整式的乘除评课稿

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初中数学

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适用年级

课时时长（分钟）

初中二年级

2课时

1、同底数幂的乘法；幂的乘方；积的乘方

2、单项式乘以单项式；单项式乘以多项式；多项式乘以多项式

3、同底数幂的除法；零指数指数幂

教学目标

1.熟记同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的运算法则，会结合实际问题进行基本运算；发展推理能力和有条理的表达能力。理解单项式与单项式、单项式与多项式、多项式与多项式相乘的乘法法则，并能熟练地运用这些法则进行相关的运算；了解同底数幂的除法运算性质，并解决一些实际问题，通过归纳规律猜想出零指数幂的意义

2.通过自己的计算和归纳概括，得到同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的运算法则；发展学生的推理能力和表达能力，能熟练灵活地运用法则进行整式的运算，培养学生的数学能力。通过同底数幂除法运算法则的导出及运用，让学生体会知识具有普遍联系性和相互转化性，通过同底数幂除法运算，培养学生的运算能力

3.在发展推理能力和有条理的表达能力的同时，体会学习数学的兴趣，培养学习数学的信心。

教学重点

同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方的运算法则；单项式与单项式、单项式与多项式、多项式与多项式相乘的乘法法则的灵活运用；同底数幂除法法则的探索和应用，理解零指数指数幂的意义

教学难点

同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方的综合应用；多项式与多项式相乘的乘法法则的运用；理解零指数指数幂的意义

【知识导图】

教学过程

一、导入

复习预习

1.求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。例如a这个表达式中，a是底数，n是指数，a又读作a的n次幂

2.乘方的性质：负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数，正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是零，例如(-1)=1,(-1)=-1等

2-1nn

二、知识讲解

同底数幂的乘法法则：一般地，对于任何底数a与任何正整数m、n，

(aaa)(aaa)(aaa)amn=m个an个amn个a因此我们有a﹒a=a（m，n都mnm+n是正整数）

即同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

注意：（1）三个或三个以上同底数幂相乘，法则也适用。即a×a×﹒﹒﹒×a=a(m，n，...,p都是正整数) （2）不要忽略指数为1的因数

（3）底数不一定只是一个数字或一个字母

注意法则的逆用，即a=a﹒a（m，n都是正整数）

m+nmnmnpm+n+﹒﹒﹒+p

幂的乘方的的意义：幂的乘方是指几个相同的幂相乘。

幂的乘方法则：一般的，对于任意底数a与任意正整数m，n，

amnn个mnmaaaammmammmn个am因此，我们有(am)n=amn（m，n都是正整数）

即幂的乘方，底数不变，指数相乘。

注意：(1)法则可推广为[(am)n]p=amnp（m，n,p都是正整数）

(2)此法则可以逆用amn=(am)n=(an)m（m，n都是正整数）

积的乘方法则：一般的，对于任意底数a,b与任意正整数n，abnabababaaabbbanbnn个abn个an个b

因此，可得出(ab)n=anbn（n是正整数）

即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

注意：(1)三个或三个以上因式的积的乘方，也具有这一性质.例如(abc)n=anbncn (2)此法则可逆用：anbn=(ab)n

发现、总结

1.问题：光的速度约为3×10千米/秒，太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×10秒，你知道地球与太阳的距离约是多少千米吗? 解答：(3×10

)×(5×10

)=(3×5)×(10

×10

)=15×10

如果将上式中的数字改为字母，即ac5·bc2，我们可以得到

ac·bc

=(a·c)·(b·c) =(a·b)·(c·c) =abc=abc根据上式总结出单项式与单项式相乘的方法

2.问题：三家连锁店以相同的价格m(单位：元/瓶)销售某种商品，它们在一个月内的销售量(单位：瓶)，分别是a,b,c。请用不同方法计算它们在这个月内销售这种商品的总收入

一种方法是先求三家连锁店的总销售量，再求总收入，即总收入为m(a+b+c),另一种方法是先分别求三家连锁店的收入，再求它们的和，即总收入为ma+mb+mc,所以：

m(a+b+c)= ma+mb+mc ,根据上式总结出单项式与多项式相乘的方法

3.问题：为了扩大绿地面积，要把街心花园的一块长a米，宽m米的长方形绿地增长b米，加宽n米，求扩地以后的面积是多少？用两种方法表示扩大后绿地的面积。

5252525+275252752

方法一：这块花园现在长(a+b)米，宽(m+n)米，因而面积为(a+b)(m+n)米．

方法二：这块花园现在是由四小块组成，它们的面积分别为：am米、an米、bm米、bn米，故这块绿地的面积为(am+an+bm+bn)米． (a+b)(m+n)和(am+an+bm+bn)表示同一块绿地的面积，(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn，根据上式总结出多项式与多项式相乘的方法

222222

结合以上情形，我们可以得到单项式与单项式、单项式与多项式、多项式与多项式相乘的乘法法则，即

1.单项式与单项式相乘的乘法法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

2.单项式与多项式相乘的乘法法则：单项式与多项式相乘，就是先用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。用式子表示为m(a+b+c)= ma+mb+mc(m,a,b,c都是单项式) 3.多项式与多项式相乘的乘法法则: 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。用式子表示为(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn

同底数幂的除法法则：一般地，我们有a÷a=a（a≠0,m，n都是正整数，并且m>n）

即同底数幂相除，底数不变，指数相减。

注意：

（1）底数a可以是单项式，也可以是多项式，但底数a不能为0，则除数为零，除法就没有意义了

（2）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质，例如a÷a÷a=an，p是正整数，并且m>n+p）

（3）应用这一法则时，必须明确底数是什么，指数是什么，然后按照同底数幂除法法则进行计算

（4）同底数幂的除法和同底数幂的乘法是互为逆运算

mnpm-n-pmnm-n（a≠0,m，

零指数幂的性质：同底数幂相除，如果被除式的指数等于除式的指数，例如a÷a，根据除法的意义可知所得的商为1，另一方面，如果按照同底数幂的除法来计算，又有a÷a=a=a0 mmm-m mm于是规定：a=1（a≠0）

即任何不等于0的数的0次幂都等于1 注意：任何一个常数都可以看作与字母0次方的积，因此常数项可以看作是0次单项式

类型一

同底数幂相乘

计算（1）10×10（2）(-b)×(-b)（3）x﹒x﹒x﹒x

【答案】（1）10×10=10=10（2）(-b)×(-b)=(-b)=(-b)（3）x﹒x﹒x﹒x=xm+2m+1mm+2+m+1+m+1323+2424+26 42 32m+2m+1m05 =x3m+4

【解析】三个题中，每个题中幂的底数都相同，根据同底数幂的运算法则同底数幂相乘，底

数不变，指数相加计算即可。

计算(1)(a+3)﹒(a+3)2﹒(a+3)5(2)(-x)﹒x2﹒(-x)3(3)(2a-3b)3﹒(3b-2a)4

【答案】(1)(a+3)﹒(a+3)2﹒(a+3)5=(a+3)1+2+5=(a+3)8

(2)(-x)﹒x2﹒(-x)3=-y﹒y2﹒（-y3）=y1+2+3=y6

(3)(2a-3b)3﹒(3b-2a)4=(2a-3b)3﹒(2a-3b)4=(2a-3b)3+4=(2a-3b)7

【解析】题（1）中把a+3看成一个整体，同样适用于同底数幂的乘法法则；题(2)中第二个

幂的底数与其它两个互为相反数，通过幂的运算转化为同底数后后进行计算；题（3）同题（2）一样底数互为相反数，通过幂的乘方符号法则转化运算转化成同底数幂后运用同底数

幂的运算法则进行计算。

注意：（1）同底数幂相乘时，底数可以是单项式，也可以是多项式

（2）幂的运算中经常用到的变形

nna(n为偶数)(ba)(n为偶数)nn(a)n(ab)(ba)n(n为奇数)a（n为奇数），

(1)若a=2,a=5,则a=________.(2)已知3=4，则3=_______.

【答案】(1)a=2,a=5,a=a﹒a=2×5=10

(2)3=4，则3=3﹒3=4×9=36

【解析】此例题运用了同底数幂的乘法法则，将所求转化为同底数幂的乘法然后整体代入求

值，体现了整体思想的应用。

类型二

幂的乘方

计算(1)(a)23 yy+2y2mnm+nmnmnm+nyy+2(2)(x)2×3m-13 (3)[(-y)]45 【答案】(1)(a)=am-13 23=a6 (2)(x)=x45 3(m-1)=x3m-3 (3)[(-y)]=(-x)4×5=(-x)=x2020 【解析】根据幂的乘方法则，幂的乘方，底数不变，指数相乘计算即可

已知a=2，求a-a的值。2m3m23m2m4m

【答案】a-a==2-2=4-8=-4

【解析】此题逆用幂的乘方法则，将a-a转化为(a)-(a)后，把a=2整体代入求值即

可解答。

计算(1)(-2ab)22 2m3mm2m3m(2)-(-3xy)224 (3)(-ab)

42 323 【答案】(1)(-2ab)=(-2)﹒(a)﹒b=4ab(2)-(-3xy)=-(-3)﹒x﹒(y)=-81xy(3)(-ab)=(-1)﹒(a)﹒(b)=-ab3233332396 24 442448 22 222

【解析】按照积的乘方的运算法则，把积中的每一个因式分别乘方即可。

类型三

积的乘方

计算(1)4×(0.25)666 4101311013()(1)

(2)546 66【答案】(1)4×(0.5)=(4×0.25)=1=1 4101311013451013()(1)()=(-1)1013=-1

(2)=5454414511，即【解析】此题若先算乘方，运算量太大，注意到4×0.25=1，5454

两底数的积容易求出.而指数又是相同的，故可逆用积的乘方的法则简便计算。类型四

单项式乘单项式

计算(1)3x﹒4x (2)2xy﹒6xy 【答案】(1)3x﹒4x=3×4﹒x=12x2222+13 222

(2)2xy﹒6xy=2×6﹒xy=12xy

【解析】直接运用单项式与单项式相乘的乘法法则计算即可。

计算(1)(-xyz)﹒(-xy)23223223 1+22+133(2)(2xy)﹒xy+(-4x)(-xy)

3 24663876 32363【答案】(1)(-xyz)﹒(-xy)=xyz﹒(-1)xy=-xyz3236362362(2)(2xy)﹒xy+(-4x)(-xy)=4xy﹒xy+(-4)﹒x﹒(-1)﹒xy=4xy+4xy=8xy

【解析】先根据积的乘方法则进行计算，再直接运用单项式与单项式相乘的乘法法则计算，题(2)最后还要合并同类项

类型五

单项式乘多项式

计算(1)3x(x-1) (2)2x(3a+4b) (3)(xy-2xy+y)﹒(4xy)

【答案】(1)3x(x-1)=3x-3x 22233939393

(2)2x(3a+4b)=6xa+8xb (3)(xy-2xy+y)﹒(4xy)=4xy-8xy+4xy

【解析】直接运用单项式与多项式相乘的乘法法则计算即可

类型六

多项式乘多项式

计算(1)(3a+1)(a-3) (2)(2a+b)(a-2b) (3)(x-y)(x+xy+y) 【答案】(1)(3a+1)(a-3)=3a-9a+a-3= 3a-8a-3 (2)(2a+b)(a-2b)=2a-4ab+ab-2b=2a-3ab-2b

(3)(x-y)(x+xy+y)=x+xy+xy-xy-xy-y=x-y

【解析】首先运用多项式与多项式相乘的乘法法则计算，最后一定注意合并同类项

计算：

①3ab2aa2b3； ②3xy

③2a223222233322222222223222322xy；

22222ab4422311； ④8ab3abab2. 4253106【答案】①6ab；②18xy；③32ab；④324ab.

4【解析】根据同底数幂的除法法则即同底数幂相除，底数不变，指数相减计算即可。

计算(1)(x-2y)÷(2y-x) (2)(-a)÷a (3)(-ab)÷(-ab)

【答案】(1)(x-2y)÷(2y-x)=)(x-2y)÷(x-2y)=(x-2y)=(x-2y)

(2)(-a)÷a=-a÷a=-a452523 52525-235252422 (3)(-ab)÷(-ab)=(ab)÷[-(ab)]=-(ab)=-(ab)=-ab22424-2222 【解析】底数不同，通过幂的乘方符号法则转化为同底数幂,再根据同底数幂的除法法则进行计算

若式子(x-2)有意义，求x的取值范围

【答案】x-2≠0，x≠2

0

【解析】由零指数幂的意义可知，只要底数不等于零即可

已知a=6，a=2，求a，ax-yxyxyx-y2x-y.

2x-y【答案】a=a÷a=6÷2=3 a=a÷a=(a)÷a=6÷2=36÷2=18

2xyx2y2【解析】根据同底数幂的除法的逆用及幂的乘方法则即可计算出结果

若3922a127a181，求a的值.

222a+1【答案】∵3﹒(3)÷(3)=3﹒33a+124a+2÷33a+3=32+4a+2-3a-3=3=81=3∴a+1=4∴a=3a+14

【解析】等式左边底数都不相同，首先转化成同底数幂的形式，再根据同底数幂的乘法和除法法则进行计算，等式右边转化成与左边同底数的形式列出等量关系解答出结果。

四

、课堂运用

1、计算：（1）yy；（2）xx2、计算：（1）103；（2）x363m2m1；（3）aa

m523263；（3）x

；（4）a22a5

213、计算：（1）xy；（2）p；（3）3x2y3

3

答案与解析

【答案】1解：（1）yyy （2）xx2m2m1331y4

xm2m1x3m1

26 （3）aaa2 解：（1）1036a8

31033109

（2）x32x32x6

5 （3）xmxm5x5m

（4）a26a3625a235a11

6663解：（1）xyxyxy

111 （2）pp2p2

933 （3）3x2y3

1、计算：（1）xy23xy2222329x4y6

22xy322122；（2）2xyxyz3xz2

2、计算（1）3xy2x1xyy21；（2）3ab2ab4bab

33、计算：x2y4x3y

答案与解析

【答案】 1解：（1）xy22xy322223321xxyyxy

33 2）2xy121xyz3xz223xx2xyyzx23x4y2z3

22113xy2x2xyy213xy2x23xyxy3xyy23xy336x3yx2y23xy33xy

（2）

3ab3 2ab4bab3ab2ababab4bab3a2b3a2b24ab2

x2y4x3yx4x3y2y4x3y4x23xy8xy6y24x11xy6y

1、计算：（1）y2y2；（2）3x23x2；

22

（3）23a3a2；（4）2m2m

2、计算：（1）x2；（2）5x4y；（3）199（用简便运算）

222

3、计算：（1）x2y3x2y3；（2）abc

2答案与解析

【答案】1、解：（1）y2y2y2y4

222 （2）3x23x23x29x4

222 （3）23a3a23a23a23a29a4

222（4）2m2mm2m2m2m4

2222、解：（1）x2x2x22x4x4

2222 （2）5x4y5x25x4y4y25x40x16y

22222 （3）199200120022001140000400139601

22223、解：（1）

x2y3x2y3x2y3x2y3x22y32x24y212y9x24y212y9

（2）

abc2abc2ab22abcc2a22abb22ac2bcc2a2b2c22ab2ac2bc

1.同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即a﹒a=a（m，n都是正整数）

2.幂的乘法法则：即幂的乘方，底数不变，指数相乘，即(a)=a（m，n都是正整数），

mnmnmnm+n五、课堂小结

3.积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即(ab)=ab（n是正整数）

六、课后作业

1．下列计算正确的是（

）

2325235A．x+x=2x

B．x•x=x

C．（x）=x

2.先化简，再求值：（x-1）（x+1）-x（x-3），其中x=3．

3.（1）xyD．（2x）=2x

22nnn22xy32122；（2）2xyxyz3xz

2

答案与解析

【答案】1、解：A、x+x=2x≠2x，故本选项错误；B、x•x=x，故本选项正确；C、（x）365=x≠x，故本选项错误；

222D、（2x）=4x≠2x，故本选项错误．故选：B．

222、解：原式=x-1-x+3x=3x-1，当x=3时，原式=9-1=8．

3、解

23252112xyx2yz3xz223xx2xyyzx23x4y2z322



1.

已知x-y=2，y-z=2，x+z=14,求x-z的值

22化简：（1）

(abc)(abc);(2)

(abc)(abc).2.

3. 答案与解析

111计算：(a)2(a2)2(a)2.242【答案】

221、解：因为x-y=2，y-z=2，将两式相加得x-z=4，所以x-z=（x+z）(x-z)=14×4=56.

2、

解：（1）原式[ab)c][(ab)c](ab)2c2 a22abb2c2.

(2)

原式[a(bc)][(a(bc)]a2(bc)2 a2b22bcc2

3、

11111解：原式[(a)(a2)(a)]2[(a2)(a2)]224244111 (a4)2a8a4.168256

1.为了交通方便，在一块长为am，宽为bm的长方形稻田内修两条道路，横向道路为矩形，纵向道路为平行四边形，道路的宽均为1m(如图)，则余下可耕种土地的面积是_______________m. 2

2.请看杨辉三角（1），并观察下列等式（2）：

6根据前面各式的规律，则（a+b）=．

答案与解析

【答案】1、解答：abab1. 65423324562、解答：a+6ab+15ab+20ab+15ab+6ab+b