多边形的外角和教案设计（一等奖）

11.3.2

多边形的内角和(第2课时) 教学目标

1.使学生掌握多边形的外角和为360°. 2.使学生掌握多边形外角和，并灵活运用外角和进行简单的计算. 3.通过对“多边形外角和公式”的探究，培养学生分析问题、解决问题的能力，同时让学生充分领会数学转化思想. 4.通过变式练习，培养学生动手、动脑的实践能力. 5.通过公式的猜想、归纳、推断一系列过程，体验数学活动充满着探索性和创造性，培养学生对学习数学勇于创新的精神. 教学重点难点

重点：掌握多边形外角和是360°，并学会运用外角和进行简单的计算. 课前准备

多媒体课件

教学过程

导入新课

我们知道，三角形的内角和是180°，三角形的外角和是360°.得出三角形的外角和是360°有多种方法，如图1，你能说说怎样由外角与相邻内角互补的关系得出这个结论吗？

图1 证明：由

∠1 +∠BAE =180°，

∠2 +∠CBF =180°，

∠3 +∠ACD =180°，得

∠1 +∠2 +∠3 +∠BAE +∠CBF +∠ACD =540°. 由

∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°，得

∠BAE +∠CBF +∠ACD =540°-180°=360°. 你能按照上面的方法求四边形、五边形、六边形等多边形的外角和吗?

教师板书：多边形的外角和.

探究新知

图2 问题1：如图2，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和.六边形的外角和等于多少？

已知∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6分别为六边形ABCDEF的外角，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的值. 分析：看到外角问题我们马上就会联想到平角，这样我们就得到六边形的6个外角加上各自相邻的内角的总和为6×180°.由于六边形的内角和可求，这样就可求得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的值.

[来源学*科*网]

解：∵

六边形的任何一个外角加上与它相邻的内角都等于180°，∴

六边形的六个外角加上各自相邻内角的总和为6×180°.

由于六边形的内角和为(6-2)×180°=720°，

∴

它的外角和为6×180°-720°=360°. 问题2：教师：五边形的外角和等于多少度？四边形呢？仿照上面的方法试一试.

学生：学生分组讨论，并写出过程. 要求：类比求三角形、六边形的外角和的方法求出五边形的外角和是360°，四边形的外角和是360°(解答过程略). 教师：你能仿照上面的方法求出n边形的外角和吗？(n为不小于3的正整数) 学生活动

小组讨论，选代表发言.(教师进行指导，纠正后归纳) 学生分析：因为n边形的每个内角和与它相邻的外角是邻补角，它们的和是180°，所以n边形内角和加外角和等于n·180°，

所以，n边形的外角和为n·180°-(n-2)·180°=360°. 由此得到结论：多边形的外角和等于360°.

所以我们说多边形的外角和与它的边数无关. 对此，我们也可以像以下这样理解为什么多边形的外角和等于360°. 如图3，从多边形的一个顶点A出发，沿多边形的各边走过各顶点，再回到A点，然后转向出发时的方向，在行程中所转的各个角的和就是多边形的外角和，由于走了一周，所转的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于360°. [来源:Z&xx&k.Com]

图3

新知应用

请同学们小组讨论交流，看谁的方法又快又好！

例

已知多边形的每一个内角为150°，求这个多边形的边数.(要求学生用两种方法求解，学生先独自求解，然后教师讲评) 分析：利用多边形内角和公式与方程思想相结合，列出方程即可求出，或者利用外角和除以外角度数也可以求出多边形的边数. 解法1：设这个多边形的边数为n，

则(n-2)×180°=150°n，解得n=12. 经检验，符合题意. 答：这个多边形的边数为12. 解法2：360°÷(180°-150°)＝360°÷30°＝12. 答：这个多边形的边数为12. 总结：解法1利用内角和定理求；解法2利用外角和求. 注意：(1)启发学生找出等量关系.

(2)学生如何根据关系，列方程，求出其解(选一名学生登台解答). (3)师生共同评价.

课堂练习(见导学案“当堂达标”)

参考答案

1.(1)√

(2)×

(3)√

(4)×

(5)√

2.D

3.C

4.B 5.解：设这个多边形的边数为x，一个内角为α，

则有180°-α+(x-2)·180°-α=500°，

化简，得(x-2)·180°=320°+2α. 令320°+2α=k·180°，得α=90°k-160°. 由0°<α<180°得

[来源学科网][来源:学科网ZXXK]又k是整数，所以k=2或k=3.

当k=2时，x=4,α=20°；

当k=3时，x=5,α=110°. 所以这个多边形是四边形或五边形. 6.解：设这个n边形的外角为2x°,则内角为7x°. 由题意知2x+7x=180, 解得x=20. ∴

这个n边形的边数为360°÷40°=9. 7.解：设这个多边形的边数为n. 由题意得(n-2)·180°=3×360°, 解得n=8. ∴

这个多边形的边数为8. 8.解：设一个外角为x°,则内角为4x°. 由题意得x+4x=180, 解得x=36. ∴

360°÷36°=10. ∴

这个正多边形为正十边形.

课堂小结

1.通过这节课的学习，你收获了什么？

2.你对这节课还有什么困惑？

注意：多边形的外角和为360°，不因边数的变化而变化.

布置作业

教材第24页习题11.3第3题. 板书设计

11.3.2

多边形的内角和(第2课时) 1.三角形的外角和为360°. [来源学科网ZXXK]

2.多边形的外角和为360°. 例：

教学反思

本节的内容是多边形的外角和,教师在教学中要让学生尝试从不同的角度寻求解决问题的方法,并能有效地解决问题.在小组合作探究n边形外角和时,要充分注重探索的过程,让学生经历猜想、探索、推理、归纳等过程,体会数学的严谨性,培养学生的逻辑思维和解决问题的能力.