习题训练教学实录

九年级复习课导学案：几何图形中的最值问题

第1课时

几何图形中的最短路径问题

学习目标：

1．理解求最值的“将军饮马问题”模型，明确解决最值问题的思考方向；

2．掌握动点最短路径的作图与相关计算；

3．经历最值问题的探求过程，体会化归、建模、方程等数学思想方法；

重点：探索动点最短路径问题的解决过程，提炼解决问题的“通性通法”. 难点：应用“通性通法”解决有关动点类最值问题.

一、自主梳理，初步感知

预***面图形中的最短路径问题

1.如图①，在直线上找一点P，使PA最小；

如图②，在直线上找一点P，使PA+PB最小；

如图③，在直线上找一点P，使|PA -PB|最大；

图①

图②

分别写出以上作图理论依据：

①

；

②

；

③

；

图③

2.(八上教材P93T15)如图，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮水，然后回到B处，请画出最短路径.

草地

河

二、活动探究，发现规律

活动1 如图2，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，

P是对角线

AC上一个动点，求PB+PE的最小值. 题型分析：单动点型，“最短路径问题”.

变式

（2016·福建）如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，

AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（

）

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4 思考：正方形，菱形都属于什么特殊对称图形？

活动2 如图，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，

PO=1，Q、R分别是OA、OB上的动点，

求△PQR的周长的最小值．

题型分析：双动点型，“将军饮马问题”.

变式1：∠AOB=30°，其他条件不变，则△PQR 的周长的最小值是多少？

变式2：∠AOB=60°，其他条件不变，则△PQR 的周长的最小值是多少？

变式3（2017·新疆）如图，点A(a,3)，B(b,1)都在双曲线y则四边形ABCD周长的最小值为（

）

A.52

B.62

C.21022

D.82

题型特征：双动点型，本质上属于“将军饮马问题”.

方法归纳：利用轴对称，根据“将军饮马问题”模型，画出取最值时的特殊位置，结合其他相关知识解决.体现化归与转化思想，化折为直，化曲为直策略.

3上，点C，D分别是x轴，y轴上的动点，x

三、巩固拓展，方法建构

活动3 (2015·达州)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半42轴上，∠AOC的平分线交AB于点D，E为BC的中点，已知A(0，4)、C(5，0)，二次函数y＝x＋bx5＋c的图象抛物线经过A、M、C两点．

(1)求该二次函数的表达式；

（2）P为对称轴上的动点，连接AP、MP，求使AP+MP取得最小值

时的P点坐标. 分析：求P点坐标可采用多种方法.

M 四、总结反思

优化学法

本节课通过解决动点最值问题的学习，在学习方法上你有什么收获？还有什么疑惑？涉及几何中的最值问题还有那些？

五、效果检测

提升能力

1.如图，在RtABC中，BAC90，AB3，BC5,EF垂直平分BC,点P为直线EF上任意一点，则PAB周长的最小值为 .

2.（2009·陕西）如图，在锐角ABC中，AB42，BAC45，BAC的平分线交BC于D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BMMN的最小值是

.

223.求代数式4x(12x)9的最小值.（本题供有兴趣的同学完成）

提示：运用数形结合思想，将此问题转化在平面直角坐标系中求PA+PB的最小值问题.需要建立几何模2型，使PA=4x2，PB=(12x)9成为两个直角三角形的斜边长，结合最短路径问题求最小值.