作轴对称图形名师教学实录

初中八年级数学上册

第十三章：轴对称——13.2：画轴对称图形

一：知识点讲解

知识点一：轴对称变换



轴对称变换定义：由一个平面图形得到与它关于某直线对称的图形的这一过程叫做轴对称变换。



轴对称变换性质：



由一个平面图形可以得到与它关于一条直线l对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同。



行图形上的每一点都是原图形上某一点关于直线l的对称点。



连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。

例1：如图，△DEF是由△ABC经轴对称变换得到的，对称轴为直线l。

1)

△DEF与△ABC全等吗？全等的两个三角形一定能经轴对称变换互相得到吗？

2)

分别找出点C、点B关于直线l的对称点，如果点M在△ABC内，那么点M关于直线l的对称点一定在△DEF内吗？

3)

连接BE，线段BE与直线l有怎样的关系？

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知识点二：画轴对称图形



画关于直线对称的图形的步骤：



找：在原图形上找特殊点（如线段的端点、线与线的交点等）；



作：作各个特殊点关于已知直线的对称点；



连：按原图对应连接各对称点。



作△ABC关于直线l对称的图形：



如上图，过点A作直线l的垂线，垂足为点O，在垂线上截取OAOA，点A就是点A关于直线l的对称点；



类似地，分别作出点B、C关于直线l的对称点B、C；



连接AB、BC、CA，得到的△ABC即为所求作的图形。

例2：如图所示，已知△ABC和直线MN，求作△ABC，使△ABC和△ABC关于直线MN对称。（不要求写作法）

知识点三：用坐标表示轴对称



关于x轴对称：点(a，b)关于x轴对称的点的坐标为(a，﹣b)。



关于y轴对称：点(a，b)关于y轴对称的点的坐标为(﹣a，b)。



在直角坐标系中作已知图形关于某直线成轴对称的图形的方法：

1)

写出坐标：写出对称点的坐标；

2)

描点：根据对称点的坐标描点；

3)

连接：按原图形对应连接所描各点得到所求作的图形。

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

横坐标相同，纵坐标互为相反数的两点关于x轴对称；横坐标互为相反数，纵坐标相同的两点关于y轴对称。



点(a，b)在平面直角坐标系中的对称点：



点(a，b)关于直线y＝x对称的点的坐标为(b，a)；



点(a，b)关于直线y＝﹣x对称的点的坐标为(﹣b，﹣a)；



点(a，b)关于直线x＝m对称的点的坐标为(2m－a，b)；



点(a，b)关于直线y＝n对称的点的坐标为(a，2n－b)。

例3：在直角坐标系中，已知P(﹣4a，7)、Q(8，b＋2)，根据条件，求出a、b的值。

1)

P、Q关于x轴对称；

2)

P、Q关于y轴对称。

二：知识点复习

知识点一：轴对称变换

1.

把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换。在自然界和日常生活中，大量地存在这种图形变换（如图）。结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换过程中，两个对应三角形（如图）的对应点所具备的性质是(

) A. 对应点连线与对称轴垂直

B. 对应点连线被对称轴平分

C. 对应点连线被对称轴垂直平分

D. 对应点连线互相平分

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2.

将一个四边形纸片依次按图①、②的方式对折，然后沿图③中的虚线裁剪成图④的样式。将纸片展开铺平，所得到的图形是(

)

A.

B.

C.

D.

知识点二：画轴对称图形

3.

如图，以虚线为对称轴画出相应图形的另一半。

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4.

如图，已知△ABC。

1)

画出△A1B1C1，使△A1B1C1和△ABC关于直线MN成轴对称；

2)

画出△A2B2C2，是△A2B2C2和△ABC关于直线PQ成轴对称；

3)

△A1B1C1与△A2B2C2成轴对称吗？若成，请在图上画出对称轴；若不成，说明理由。

知识点三：用坐标表示轴对称

5.

点A(a，b)关于x轴对称的点A的坐标为(

) A. (a，﹣b) C. (﹣a，﹣b) B. (﹣a，b) D. (b，a) 6.

已知点P(a－1，5)与Q(2，b－1)关于x轴对称，则a＋b＝

。

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三：题型分析

题型一：平面直角坐标系中的轴对称作图

例1：△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，A、B、C三点在格点上。作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标。

题型二：运用不等式组解决轴对称问题

例2：已知点P(2m－3，3－m)（m为整数）关于y轴对称的点在第二象限，则符合条件的点P有几个？

易错点一：不能利用轴对称的知识准确判断镜中图案

例3：小华在镜中看到身后墙上的时钟如下，你认为实际时间最接近8点的是(

) A.

B.

C.

D.

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易错点二：不能确定点P(a，b)关于直线x＝m或直线y＝n的对称点

例4：求P(2，4)关于直线x＝1对称的点的坐标。

四：习题

（一）：选择题

1.

如图，把一个正方形纸片折叠三次后沿虚线剪断得到①②两部分，则展开①后得到的是(

)

A.

B.

C.

D.

2.

把一张长方形纸片按如图①②的方式从右向左连续对折两次后得到图③，再在图③中挖去一个三角形小孔，则重新展开后得到的图形是(

)

A.

B.

C.

D.

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A. (﹣2，1) 3.

在平面直角坐标系中，将点A(﹣1，﹣2)向右平移3个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点B的坐标为(

) A. (﹣3，﹣2) B. (2，2) C. (﹣2，2) D. (2，﹣2) 4.

小莹和小博士下棋，小莹执圆子，小博士执方子。如图，棋盘中心方子的位置用(﹣1，0)表示，右下角方子的位置用(0，﹣1)表示。小莹将第4枚圆子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形。她放的位置是(

) B. (﹣1，1) C. 1(1，﹣2) D. (﹣1，﹣2) （二）：填空题

5.

已知点P(2a＋b，b)与P1(8，﹣2)关于y轴对称，则a＋b＝

。

6.

已知点P(3，﹣1)关于y轴的对称点Q的坐标是(a＋b，1－b)，则﹣ab的算术平方根为

。

（三）：解答题

7.

在平面直角坐标系中，直线l过点M(3，0)，且平行于y轴。如果△ABC三个顶点的坐标分别是A(﹣2，0)、B(﹣1，0)、C(﹣1，2)，△ABC关于y轴的对称图形是△A1B1C1，△A1B1C1关于直线l的对称图形是△A2B2C2，在如图所示的坐标系中画出△A2B2C2，并写出它的三个顶点的坐标。

8.

在如图所示的网格中：

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1)

画出△A1B1C1，使它与△ABC关于直线l1对称；

2)

画出△A2B2C2，使它与△A1B1C1关于直线l2对称；

3)

画出△A2B2C2与△ABC的对称轴。

9.

如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A(0，1)、B(3，2)、C(1，4)均在正方形网格的格点上。

1)

画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；

2)

将△A1B1C1沿x轴方向向左平移3个单位后得到△A2B2C2，写出顶点A2、B2、C2的坐标。

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10.

如图，△ABC在平面直角坐标系中，其中，点A、B、C的坐标分别为A(﹣2，1)、B(﹣4，5)、C(﹣5，2)。

1)

作△ABC关于直线l：x1对称的△A1B1C1，其中，点A、B、C的对应点分别为点A1、B1、C1（不要求写作法）；

2)

写出点A1、B1、C1的坐标。

11.

如图，在直角坐标系中，△ABO的顶点坐标分别为O(0，0)、A(2a，0)、B(0，﹣a)，线段EF两端点的坐标为E(﹣m，a＋1)、F(﹣m，1)（2a＞m＞a＞0），直线l∥y轴，交x轴P(a，0)，且线段EF与CD关于y轴对称，线段CD与MN关于直线l对称。

1)

求点N、M的坐标（用含m、a的代数式表示）；

2)

△ABO与△MFE通过平移能重合吗？能与不能都要说明理由，若能，请你写出一个平移方案（平移的单位数用m、a表示）。

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12.

已知点A1、A2、A3、……、An中，A1与A2关于x轴对称；A2与A3关于y轴对称；A3与A4关于x轴对称；A4与A5关于y轴对称；……

1)

如果A1在第二象限，那么点A100在第几象限？

2)

如果A1在第二象限，那么点A2015在第几象限？

3)

如果A1在第一象限，那么点A2017在第几象限？

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