测试优质课教案

《第11章三角形》单元测试题

一．选择题（共10小题）

1．课堂上，老师把教学用的两块三角板叠放在一起，得到如图所示的图形，其中三角形的个数为（

）

A．2

B．3

C．5

D．6

2．如图，BD是△ABC的高，EF∥AC，EF交BD于G，下列说法正确的有（

）

①BG是△EBF的高；

②CD是△BGC的高；

③DG是△AGC的高；

④AD是△ABG的高．

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

3．下列说法正确的是（

）

A．三角形的三条中线交于一点

B．三角形的三条高都在三角形内部

C．三角形不一定具有稳定性

D．三角形的角平分线可能在三角形的内部或外部

4．下列线段长能构成三角形的是（

）

A．3、4、8

B．2、3、6

C．5、6、11

D．5、6、10

5．一个缺角的三角形ABC残片如图所示，量得∠A＝60°，∠B＝75°，则这个三角形残缺前的∠C的度数为（

）

A．75°

B．60°

C．45°

D．40°

6．如图，在△ABC中，∠A＝80°，点D在BC的延长线上，∠ACD＝145°，则∠B是（

）

A．45°

B．55°

C．65°

D．75°

7．已知直角三角形ABC，有一个锐角等于50°，则另一个锐角的度数是（

）

A．30°

B．40°

C．45°

D．50°

8．将一个四边形截去一个角后，它不可能是（

）

A．六边形

B．五边形

C．四边形

D．三角形

9．如果n边形的内角和是它外角和的4倍，则n等于（

）

A．7

B．8

C．10

D．9

10．如图，小明从A点出发，沿直线前进10米后向左转36°，再沿直线前进10米，再向左转36°……照这样走下去，他第一次回到出发点A点时，一共走的路程是（

）

A．100米

B．110米

C．120米

D．200米

二．填空题（共8小题）

11．三角形有两条边的长度分别是5和7，则最长边a的取值范围是

．

12．H若是△ABC三条高AD，BE，CF的交点，如图，则△BHA中边BH上的高是

．

13．如图：在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，若∠BOC＝132°，则∠A等于

度，若∠A＝60°时，∠BOC又等于

14．如图，∠1，∠2，∠3的大小关系是

．

15．如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝

．

16．若多边形的每个内角都相等，每个内角与相邻外角的差为100°，则这个多边形的边数为

．

17．如图，D是△ABC的边AC上一点，E是BD上一点，连接EC，若∠A＝60°，∠ABD＝25°，∠DCE＝35°，则∠BEC的度数为

．

18．DE⊥BC于E，EF⊥AB于F，如图：∠B＝∠C，∠ADE等于140°，∠FED＝

．

三．解答题（共8小题）

19．一根长1m的木尺，共有9个等分点，每个分点处有折痕，可将木尺折断，现欲将

木尺折成3节，并使3节能组成三角形，若要组成形状不同的三角形，共有多少种不同的折法？

20．已知△ABC，如图，过点A画△ABC的角平分线AD、中线AE和高线AF．

21．如图所示，在△ABC中，AE是角平分线，AD是高，∠BAC＝80°，∠EAD＝10°，求∠B的度数

22．如图，△ABC中，分别延长△ABC的边AB、AC到D、E，∠CBD与∠BCE的平分线相交于点P，爱动脑筋的小明在写作业的时发现如下规律：

（1）若∠A＝60°，则∠P＝

°；

（2）若∠A＝40°，则∠P＝

°；

（3）若∠A＝100°，则∠P＝

°；

（4）请你用数学表达式归纳∠A与∠P的关系

．

23．如图，五边形ABCDE的内角都相等，且AB＝BC，AC＝AD，求∠CAD的度数．

24．在各个内角都相等的多边形中若外角度数等于每个内角度数的，求这个多边形的每个内角度数以及多边形的边数．

25．（1）已知一个多边形的內角和是它的外角和的3倍，求这个多边形的边数．

（2）如图，点F是△ABC的边BC廷长线上一点，DF⊥AB，∠A＝30°，∠F＝40°，求∠ACF的度数．

26．如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．

（1）求证：∠A+∠C＝∠B+D；

（2）如图2，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，且与CD、AB分别相交于点M、N．

①以线段AC为边的“8字型”有

个，以点O为交点的“8字型”有

个；②若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P的度数；

③若角平分线中角的关系改为“∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB”，试探究∠P与∠B、∠C之间存在的数量关系，并证明理由．

《第11章

三角形》单元测试题

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题）

1．课堂上，老师把教学用的两块三角板叠放在一起，得到如图所示的图形，其中三角形的个数为（

）

A．2

B．3

C．5

D．6

【分析】根据三角形的个数解答即可．

【解答】解：图中三角形的个数是5个，

故选：C．

【点评】此题考查三角形，关键是根据图中图形得出三角形个数．

2．如图，BD是△ABC的高，EF∥AC，EF交BD于G，下列说法正确的有（①BG是△EBF的高；

②CD是△BGC的高；

③DG是△AGC的高；

④AD是△ABG的高．

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

【分析】根据三角形的高的定义以及平行线的性质，即可解答．

【解答】解：∵BD是△ABC的高，

∴∠ADB＝∠CDB＝90°，

∵EF∥AC，

∴∠EGB＝∠ADB＝90°，

∴BG是△EBF的高，①正确；

）

∵∠CDB＝90°，

∴CD是△BGC的高，②正确；

∵∠ADG＝∠CDG＝90°，

∴DG是△AGC的高，③正确；

∵∠ADB＝90°，

∴AD是△ABG的高，④正确．

故选：D．

【点评】本题考查了三角形的高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，理解定义是关键．也考查了平行线的性质．

3．下列说法正确的是（

）

A．三角形的三条中线交于一点

B．三角形的三条高都在三角形内部

C．三角形不一定具有稳定性

D．三角形的角平分线可能在三角形的内部或外部

【分析】依据三角形角平分线、中线以及高线的概念，即可得到正确结论．

【解答】解：A．三角形的三条中线交于一点，正确；

B．锐角三角形的三条高都在三角形内部，错误；

C．三角形一定具有稳定性，错误；

D．三角形的角平分线一定在三角形的内部，错误；

故选：A．

【点评】本题主要考查了三角形角平分线、中线以及高线的概念，锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．

4．下列线段长能构成三角形的是（

）

A．3、4、8

B．2、3、6

C．5、6、11

D．5、6、10

【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边即可求解．【解答】解：A、3+4＜8，不能构成三角形，故此选项不合题意；

B、3+2＜6，不能构成三角形，故此选项不合题意；

C、5+6＝11，不能构成三角形，故此选项不合题意；

D、5+6＞10，能构成三角形，故此选项符合题意．

故选：D．

【点评】本题考查了能够组成三角形三边的条件，其实用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条就能够组成三角形．

5．一个缺角的三角形ABC残片如图所示，量得∠A＝60°，∠B＝75°，则这个三角形残缺前的∠C的度数为（

）

A．75°

B．60°

C．45°

D．40°

【分析】根据三角形内角和定理即可解决问题；

【解答】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝60°，∠B＝75°，

∴∠C＝45°，

故选：C．

【点评】本题考查三角形内角和定理，记住三角形内角和等于180°是解题的关键．

6．如图，在△ABC中，∠A＝80°，点D在BC的延长线上，∠ACD＝145°，则∠B是（

）

A．45°

B．55°

C．65°

D．75°

【分析】利用三角形的外角的性质即可解决问题；

【解答】解：在△ABC中，∵∠ACD＝∠A+∠B，∠A＝80°，∠ACD＝145°，

∴∠B＝145°﹣80°＝65°，

故选：C．

【点评】本题考查三角形的外角，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7．已知直角三角形ABC，有一个锐角等于50°，则另一个锐角的度数是（

）

A．30°

B．40°

C．45°

D．50°

【分析】根据直角三角形两锐角互余解答．

【解答】解：∵一个锐角为50°，

∴另一个锐角的度数＝90°﹣50°＝40°．

故选：B．

【点评】本题属于基础题，利用直角三角形两锐角互余的性质解决问题．

8．将一个四边形截去一个角后，它不可能是（

）

A．六边形

B．五边形

C．四边形

D．三角形

【分析】根据一个四边形截一刀后得到的多边形的边数即可得出结果．

【解答】解：一个四边形截一刀后得到的多边形可能是三角形，可能是四边形，也可能是五边形，

故选：A．

【点评】本题考查了多边形，能够得出一个四边形截一刀后得到的图形有三种情形，是解决本题的关键．

9．如果n边形的内角和是它外角和的4倍，则n等于（

）

A．7

B．8

C．10

D．9

【分析】利用多边形的内角和公式和外角和公式，根据一个n边形的内角和是其外角和的4倍列出方程求解即可．

【解答】解：多边形的外角和是360°，根据题意得：

180°•（n﹣2）＝360°×4，

解得n＝10．

故选：C．

【点评】本题主要考查了多边形内角和公式及外角的特征．求多边形的边数，可以转化为方程的问题来解决．

10．如图，小明从A点出发，沿直线前进10米后向左转36°，再沿直线前进10米，再向左转36°……照这样走下去，他第一次回到出发点A点时，一共走的路程是（

）

A．100米

B．110米

C．120米

D．200米

【分析】根据题意，小明走过的路程是正多边形，先用360°除以36°求出边数，然后再乘以10m即可．

【解答】解：∵每次小明都是沿直线前进10米后向左转36°，

∴他走过的图形是正多边形，

边数n＝360°÷36°＝10，

∴他第一次回到出发点A时，一共走了10×10＝100米．

故选：A．

【点评】本题考查了正多边形的边数的求法，根据题意判断出小亮走过的图形是正多边形是解题的关键．

二．填空题（共8小题）

11．三角形有两条边的长度分别是5和7，则最长边a的取值范围是

7＜a＜12

．

【分析】已知三角形两边的长，根据三角形三边关系定理知：第三边的取值范围应该是大于已知两边的差而小于已知两边的和．

【解答】解：根据三角形三边关系定理知：最长边a的取值范围是：7＜a＜（7+5），即7＜a＜12．

故答案为：7＜a＜12．

【点评】此题主要考查的是三角形的三边关系，即：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．

12．H若是△ABC三条高AD，BE，CF的交点，如图，则△BHA中边BH上的高是

AE

．

【分析】直接利用三角形高线的定义得出答案．

【解答】解：如图所示：∵H是△ABC三条高AD，BE，CF的交点，

∴△BHA中边BH上的高是：AE．

故答案为：AE．

【点评】此题主要考查了三角形的高，正确钝角三角形高线的作法是解题关键．

13．如图：在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，若∠BOC＝132°，则∠A等于

84

度，若∠A＝60°时，∠BOC又等于

120°

【分析】根据三角形内角和定理易得∠OBC+∠OCB＝48°，利用角平分线定义可得∠ABC+∠ACB＝2（∠OBC+∠OCB）＝96°，进而利用三角形内角和定理可得∠A度数；

【解答】解：∵∠BOC＝132°，

∴∠OBC+∠OCB＝48°，

∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于O点，

∴∠ABC＝2∠OBC，∠ACB＝2∠OCB，

∴∠ABC+∠ACB＝2（∠OBC+∠OCB）＝96°，

∴∠A＝180°﹣96°＝84°；

解：∵∠A＝60°

∴∠ABC+∠ACB＝120°

∴∠BOC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝120°．

故答案为：84，120°．

【点评】本题考查的是三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．

14．如图，∠1，∠2，∠3的大小关系是

∠1＜∠2＜∠3

．

【分析】如图可知∠2是三角形的外角，∠3是三角形的外角，根据外角的性质可得到∠1，∠2，∠3的大小关系．

【解答】解：∵∠2是外角，∠1是内角，

∴∠1＜∠2，

∵∠3是外角，∠2是内角，

∴∠2＜∠3，

∴∠1＜∠2＜∠3，

故答案为：∠1＜∠2＜∠3．

【点评】本题主要考查外角的性质，掌握外角大于不相邻的每一个内角是解题的关键．

15．如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝

540°

．

【分析】根据题意，画出图象，由图可知∠6+∠7＝∠8+∠9，因为五边形内角和为540°，从而得出答案．

【解答】解：如图

∵∠6+∠7＝∠8+∠9，

∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7，

＝∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠8+∠9，

＝五边形的内角和＝540°，

故答案为：540°．

【点评】本题考查了五边形内角和，同时需要考生认真通过图形获取信息，通过连线构造五边形从而得出结论．

16．若多边形的每个内角都相等，每个内角与相邻外角的差为100°，则这个多边形的边数为

9

．

【分析】一个多边形的每个内角都相等，每个内角与相邻外角的差为100°，又由于内角与外角的和是180度．设内角是x°，外角是y°，列方程组求解即可．

【解答】解：设内角是x°，外角是y°，

则得到一个方程组解得．

，

而任何多边形的外角和是360°，

则多边形外角的个数是360÷40＝9，

则这个多边形的边数是九边形．

故答案为：9

【点评】本题考查多边形的内角与外角，根据多边形的内角与外角的关系转化为方程组的问题，并利用了多边形的外角和定理；已知外角求边数的这种方法是需要熟记的内容．

17．如图，D是△ABC的边AC上一点，E是BD上一点，连接EC，若∠A＝60°，∠ABD＝25°，∠DCE＝35°，则∠BEC的度数为

120°

．

【分析】由∠BDC是△ABD的外角，而∠BEC是△CDE的外角即可求解．

【解答】解：∵∠BDC是△ABD的外角，

∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝85°，

同理：∠BEC＝∠BDC+∠DCE＝120°，

故：答案是120°．

【点评】本题主要考查的是三角形内角和定理和外角定理，是一道基本题．

18．DE⊥BC于E，EF⊥AB于F，如图：∠B＝∠C，∠ADE等于140°，∠FED＝

50°

．

【分析】根据三角形的外角的性质得到∠C＝∠ADE﹣∠DEC＝50°，根据平角的定义计算．

【解答】解：∵DE⊥BC，

∴∠DEC＝90°，

由三角形的外角的性质可知，∠C＝∠ADE﹣∠DEC＝50°，

∴∠B＝∠C＝50°，

∵EF⊥AB，

∴∠EFC＝90°，

∴∠FEB＝90°﹣50°＝40°，

则∠FED＝180°﹣40°﹣90°＝50°，

故答案为：50°．

【点评】本题考查的是直角三角形的性质，三角形的外角的性质，掌握三角形内角和定理是解题的关键．

三．解答题（共8小题）

19．一根长1m的木尺，共有9个等分点，每个分点处有折痕，可将木尺折断，现欲将木尺折成3节，并使3节能组成三角形，若要组成形状不同的三角形，共有多少种不同的折法？

【分析】根据三角形的三边关系即可得到结论．

【解答】解：共有2、4、4；3，3，4；2种不同的折法，

【点评】本题考查了三角形的三边关系，正确的理解题意是解题的关键．

20．已知△ABC，如图，过点A画△ABC的角平分线AD、中线AE和高线AF．

【分析】分别根据角平分线、三角形高线作法以及垂直平分线的作法得出答案即可．

【解答】解：由题意画图可得：

【点评】此题主要考查了复杂作图中线段垂直平分线的作法以及角平分线作法等知识，熟练掌握作图方法是关键．

21．如图所示，在△ABC中，AE是角平分线，AD是高，∠BAC＝80°，∠EAD＝10°，求∠B的度数

【分析】根据垂直的定义得到∠ADC＝90°，根据角平分线的定义得到∠CAE＝＝40°，根据三角形的内角和即可得到结论．

【解答】解：∵AD是高，

∴∠ADC＝90°，

∵AE是角平分线，∠BAC＝80°，

∴∠CAE＝BAC＝40°，

BAC∵∠EAD＝10°，

∴∠CAD＝30°，

∴∠C＝60°，

∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝40°．

【点评】本题考查了三角形内角和定理和垂直定义、角平分线定义等知识点，能根据三

角形内角和定理求出各个角的度数是解此题的关键．

22．如图，△ABC中，分别延长△ABC的边AB、AC到D、E，∠CBD与∠BCE的平分线相交于点P，爱动脑筋的小明在写作业的时发现如下规律：

（1）若∠A＝60°，则∠P＝

，60

°；

（2）若∠A＝40°，则∠P＝

90

°；

（3）若∠A＝100°，则∠P＝

70

°；

（4）请你用数学表达式归纳∠A与∠P的关系

90°﹣∠A

．

【分析】（1）若∠A＝60°，则有∠ABC+∠ACB＝120°，∠DBC+∠BCE＝360°﹣120°＝240°，根据角平分线的定义可以求得∠PBC+∠PCB的度数，再利用三角形的内角和定理即可求得∠P的度数．

（2）（3）和（1）的解题步骤相似．

（4）利用角平分线的性质和三角形的外角性质可求出∠BCP＝（∠A+∠ABC），∠CBP＝（∠A+∠ACB）；再利用三角形内角和定理便可求出∠A与∠P的关系．

【解答】解：（1）∵∠A＝60°，

∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣60°＝120°，∠DBC+∠BCE＝360°﹣120°＝240°，

又∵∠CBD与∠BCE的平分线相交于点P，

∴∠PBC＝∠DBC，∠PCB＝∠BCE，

∴∠PBC+∠PCB＝（∠DBC+∠ECB）＝120°，

∴∠P＝60°．

同理得：（2）90°；

（3）70°

（4）∠P＝90°﹣∠A．理由如下：

∵BP平分∠DBC，CP平分∠BCE，

∴∠DBC＝2∠CBP，∠BCE＝2∠BCP

又∵∠DBC＝∠A+∠ACB∠BCE＝∠A+∠ABC，

∴2∠CBP＝∠A+∠ACB，2∠BCP＝∠A+∠ABC，

∴2∠CBP+2∠BCP＝∠A+∠ACB+∠A+∠ABC＝180°+∠A，

∴∠CBP+∠BCP＝90°+∠A

又∵∠CBP+∠BCP+∠P＝180°，

∴∠P＝90°﹣∠A．

故答案为：60，90，70，90°﹣∠A．

【点评】本题主要考查三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和的性质以及角平分线的定义，熟练掌握性质和定义是解题的关键．

23．如图，五边形ABCDE的内角都相等，且AB＝BC，AC＝AD，求∠CAD的度数．

【分析】由五边形ABCDE的内角都相等，先求出五边形的每个内角度数，再求出∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝36°，从而求出∠CAD＝108°﹣72°＝36度．

【解答】证明：∵五边形ABCDE的内角都相等，

∴∠BAE＝∠B＝∠BCD＝∠CDE＝∠E＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，

∵AB＝AC，

∴∠1＝∠2＝（180°﹣108°）÷2＝36°，

∴∠ACD＝∠BCD﹣∠2＝72°，

∵AC＝AD，

∴∠ADC＝∠ACD＝72°，

∴∠CAD＝180°﹣∠ACD﹣∠ADC＝36°．

【点评】本题主要考查了正五边形的内角和以及正五边形的有关性质．解此题的关键是能够求出∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝36°，和正五边形的每个内角是108度．

24．在各个内角都相等的多边形中若外角度数等于每个内角度数的，求这个多边形的每个内角度数以及多边形的边数．

【分析】已知关系为：一个外角＝一个内角×，隐含关系为：一个外角+一个内角＝180°，由此即可解决问题．

【解答】解：设这个多边形的每一个内角为x°，那么180﹣x＝x，

解得x＝140，

那么边数为360÷（180﹣140）＝9．

答：这个多边形的每一个内角的度数为140°，它的边数为9．

【点评】本题考查了多边形内角与外角的关系，用到的知识点为：各个内角相等的多边形的边数可利用外角来求，边数＝360÷一个外角的度数．

25．（1）已知一个多边形的內角和是它的外角和的3倍，求这个多边形的边数．

（2）如图，点F是△ABC的边BC廷长线上一点，DF⊥AB，∠A＝30°，∠F＝40°，求∠ACF的度数．

【分析】（1）多边形的外角和是360°，内角和是它的外角和的3倍，则内角和是3×360＝1080度．n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，设这个多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数．

（2）在直角三角形DFB中，根据三角形内角和定理，求得∠B的度数；再在△ABC中，根据内角与外角的性质求∠ACF的度数即可．

【解答】解：（1）设这个多边形的边数为n，

∵n边形的内角和为（n﹣2）•180°，多边形的外角和为360°，

∴（n﹣2）•180°＝360°×3，

解得n＝8．

∴这个多边形的边数为8．

（2）在△DFB中，

∵DF⊥AB，

∴∠FDB＝90°，

∵∠F＝40°，∠FDB+∠F+∠B＝180°，

∴∠B＝50°．

在△ABC中，

∵∠A＝30°，∠B＝50°，

∴∠ACF＝30°+50°＝80°．

【点评】考查了多边形内角与外角，根据正多边形的外角和求多边形的边数是常用的一种方法，需要熟记．同时考查了三角形的内角和定理，以及三角形的外角等于不相邻的两个内角的和．

26．如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．

（1）求证：∠A+∠C＝∠B+D；

（2）如图2，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，且与CD、AB分别相交于点M、N．

①以线段AC为边的“8字型”有

3

个，以点O为交点的“8字型”有

4

个；

②若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P的度数；

③若角平分线中角的关系改为“∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB”，试探究∠P与∠B、∠C之间存在的数量关系，并证明理由．

【分析】（1）根据三角形的内角和即可得到结论；

（2）①以线段AC为边的“8字型”有3个，以点O为交点的“8字型”有4个；

②根据角平分线的定义得到∠CAP＝∠BAP，∠BDP＝∠CDP，再根据三角形内角和定理得到∠CAP+∠C＝∠CDP+∠P，∠BAP+∠P＝∠BDP+∠B，两等式相减得到∠C﹣∠P＝∠P﹣∠B，即∠P＝（∠C+∠B），然后把∠C＝120°，∠B＝100°代入计算即可；

③与②的证明方法一样得到3∠P＝∠B+2∠C．

【解答】（1）证明：在图1中，有∠A+∠C＝180°﹣∠AOC，∠B+∠D＝180°﹣∠BOD，

∵∠AOC＝∠BOD，

∴∠A+∠C＝∠B+∠D；

（2）解：①3；4；

故答案为：3，4；

②以M为交点“8字型”中，有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，

以N为交点“8字型”中，有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP

∴2∠P+∠BAP+∠CDP＝∠B+∠C+∠CAP+∠BDP，

∵AP、DP分别平分∠CAB和∠BDC，

∴∠BAP＝∠CAP，∠CDP＝∠BDP，

∴2∠P＝∠B+∠C，

∵∠B＝100°，∠C＝120°，

∴∠P＝（∠B+∠C）＝（100°+120°）＝110°；

③3∠P＝∠B+2∠C，其理由是：

∵∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB，

∴∠BAP＝∠CAB，∠BDP＝∠CDB，

以M为交点“8字型”中，有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，

以N为交点“8字型”中，有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP

∴∠C﹣∠P＝∠CDP﹣∠CAP＝（∠CDB﹣∠CAB），

∠P﹣∠B＝∠BDP﹣∠BAP＝（∠CDB﹣∠CAB）．

∴2（∠C﹣∠P）＝∠P﹣∠B，

∴3∠P＝∠B+2∠C．

【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．也考查了角平分线的定义．