分式的乘除法的应用教学设计内容推荐

第15章《分式》单元分析

一、单元教学目标

知识技能：

1.以描述实际问题中的数量关系为背景，抽象出分式的概念，体会分式是刻画现实世界中数量关系的一类代数式.

2.类比分数的基本性质，了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则.

3.类比分数的四则运算法则，探究分式的四则运算，掌握这些法则.

4.结合分式的运算，将指数的讨论范围从正整数扩大到全体整数，构建和发展相互联系的知识体系.

5.理解分式方程的解法，讨论可以化为一元一次方程的分式方程，掌握这种方程的解法，体会解方程中的化归思想，结合分析和解决实际问题，提高学生应用数学的意识．

数学思考：

学生在原有知识和经验的基础上，通过小组合作交流，掌握分式的相关知识，初步形成从特殊到一般的思维方式，在多种形式的数学活动中发展合情推理能力．经历知识的“再发现”过程，在探究活动的过程中培养学生分析问题、解决问题的能力能力，改变学生的学习方式．在发现法则的基础上，再运用这些法则解决问题，让学生在实践中对分式的知识有一个完整深刻的认识．

问题解决：

通过对分式的学习让学生关注生活，学会观察，增强交流，培养学生利用分式的有关知识发现并提出问题的能力，尝试用不同的方法分析问题和解决问题．提高计算能力，体会解方程中的化归思想，提高运用知识和技能解决问题的能力,发展应用数学意识．

情感态度：

能初步应用本章所学的知识解决简单的实际问题，在思考、分析和解决问题的过程中，认识数学严谨和应用广泛的特点，提高计算能力，体会数学的应用价值．在小组合作交流的探索过程中，勇于发表自己的见解，体验探究数学结论的乐趣．注重经历观察、推理、想象等探索过程，形成数学的应用意识．

二、单元重难点指导

单元重点：分式的基本性质、解分式方程、分式方程的应用．

本章的主要内容是从生活中的生活经验和数学活动入手，教科书立足于学生的生活经验和数学活动经历，从现实生活中的实际问题开始，引出分式的概念. 类比小学所学过的分数的基本性质来理解分式的基本性质，类比幂的相关运算得到负指数意义，同时利用分式来解决我们用整式所不能解决的问题.

分式的基本性质是整章的中心与灵魂，是整章的重点，可类比小学所学过的分数的基本性质来理解分式的基本性质，掌握分式方程的解法，体会解方程中的化归思想，解分式方程时需要验根,这也是解分式方程与整式方程最大的区别,同时灵活的应用分式方程来解决现实生活中的实际问题，才是我们学习的根本目的．

单元难点：分式的基本性质、解分式方程、分式方程的应用．

虽然学生小学学过分数,但在由数向式的变化过程中,学生依然会感觉到一定的难度,所以要多用类比的方法,解分式方程时要注意解题步骤,验根的环节不要丢掉,所以在突破难点

时，要加强分式运算的练习,另外以分式为工具,提高学生把实际问题转化为数学问题的能力,体现数学的建模思想,培养学生的创新精神.

突破难点时，教师在教学中应做到让学生自主探究，体验结论产生的过程，体会在实践操作中得到数学知识的思想方法，使学生能够充分理解运算的理由，在应用分式解决问题时，就会得心应手，做到灵活应用.要充分发挥学生的主观能动性，调动他们学习的积极性，让全体学生参与进来，做到全体学生都能很好的理解分式的相关知识，从而用分式来解决生活中遇到的实际问题．

三、单元知识及与其它相关单元的知识联系

本单元的主要内容为分式的基本概念,分式的基本性质、分式方程的解法、分式方程的应用，本单元知识是以分数、一元一次方程、以及幂的相关知识为基础,通过类比的思想,从具体到抽象、从特殊到一般,形成了分式完整的知识体系.虽然分式与整式形成了鲜明的对比，但分式在运算和应用中与整式具有紧密的联系，同时利用分式也可以解决利用整式所不能解决的问题，在应用中正好形成了互补，从而更好地解决生活中遇到的问题．

第十五章

分

式

15.1.1 从分数到分式

教学目标

1．了解分式的概念，能用分式表示实际问题中的数量关系．

2．能确定分式有意义的条件．

教学重、难点

分式的概念

教学过程设计

一、创设问题，激发兴趣

章引言:

一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h，它沿江以最大航速顺流航行90 km所用时间，与以最大航速逆流航行60 km所用时间相等，江水的流速为多少？

问题1 顺流航行的速度、逆流航行的速度与轮船

在静水中的速度、水流速度之间有什么关系？

顺流航行的速度=轮船在静水中的速度+水流速度；

逆流航行的速度=轮船在静水中的速度-水流速度．

问题2 这个问题的等量关系是什么？

顺流航行90 km所用时间=逆流航行60 km所用时间．

问题3 应怎样设未知数？如何根据等量关系列出方程？

解：设江水的流速为v km/h. 依题意得：追问

式子

与分数有什么相同点和不同点？它们与你学过的整式有什么不同？

问题4 填空：

（1）长方形的面积为10 cm2，长为7 cm，宽应为

cm；长方形的面积为S，长为a，宽应为

cm. 问题4 填空：

（2）把体积为200 cm3的水倒入底面积为33 cm2的圆柱形容器中，水面高度为

cm；把体积为V 的水倒入底面积为S 的圆柱形容器中，水面高度为

.

追问1 上面问题中得到的式子，，，哪些不是我们学过的整式？

追问2 式子的特征？

二、知识应用，巩固提高

分式的定义：

，，与以前学过的整式不同，这些代数式有什么共同一般地，如果A，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子叫做分式（fraction）.

分式中，A 叫做分子，B 叫做分母. 问题5

我们知道，要使分数有意义，分数中的分母不能为0．要使分式有意义，分式中的分母应满足什么条件？为什么？

例1 下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？

三、应用提高、拓展创新

课本128页

练习1、2、3 四、归纳小结

（1）本节课学习了哪些主要内容？

（2）你能举例说明什么是分式吗？

（3）如何确定分式有意义的条件？

五、布置作业：

教科书习题15.1第1、2、3题. 教后反思：

15.1.2 分式的基本性质（1）

教学目标

1．了解分式的基本性质，体会类比的思想方法．

2．掌握分式的约分，了解最简分式的概念．

教学重、难点

分式的基本性质和分式的约分

教学过程设计

一、创设问题，激发兴趣

问题1 下列分数是否相等？

追问

这些分数相等的依据是什么？

问题2 你能叙述分数的基本性质吗？

分数的基本性质：

一个分数的分子、分母乘（或除以）同一个不为0的数，分数的值不变．

问题3 你能用字母的形式表示分数的基本性质吗？

问题4 类比分数的基本性质，你能想出分式有什么性质吗？

分式的基本性质：

分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的

整式，分式的值不变．

追问1

如何用式子表示分式的基本性质？

二、知识应用，巩固提高

追问2 应用分式的基本性质时需要注意什么？

（1）分子、分母应同时做乘、除法中的同一种运算；

（2）所乘（或除以）的必须是同一个整式；

（3）所乘（或除以）的整式应该不等于零.

例2 填空：

问题5

观察上例中（1）中的两个分式在变形前后的分子、分母有什么变化？类比分数的相应变形，你联想到什么？

像这样，根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．经过约分后的分式，其分子与分母没有公因式．像这样分子与分母没有公因式的式子，叫做最简分式．

例3

约分:

追问1 由上例你能归纳出在分式中，找分子和分母的公因式的方法是什么吗？

追问2 如果分式的分子或分母是多项式，那么该如何思考呢？

三、应用提高、拓展创新

教科书132页

练习1 四、归纳小结

（1）本节课学习了哪些主要内容？

（2）运用分式的基本性质时应注意什么？

（3）分式约分的关键是什么？如何找公因式？

（4）探究分式的基本性质和分式的约分的过程，你认为体现了哪些数学思想方法？

五、布置作业：

教科书习题15.1第4、6题. 教后反思：

15.1.2 分式的基本性质（2）

教学目标

1．了解最简公分母的概念，会确定最简公分母.

2．通过类比分数的通分来探索分式的通分，能进行分式的通分，体会数式通性和类比的思想.

教学重、难点

准确确定分式的最简公分母

教学过程设计

一、创设问题，激发兴趣

问题1 通分：

追问1 分数通分的依据是什么？

追问2 如何确定异分母分数的最小公分母？

问题2 填空：

像这样，根据分式的基本性质，把几个异分母的分

式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分

式的通分. 追问1 你认为分式通分的关键是什么？

分式通分的关键是找出分式各分母的公分母. 追问2 上面问题中的两个分式的公分母是什么？

为通分要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母.

追问3 两个分式的最简公分母是如何确定的？

最简公分母的确定方法：

取各分母系数的最小公倍数与各字母因式的最高次幂的乘积．

分母是多项式时，最简公分母的确定方法是：

先因式分解，再将每一个因式看成一个整体，最后确定最简公分母．

二、知识应用，巩固提高

例

通分：

三、应用提高、拓展创新

教科书132页

练习1

四、归纳小结

（1）本节课学习了哪些主要内容？

（2）分式通分的关键是什么？

（3）分式通分时，确定最简公分母的方法是什么？

五、布置作业：

教科书习题15.1第7题

教后反思：

15.2.1 分式的乘除（1）

教学目标

1．理解分式的乘除法法则，体会类比的思想.

2．会根据分式的乘除法法则进行简单的运算，并理解其算理

教学重、难点

分式的乘除法法则的运用

教学过程设计

一、创设问题，激发兴趣

问题1

一个水平放置的长方体容器，其容积为V，底面的长为a，宽为b，当容器内的水占容积的m时，水面的高度为多少？

n（1）这个长方体容器的高怎么表示？

（2）容器内水面的高与容器内的水所占容积间有何关系？

容器内水面的高与容器高的比和容器内的水所占容积的比相等. 问题2 大拖拉机m 天耕地a hm2，小拖拉机n天耕地b hm2，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍？

（1）本题中出现的“工作效率”的含义是什么？

（2）大拖拉机和小拖拉机的工作效率怎样表示？

观察上述两个问题中所列出的式子中，其中涉及到分式的有哪些运算？你能用学过的运算法则求出结果吗？

问题3

计算：

在计算的过程中，你运用了分数的什么法则？你能叙述这个法则吗？

如果将分数换成分式，那么你能类比分数的乘除法法则，说出分式的乘除法法则吗？

怎样用字母来表示分式的乘除法法则呢？

二、知识应用，巩固提高

分式的乘除法法则

如何用文字语言来描述？

乘法法则：

分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积为积的分母. 除法法则：

分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘. 例1 计算：

三、应用提高、拓展创新

教科书138页

练习2 四、归纳小结

（1）本节课学习了哪些主要内容？

（2）分式的乘除法运算与分数的乘除法运算有什么区别和联系？

五、布置作业：

教材第144页第1题；第145页第10、11题．

教后反思：

15.2.1分式的乘除（2）

教学目标

1．能运用分式的乘除法法则进行复杂计算．

2．能运用分式的乘除法解决一些简单的实际问题. 教学重、难点

用分式的乘除法法则进行计算，并解决一些实际问题．

教学过程设计

一、创设问题，激发兴趣

问题1 约分:

分子与分母分别是多项式的分式如何约分？

问题2 计算:

分子与分母都是单项式的两个分式如何乘除？

二、知识应用，巩固提高

例1 计算：

分子或分母是多项式的两个分式如何乘除呢？

解题策略：

对于分子与分母都是单项式的两个分式乘除，可直接利用分式的乘除法法则，再根据分式的基本性质进行约分，将最后的结果化成最简分式．而对于分子或分母中含有多项式的两个分式相乘，为了使算式简洁，也便于找出分子与分母中的公因式，需要先将多项式因式分解，把多项式化成整式的积的形式，然后利用分式的乘除法法则进行运算，利用分式的基本性质进行约分，并把最后的结果化成最简分式．

例2 “丰收1号”小麦的试验田是边长为a m（a＞1）的正方形去掉一个边长为1 m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为（a-1）m的正方形，两块试验田的小麦都收获了500 kg．

（1）哪种小麦的单位面积产量高？

（2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？

思考以下问题：

①

你能说出小麦的“单位产量”的含义吗？

②

如何表示这两块试验田的单位产量？

③

怎样确定哪种小麦的单位产量高？

④

你能列式表示（2）的问题吗？

归纳解题步骤：

（1）先根据题意分别列出表示两个量的代数式；

（2）再根据题意列出相应的算式；

（3）最后通过计算解决问题．

三、应用提高、拓展创新

教科书138页

练习3

四、归纳小结

运用分式的乘除法法则计算分子或分母含有多项式

的分式主要步骤是什么？

五、布置作业：

教材第144页第2题．

教后反思：

15.2.1 分式的乘方

教学目标

1.理解分式乘方的运算法则，能根据法则进行乘方运算，体会数式通性. 2.能根据混合运算法则进行分式乘除、乘方混合运算.

教学重、难点

分式的乘方及分式乘除、乘方混合运算

教学过程设计

一、创设问题，激发兴趣

例1 计算：

2x3x.5x-325x2-95x+3

练习1 计算:

2m2n5p2q5mnp（）1；223q3pq4mn2m2-n2（n-m）m+n（2）；222m（m-n）mn16-a2a-4a-2（3）2．2a+8a+2

a+8a+16思考

你能结合有理数乘方的概念和分式乘法的法则写出结果吗？

（a2a3a10）=？ （）=？ （）=？bbb

a猜想：n 为正整数时? b你能写出推导过程吗？试试看．

你能用文字语言叙述得到的结论吗？

分式的乘方法则：

一般地，当n 是正整数时，

n

这就是说，分式乘方要把分子、分母分别乘方．

二、知识应用，巩固提高

例2 计算：

例3 计算：

分式的乘除、乘方混合运算与分数的乘除、乘方混合运算有什么联系和区别吗？

练习2 计算：

三、应用提高、拓展创新

教科书139页练习2 四、归纳小结

（1）本节课学习了哪些主要内容？

（2）运用分式乘方法则计算的步骤是什么？它与整式的乘方运算有什么区别和联系？

（3）分式的乘方与乘除混合运算的运算顺序是什么？

五、布置作业：

教科书习题15.2第3（3）（4）题．

教后反思：

15.2.2分式的加减

教学目标

1．理解分式的加减法法则，体会类比思想．

2．会运用法则进行分式的加减运算，体会化归思想．

教学重、难点

分式的加减法法则

教学过程设计

一、创设问题，激发兴趣

问题1 甲工程队完成一项工程需n 天，乙工程队要比甲队多用3天才能完成这项工程，两队共同工作一天完成这项工程的几分之几？

（1）甲工程队一天完成这项工程的几分之几？

（2）乙工程队一天完成这项工程的几分之几？

（3）甲乙两队共同工作一天完成这项工程的几分之几？

问题2 2009年、2010年、2011年某地的森林面积（单位：km2）分别是S1，S2，S3，2011年与2010年相比，森林面积增长率提高了多少？

（1）什么是增长率？

（2）2010年、2011年的森林面积增长率分别是多少？

（3）2011年与2010年相比，森林面积增长率提高了多少？

分式的加减法与分数的加减法类似，它们实质相同．观察下列分数加减运算的式子，你能将它们推广，得出分式的加减法法则吗？

分式的加减法法则：

同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；

异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减．

二、知识应用，巩固提高

例

计算：

11（2）+．2p+3q2p-3q

三、应用提高、拓展创新

课本141页

练习1、练习2 练习：你能应用本节课所学知识解决“问题1”和“问题2”吗？

四、归纳小结

（1）本节课学习了哪些主要内容？

（2）我们是怎么引出分式加减法法则的？

（3）在进行分式的加减运算时要注意哪些问题？

五、布置作业：

教科书习题15.2第4、5题．

教后反思：

15.2.2分式的混合运算

教学目标

1．理解分式混合运算的顺序．

2．会正确进行分式的混合运算．

3．体会类比方法在研究分式混合运算过程中的重要价值．

教学重、难点

分式的混合运算．

教学过程设计

一、创设问题，激发兴趣

问题

数的混合运算的顺序是什么？你能将它们推广，得出分式的混合运算顺序吗？

分式的混合运算顺序：

“从高到低、从左到右、括号从小到大”．

例1

计算：

这道题的运算顺序是怎样的？

通过对例1的解答，同学们有何收获？

对于不带括号的分式混合运算：

（1）运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减；

（2）计算结果要化为最简分式．

二、知识应用，巩固提高

例2

计算：

52m-4（）　1m+2+3-m；2-mx+2x-1x-4（2）　-．x2-2xx2-4x+4x

通过对例2的解答，同学们有何收获？

对于带括号的分式混合运算：

（1）将各分式的分子、分母分解因式后，再进行计算；

（2）注意处理好每一步运算中遇到的符号；

（3）计算结果要化为最简分式．

三、应用提高、拓展创新

练习1 计算：

四、归纳小结

（1）本节课学习了哪些主要内容？

（2）分式混合运算的顺序是什么？我们是怎么得到它的？

（3）在进行分式混合运算时要注意哪些问题？

五、布置作业：

教科书习题15.2第6题．

教后反思：

15.2.3 整数指数幂

教学目标

1．了解负整数指数幂的意义．

2．了解整数指数幂的性质并能运用它进行计算．

3．会利用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些小于1 的正数．

教学重、难点

幂的性质（指数为全体整数），并会用于计算，以及用科学记数法表示一些小于1的正数．

教学过程设计

一、创设问题，激发兴趣

问题1

你们还记得正整数指数幂的意义吗？正整数指数幂有哪些运算性质呢？

将正整数指数幂的运算性质中指数的取值范围由“正整数”扩大到“整数”，这些性质还适用吗？

问题2 am 中指数m 可以是负整数吗？如果可以，那么负整数指数幂am 表示什么？

（1）根据分式的约分，当

a≠0 时，如何计算a（2）如果把正整数指数幂的运算性质中的条件m >n 去掉，即假设这个性质对于像a数学中规定：

当n 是正整数时，a这就是说，ann33a5？

（a≠0，m，n 是正整数，m >n）a5情形也能使用，

如何计算？

1aa0

a0是an 的倒数．

问题3 引入负整数指数和0指数后，amanamn（m，n 是正整数）这条性质能否推广到m，n 是任意整数的情形？

问题4

类似地，你可以用负整数指数幂或0 指数幂对于其他正整数指数幂的运算性质进行试验，看看这些性质在整数范围内是否还适用？

（1）amanamn

（m，n 是整数）；

n（am）amn

（m，n 是整数）（2）；

（ab）ab

（n 是整数）（3）；

mnmn（4）aaa（m，n 是整数）；

nnna（5）bnann（n 是整数）．

b二、知识应用，巩固提高

例1 计算：

三、应用提高、拓展创新

问题5 能否将整数指数幂的5条性质进行适当合并？

这样，整数指数幂的运算性质可以归结为：

（1）amanamn

（m，n 是整数）；

n（am）amn

（m，n 是整数）（2）；

（ab）ab

（n 是整数）（3）；

探索：

nnn11011010.01102100

10.001103100010.0001104100000.1归纳：

如何用科学记数法表示0.003 5和0.000 098 2呢？

规律：

对于一个小于1的正小数，从小数点前的第一个0算起至小数点后第一个非0数字前有几个0，用科学记数法表示这个数时，10的指数就是负几．

例2

用科学记数法表示下列各数：

（1）0.3；（2）-0.000 78；（3）0.000 020 09. 例3

纳米（nm）是非常小的长度单位，1 nm =10-9 m．把1 nm3 的物体放到乒乓球上，就如同把乒乓球放到地球上．1 mm3 的空间可以放多少个1 nm3 的物体（物体之间的间隙忽略不计）？

四、归纳小结

（1）本节课学习了哪些主要内容？

（2）整数指数幂的运算性质与正整数指数幂的运算性质有什么区别和联系？

五、布置作业：

教科书习题15.2第7、8、9题

教后反思：

15.3 分式方程（1）

教学目标

1．了解分式方程的概念．

2．会用去分母的方法解可化为一元一次方程的简单的分式方程，体会化归思想和程序化思想．

3．了解解分式方程根需要进行检验的原因．

教学重、难点

利用去分母的方法解分式方程

教学过程设计

一、创设问题，激发兴趣

问题1 为了解决引言中的问题，我们得到了方程程，未知数的位置有什么特点？

追问1 方程9060．仔细观察这个方30v30v12110x2x;2;1与上面的方程有什么共2xx3x5x25x13x3同特征？

分母中含有未知数．

分式方程的概念：

分母中含有未知数的方程叫做分式方程．

追问2 你能再写出几个分式方程吗？

注意：

我们以前学习的方程都是整式方程，它们的未知数不在分母中．

9060吗？

30v30v问题3

这些解法有什么共同特点？

总结：

这些解法的共同特点是先去分母，将分式方程转化为整式方程，再解整式方程．

思考：

（1）如何把分式方程转化为整式方程呢？

问题2

你能试着解分式方程

（2）怎样去分母？

（3）在方程两边乘以什么样的式子才能把每一个分母都约去呢？

（4）这样做的依据是什么？

总结：

（1）分母中含有未知数的方程，通过去分母就化为整式方程了．

（2）利用等式的性质2可以在方程两边都乘同一个式子——各分母的最简公分母．

追问

你得到的解v=6是分式方程二、知识应用，巩固提高

问题4 解分式方程：

9060的解吗？

30v30v110=2.x-5x-25

110的解吗？该如何验证呢？x=5是原2x5x25分式方程变形后的整式方程的解，但不是原分式方程的解．

追问2 上面两个分式方程的求解过程中，同样是去分母将分式方程化为整式方程，为追问1 你得到的解x=5是分式方程

（30-v）=60（30+v）什么整式方程90的解v=6是分式方程整式方程x+5=10的解x=5却不是分式方程9060的解，而30v30v110的解？

2x5x25原因：

在去分母的过程中，对原分式方程进行了变形，而这种变形是否引起分式方程解的变化，主要取决于所乘的最简公分母是否为0．

检验的方法主要有两种：

（1）将整式方程的解代入原分式方程，看左右两边是否相等；

（2）将整式方程的解代入最简公分母，看是否为0．

显然，第2种方法比较简便！

问题5你能概括出解分式方程的基本思

路和一般步骤吗？解分式方程应该注意什么？

基本思路

将分式方程化为整式方程一般步骤：

（1）去分母；

（2）解整式方程；

（3）检验．

注意：

由于去分母后解得的整式方程的解不一定是原分式方程的解，所以需要检验．

三、应用提高、拓展创新

例

解下列方程：

四、归纳小结

（1）本节课学习了哪些主要内容？

（2）解分式方程的基本思路和一般步骤是什么？解分式方程应该注意什么？

五、布置作业：

教科书习题15.3第1（1）～（4）题．

教后反思：

15.3 分式方程（2）

教学目标

1．会解较复杂的分式方程和较简单的含有字母系数的分式方程．

2．能够列分式方程解决简单的实际问题．

3．通过学习分式方程的解法，体会转化的数学思想．

教学重、难点

分式方程的解法

教学过程设计

一、创设问题，激发兴趣

例1

解方程

x3-1=.x-1（x-1）（x+2）

解分式方程的步骤：

（1）去分母，将分式方程转化为整式方程；

（2）解这个整式方程；

（3）检验．

用框图的方式总结为：

二、知识应用，巩固提高

例2

解关于x 的方程

a+b=1（b1）.x-a

例3 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成，哪个队的施工速度快？

三、应用提高、拓展创新

某车间有甲、乙两个小组，甲组的工作效率比乙组工作效率高25％，因此甲组加工2 000个零件所用的时间比乙组加工1 800个零件所用的时间少半小时，问甲、乙两组每小时各加工多少个零件？

四、归纳小结

（1）本节课学习了哪些主要内容？

（2）解分式方程的一般步骤有哪些？关键是什么？解方程的过程中要注意的问题有哪些？

（3）列分式方程解应用题的步骤是什么？与列整式方程解应用题的过程有什么区别和联系？

五、布置作业：

教科书习题15.3第1（2）（4）（6）（8）、4、5题．

教后反思：

15.3 分式方程（3）

教学目标

列分式方程解决实际问题．

教学重、难点

列分式方程解实际问题．

教学过程设计

一、创设问题，激发兴趣

例1 某进货员发现一种应季衬衫，预计能畅销，

他用8 000元购进一批衬衫，很快销售一空．再进货时，

他发现这种衬衫的单价比上一次贵了4 元/件，他用

17 600元购进2 倍于第一次进货量的这种衬衫．问第一

次购进多少件衬衫？

分析：

二、知识应用，巩固提高

例2 某次列车平均提速v km/h．用相同的时间，列车提速前行驶s km，提速后比提速前多行驶50 km，提速前列车的平均速度为多少？

思考：

（1）这个问题中的已知量有哪些？未知量是什么？

（2）你想怎样解决这个问题？关键是什么？

表达问题时，用字母不仅可以表示未知数（量），也可以表示已知数（量）.

上面例题中，出现了用一些字母表示已知数据的形式，这在分析问题寻找规律时经常出现．例2中列出的方程是以x 为未知数的分式方程，其中v，s是已知常数，

根据它们所表示的实际意义可知，它们是正数．

三、应用提高、拓展创新

练习1 商场用50 000元从外地采购回一批T恤衫，由于销路好，商场又紧急调拨

18.6万元采购回比上一次多两倍的T恤衫，但第二次比第一次进价每件贵12元．求第一次购进多少件T恤衫．

练习2 八年级学生去距学校s km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了t

min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是学生骑车速度的2倍，求学生骑车的速度．

四、归纳小结

（1）借助分式方程解决实际问题时，应把握哪些主要问题？

（2）本节课的分式方程的应用方面应注意些什么？举例说明．

五、布置作业：

教科书习题15.3第6、7、8题．

教后反思：

单元复习教学设计

一、教学目标

知识技能：

1．以描述实际问题中的数量关系为背景，抽象出分式的概念，体会分式是刻画现实世界中数量关系的一类代数式.

2．类比分数的基本性质，了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则.

3．类比分数的四则运算法则，探究分式的四则运算，掌握这些法则.

4．结合分式的运算，将指数的讨论范围从正整数扩大到全体整数，构建和发展相互联系的知识体系．

5．理解分式方程的解法，讨论可以化为一元一次方程的分式方程，掌握这种方程的解法，体会解方程中的化归思想，结合分析和解决实际问题，提高学生应用数学的意识．

数学思考：学生在原有知识和经验的基础上，通过小组合作交流，掌握分式的相关知识，初步形成从特殊到一般的思维方式，在多种形式的数学活动中发展合情推理能力．经历知识的“再发现”过程，在探究活动的过程中培养学生分析问题、解决问题的能力能力，改变学生的学习方式．在发现法则的基础上，再运用这些法则解决问题，让学生在实践中对分式的知识有一个完整深刻的认识．

问题解决：通过对分式的学习让学生关注生活，学会观察，增强交流，培养学生利用分式的有关知识发现并提出问题的能力，尝试用不同的方法分析问题和解决问题．提高计算能力，体会解方程中的化归思想，提高运用知识和技能解决问题的能力,发展应用数学意识．

情感态度：能初步应用本章所学的知识解决简单的实际问题，在思考、分析和解决问题的过程中，认识数学严谨和应用广泛的特点，提高计算能力，体会数学的应用价值．在小组合作交流的探索过程中，勇于发表自己的见解，体验探究数学结论的乐趣．注重经历观察、推理、想象等探索过程，形成数学的应用意识．

二、重难点分析

教学重点：分式的基本性质是整章的中心与灵魂，是整章的重点，可类比小学所学过的分数的基本性质来理解分式的基本性质，解分式方程时需要验根,这也是分式方程与整式方程最大的区别,同时灵活的应用分式方程来解决现实生活中的实际问题才是我们学习的根本目的．

教学难点：虽然学生小学学过分数,但在由数向式的转化的过程中,学生依然会感觉到一定的难度,所以要多用类比的方法,解分式方程时要注意解题步骤,验根的环节不要丢掉,所以在突破难点时，要加强解分式方程的练习,另外以分式为工具,提高学生把实际问题转化为数学问题的能力,体现数学的建模思想,培养学生的创新精神．

三、学习者学习特征分析

学生在学本单元之前，学过分数及其相关性质，幂的相关知识以及一元一次方程，这都为学习本章知识打好了基础，因此在教学中主要采用用类比的方法从具体到抽象、从特殊到一般,从而掌握分式的相关知识.虽然学生小学学过分数,但在由数向式的变化过程中,学生依然会感觉到一定的难度,所以要多用类比的方法,解分式方程时要注意解题步骤,验根的环节不要丢掉,所以在突破难点时，要加强分式运算的练习,另外以分式为工具,提高学生把实际问题转化为数学问题的能力,体现数学的建模思想,培养学生的创新精神．

四、教学过程

（一）创设情境，引入新课

教师引导学生思考，在本单元的学习中自己感觉有哪些收获？

学生自由发言，阐述自己在学习本单元知识后有什么收获，学习到了哪些知识．其

中大部分的答案都是本节复习课中所要涉及到的，教师可以不用作具体的点评，待几个学生回答后可直接引入本节主题．

（二）知识点归纳

1.本单元知识体系：

教师首先给学生3－5分钟时间通览一遍教材，对本单元忽略的知识有一个总体的回顾，然后与学生一起归纳本单元的知识体系，以及本单元知识以哪些单元的内容为基础，又会对今后学习哪些单元的知识有铺垫作用.

(学生在本环节中，可能会出现不太理解通览教材的含义的情况，还尝试比较详细的进行阅读，教师要引导学生只回顾知识点，以提高通览的速度.设计意图：让学生按学习的时间顺序对本章的知识点大体回顾一下，便于后面归纳知识体系．)

本单元的知识可以从分式的意义和基本性质、分式的运算、分式方程的解法以及应用三个角度进行知识点的分类，教师可以从所学内容的特征出发，引导学生进行知识的归类.

在分式的意义和基本性质中，要掌握

1.分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0.

2.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，并利用其会找出最简公分母，进行分式的通分.

在分式的运算中，要掌握

1.分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.

2.分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.

3.分式的乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方.

4.分式的加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.

在分式方程的解法中，要掌握解分式方程的步骤:

1.方程两边同乘以最简公分母.

2.化为一元一次方程并求解

3.检验:把求得的解带入最简公分母中判断是否为0.

列分式方程解应用题的一般步骤:

1.审:分析题意,找出数量关系和相等关系.

2.设:选择恰当的未知数,注意单位和语言完整.

3.列:根据数量和相等关系,正确列出方程.

4.解:认真仔细解这个分式方程.

5.验:检验.（是否是分式方程的根，是否符合题意）

6.答:注意单位和语言完整.

本单元具体知识体系见下图：

2.本单元知识与其他单元知识之间的关系：

本单元的主要内容为分式的基本概念,分式的基本性质、分式方程的解法、分式方程的应用，本单元知识是以分数以及幂的相关知识为基础,通过类比的思想,从具体到抽象、从特殊到一般,形成了分式完整的知识体系.与整式形成了鲜明的对比.

3.本单元学习方法及对以后单元的启示：

在本单元中所采用的学习方法主要是用类比的方法从具体到抽象、从特殊到一般, 这种学习方法在数学学习中经常使用，要求学生主动思考、探索，从而得出结论，对以后的学习具有比较重要的提示作用．

（三）典型题归纳

例1：已知分式

1.当x为何值时，分式的值为零? 2.当x=-2时分式的值是多少? 解：(1)当分子等于零而分母不等于零时,分式的值为零. 则

x - 9=0 ∴

x = ±3

而

x-3≠０ ∴

x ≠ 3

∴当x = -3时分式的值为零.

(2）当x ＝ -2时，

例2.解：

=1

例3.解方程

方程两边都乘以 ( x – 2 ) , 约去分母，得

1 = x – 1– 3( x – 2)

解这个整式方程，得x = 2

检验：当 x = 2 时，x – 2 = 0

所以 2 是增根，原方程无解.

例4.农机厂到距工厂15千米的向阳村检修农机，一部分人骑自行车先走，过了40分钟，其余人乘汽车去，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车的3倍，求两车的速度.

分析：汽车所用的时间＝自行车所用时间－时

解：设自行车的速度为x千米/时，那么汽车的速度是3x千米/时，

依题意得：

解得 x=15

经检验，x=15是原方程的根，并符合题意

由x＝15得3x=45

答：自行车的速度是15千米/时，汽车的速度是45千米/时．

（四）思想方法归纳

在本单元中所采用的学习方法主要是用类比的方法从具体到抽象、从特殊到一般, 这种学习方法在数学学习中经常使用，要求学生主动思考、探索，从而得出结论，对以后的学习具有比较重要的提示作用．

五、学习评价

(一)选择题(共10题，每题有四个选项，其中只有一项符合题意。每题3分,共30分)

1.下列运算正确的是( )

（A）x÷x=x . （ B）x·x=x . （ C）x·x=x . （ D）(2x)=-8x. -4

2.一件工作,甲独做a小时完成,乙独做b小时完成,则甲、乙两人合作完成需要( )小时.

(A). (B). ( C). (D).

3.化简等于( )

(A). (B). (C) . (D).

4.若分式的值为零,则x的值是( )

(A)2或-2 . (B)2 . (C)-2 . (D)4.

5.不改变分式的值,把分子、分母中各项系数化为整数,结果是( )

(A). (B).(C). (D).

6.分式:①,②,③,④中,最简分式有( )

(A)1个. (B)2个 . (C)3个. (D)4个.

7.计算的结果是( )

(A) -. (B) . (C)-1 . (D)1.

8.若关于x的方程有解,则必须满足条件( )

(A) a≠b ，c≠d . (B) a≠b ，c≠-d . (C)a≠-b , c≠d . (D)a≠-b , c≠-d.

9.若关于x的方程ax=3x-5有负数解,则a的取值范围是( )

(A)a<3 . (B)a>3 . (C)a≥3 . (D)a≤3.

10.解分式方程

上

,分以下四步,其中,错误的一步是( ) (A)方程两边分式的最简公分母是(x-1)(x+1). (B)方程两边都乘以(x-1)(x+1),得整式方程2(x-1)+3(x+1)=6. (C)解这个整式方程,得x=1. (D)原方程的解为x=1.

(二)填空题(每小题3分,共30分)

11.把下列有理式中是分式的代号填在横线

．

(1)－3x；(2)；(3)；(4)－；(5) ； (6)；(7)－；

(8).

12.当a

时，分式

13.若x=有意义． -1,则x+x-1=__________.

14.某农场原计划用m天完成A公顷的播种任务,如果要提前a天结束,那么平均每天比原计划要多播种_________公顷.

15.计算的结果是_________.

16.已知u=(u≠0),则t=___________.

17.当m=______时,方程会产生增根.

18.用科学记数法表示:12.5毫克=________吨.

19.当x

时，分式的值为负数．

20.计算(x+y)·=____________．

(三)计算题:(每小题5分,共10分)

21.

(四)解方程:(5分)

;22.．

23.．

(五)列方程解应用题：(10分)

24.甲、乙两个工程队共同完成一项工程,乙队先单独做1天, 再由两队合作2天就完成全部工程,已知甲队与乙队的工作效率之比是3:2,求甲、

乙两队单独完成此项工程各需多少天？

(六)阅读理解题:(15分)

25.阅读下列材料:

∵,

,

……

,

,

∴

=

=

=

解答下列问题: .

(1)在和式中,第6项为______,第n项是__________.

(2)上述求和的想法是通过逆用________法则,将和式中的各分数转化为两个数之差,使得除首末两项外的中间各项可以_______,从而达到求和的目的.

(3)受此启发,请你解下面的方程:

答案及提示：

(一)选择题

1.B; 2.D; 3.A; 4.C; 5.D; 6.B; 7.A; 8.B;9.B;10.D. (二)填空题

11．⑵、⑸、⑹； 12．a≠-； 13．； 14．； 15．-2；

16． 17．-3

18．1.25×10

19．2＜X＜3

20．x+y．

-8

(三)计算题

21.解：原式==

===

22.解：原式=====

（四）解方程：

23.解：

方程两边相乘(x+3)(x-3)

x-3+2(x+3)=12

x-3+2x+6=12

3x=9

x=3 经检验：x=3是原方程的增根，所以原方程无解. （五）列方程解应用题： 24.解：设甲队、乙队的工作效率分别为3x,2x，则有

经检验x=是原方程的解，所以原方程解为x=

所以甲队工作效率为，乙队工作效率为，

所以甲队独做需4天，乙队独做需6天.

（六）阅读理解题：

25.⑴

⑵分式加减抵消

⑶解：

解得：

=-9,=2经检验x=2是原方程的解，所以原方程解为x=2