用直接

5

开平方法；若能分解因式就用因式分解法；当两种方法都行不通时，可采用公式法或配方法。

例3. 如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD.求该矩形草坪BC边的长．

【点拨】列一元二次方程解决实际问题时，要善于读取题中信息，找出表示题目全部意义的等量关系．

【解答】设该矩形草坪BC边的长为x米，根据题意，得

32－xx·＝120. 2解得x1＝12，x2＝20. ∵20>16，∴x＝20不合题意，舍去．

答：该矩形草坪BC边的长为12米

举一反三

1．方程(x－1)2＝4的解是x1＝3，x2＝－1. 2．已知x＝1是关于x的一元二次方程2x2＋kx－1＝0的一个根，则实数k的值是k＝－1. 123.用配方法解方程： x－x-3＝0. 412 X－x＝3 4X2－4x＝12+4 （ x－2）2＝16 x＝2±4

6 解：移项得

所以 x1＝6 ,x2＝-2 考点训练

一、选择题(每小题3分，共30分) 1．方程x2－3＝0的根是(

) A．x＝3

B．x1＝3，x2＝－3 C．x＝3 D．x1＝3，x2＝－3 【解析】x2－3＝0，x2＝3，x＝±3，即x1＝3，x2＝－3. 【答案】D 2．(2017中考预测题)方程(x－3)(x＋1)＝x－3的解是(

) A．x＝0

B．x＝3 C．x＝3或x＝－1 D．x＝3或x＝0 【解析】提公因式法(x－3)(x＋1－1)＝0，∴(x－3)x＝0，∴x－3＝0或

x＝0，即x1＝3，x2＝0. 【答案】D 3.上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价a%后售价为128元，下列所列方程中正确的是(

) A．168(1＋a%)2＝128 B．168(1－a%)2＝128 C．168(1－2a%)＝128 D．168(1－a2%)＝128 【解析】第一次降价a%后，售价为168(1－a%) 第二次降价后为168(1－a%)(1－a%)＝168(1－a%)2 即168(1－a%)2＝128. 【答案】B 考点训练

二、填空题(每小题3分，共24分) 4．(2016·云南)如果关于x的一元一次方程x+2ax+a+2=0有两个相等的实数根，那么实数a的值为________．

【解析】因为x的一元一次方程x2+2ax+a+2＝0，有两个相等的实数根，

所以△=0，即（2a）2-4(a+2)＝0，∴a＝-1或a＝2 【答案】a1＝-1，a2＝2 5．方程x2－3x＋1＝0的解是__________．

3±9－43±5【解析】用公式法求x＝＝

223＋53－5【答案】x1＝，x2＝

22

7 2

三、解答题(共46分) 6．(8分)(2010·长沙)长沙市某楼盘准备以每平方米5 000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米4 050元的均价开盘销售．

(1)求平均每次下调的百分率；

(2)某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子，开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月1.5元．请问哪种方案更优惠？

解：(1)设平均每次下调的百分率是x，依题意得5 000(1－x)2＝4 050，19解得：x1＝10%，x2＝(不合题意，舍去) 10答：平均每次下调的百分率为10%. 2)方案①的房款是：4 050×100×0.98＝396 900(元)，方案②的房款是：4 050×100－1.5×100×12×2＝401 400(元)，

∵396 900<401 400，∴选方案①更优惠．

课后探究

7．(2017中考预测题)解方程．

(1) 2x2＋1＝3x；

(2) x2－6x－16＝0；

(3) (x－1)2＝9(x－1)．

解：(1)2x2－3x＝－1，

312x－x＝－，

223321322x－x＋()＝－＋()，

2424321311∴(x－)＝，∴x－＝±，∴x1＝1，x2＝

416442(2)x2－6x＝16，

x2－6x＋9＝16＋9，

∴(x－3)2＝25，∴x－3＝±5，∴x1＝8，x2＝－2 (3)(x－1)2＝9(x－1)，

(x－1)2－9(x－1)＝0，

(x－1)(x－1－9)＝0，

∴x－1＝0或x－10＝0，∴x1＝1，x2＝10

8．(10分)(近几年)随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多地进入普通家庭，成为居民消费新的增长点．据某市交通部门统计，2007年底全市汽车拥有量为180万辆，而

8

截止到2009年底，全市的汽车拥有量已达216万辆．

(1)求2007年底至2009年底该市汽车拥有量的年平均增长率；

(2)为保护城市环境，缓解汽车拥堵状况，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2011年底全市汽车拥有量不超过231.96万辆；另据估计，从2010年初起，该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%.假定每年新增汽车数量相同，请你计算出该市每年新增汽车数量最多不能超过多少万辆？

解：(1)设该市汽车拥有量的年平均增长率为x，根据题意，得

150(1＋x)2＝216，

解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去)．

答：该市汽车拥有量的年平均增长率为20%. (2)设全市每年新增汽车数量为y万辆，则2010年底全市的汽车拥有量为(216×90%＋y)万辆，2011年底全市的汽车拥有量为[(216×90%＋y)×90%＋y]万辆．根据题意得(216×90%＋y)×90%＋y≤231.96，解得：y≤30，即该市每年新增汽车数量最多不能超过30万辆．

全课小结，提炼升华

教师概括：本章重点学习4114，其中

“四个一”是一个概念：一元二次方程；一种思想：降次；一个应用:列一元二次方程解应用题；一种关系：一元二次方程根与系数的关系；“一个四”是一元二次方程的四种解法（略）。注意：（1）规范解题。（2）对应用题要善于抓表示等量关系的关键词及解后检验。

推荐作业，深化巩固

必做题：p25页复习题21第1题（2）(4)(6)(8)4题（2）（4）8 选做题：p26 9,10题。

9

板书设计

课题

一元二次方程复习（一）

一、知识要点

概念：

应用：

思想：降次

关系：根与系数的关系

解法：四种解法，公式法是通法；其他三种是特技。二、注意：（1）（2）（3）

课后反思:

10