多边形的外角和教案教学设计

11.3 多边形及其内角和

一、教学目标

1．学习目标

（1）1.1.1 了解多边形及有关概念. （2）1.1.2 多边形对角线条数. （3）1.1.3 区别凸多边形与凹多边形，理解正多边形的概念. 2．学习重点

多边形对角线条数公式的推导. 3．学习难点

区别凸多边形与凹多边形，理解正多边形的概念. 二、教学设计

（一）课前设计

1．预习任务

（1）在平面内，由一些线段 首尾 相接组成的 封闭图形 叫做多边形.

（2）多边形 相邻两边 组成的角叫做多边形的内角. （3）多边形的边与它的邻边的

延长线

组成的角叫做多边形的外角. （4）连接多边形

不相邻

的两个顶点的线段叫做多边形的对角线. （5）

各个角

都相等，

各条边

都相等的多边形叫做正多边形. 任务2 （6）如图，五边形ABCDE有 5 条边，它们分别是

AB、BC、CD、DE、EA ;有 5 个内角，它们分别是

∠A、∠B、∠C、∠D、∠E .在下图中画出以A为端点的所有对角线. 该五边形一共有 5 条对角线.

ABEC2．预习自测

D

（1）下列图形中，是正多边形的是（ ）

1

A.直角三角形 B.等腰三角形

C.长方形 D.正方形

【知识点】正多边形概念

【解题过程】

A.直角三角形 有一个是直角，其它角不是.所以不是正多边形; B.等腰三角形 只有有两边相等.所以不是正多边形; C.长方形 四个角相等，但四条边不相等. 所以不是正多边形; D.正方形 四个角相等，四条边相等，

所以是正多边形. 【思路点拨】正多边形的边、角都要相等

【答案】D （2）六边形的对角线有（ ）

A.6条 B.3条 C.9条 D.8条

【知识点】多边形对角线条数公式

【解题过程】

解：6(63)9 2【思路点拨】运用多边形对角线条数的公式计算即可. 【答案】C

（二）课堂设计

1．知识回顾

（1）由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接成的封闭图形叫三角形. （2）三角形内角和为180°.

（3）三角形一边延长线和另一边的夹角叫三角形的外角.

2．问题探究

探究一

师问：看下面的图片，其中的房屋结构、蜂巢结构是由一些线段围成的什么图形？

2

学生通过预习和已有的生活经验能回答出五边形、六边形，教师顺势板书多边形概念. 多边形及有关概念：这种在平面内,由一些不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.

●活动① 多边形概念的剖析

师问：同学们，以上多边形的概念中关键词有哪些？

学生小组讨论，举手发言.说到一处，老师就用红色粉笔在黑板上标记一处. （1）同一平面（与三角形概念不相同的地方）；

（2）不在同一条直线上；

（3）首尾顺次相接；

（4）封闭. ●活动②

与多边形相关的概念 多边形的命名：多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形……、n边形. 这就是说，一个多边形由几条线段组成，就叫做几边形.三角形是最简单的多边形. 多边形的内角：与三角形类似地，多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角. 如图中的∠A、∠B、∠C、∠D、∠E. 多边形的外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.(一个顶点处有两个外角，它们是一组对顶角，是相等的.但在计算外角和时，一个顶点只选一个外角)如图中的∠1是五边形ABCDE的一个外角. 多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.

【设计意图】引导学生观察发现，从生活中抽象出多边形的模型，了解多边形的相关概念.同时在多边形概念上体会数学语言的严密性. 问题探究二 多边形对角线条数★

●活动① 动手操作，大胆猜想，从多边形的一个顶点可引多少条对角线? 3

师问：同学们，从一个顶点引对角线，四边形可画几条对角线？五边形可画几条对角线？六边形可画几条对角线？请同学们动手画图看看.（培养学生的动手操作能力）

你能猜想从一个顶点引对角线，n边形可引多少条对角线吗?(培养学生的观察分析能力，体现由特殊到一般的数学思维模式) ●活动②

集思广益，合作探究多边形共多少条对角线? 四边形共有几条对角线？五边形共有几条对角线？六边形共有几条对角线？你能猜想n边形有多少条对角线吗?说说你的想法. 因为从n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线， n个顶点共引n(n-3)条对角线，又由于连接任意两个顶点的两条对角线是相同的，被重复计算了.所以，n边形有n(n-3)条对角线. 2【设计意图】鼓励学生独立自主探究，让学生初步感受通过动手操作来掌握多边形对角线条数，在其探究过程训练学生严密的逻辑推理能力. 例1. 填空：

（1）十边形有________个顶点，________个内角，________个外角，从一个顶点出发可画________条对角线，它共有________条对角线．

（2）从多边形一个顶点出发画对角线将它分成了四个三角形，这个多边形是________边形．

【知识点】多边形相关概念和对角线条数

【解题过程】

（1）一个n边形有n个顶点，n个角，2n个外角，从一个顶点能画出(n－3)条对角线，共有n(n－3)2条对角线；将n = 10代入即可. （2）一个n边形从一个顶点可以引(n－3)条对角线，把n边形分成(n－2)个三角形，所以n－2＝4，n＝6，这个多边形是六边形．

4

【思路点拨】根据概念逐一填写，根据公式代入求值. 【答案】

（1）10 10 20 7 35 （2）六

问题探究三 ●活动① 凸多边形和凹多边形▲

师问：请同学们认真观察,下面的两个多边形有什么不同?

在图（1）中，画出四边形ABCD的任何一条边所在的直线，整个图形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫做凸四边形，这样的多边形称为凸多边形；而图（2）就不满足上述凸多边形的特征，因为我们画BD所在直线，整个多边形不都在这条直线的同一侧（某一条边所在的直线将多边形分成两部分），我们称它为凹多边形. 注意：今后我们讨论的多边形指的都是凸多边形.

●活动

正多边形的概念

我们知道，等边三角形、正方形的各个角都相等，各条边都相等，像这样各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形. 下面是正多边形的一些例子.

【设计意图】教师要求学生自己去解决这两个问题，可以通过讨论、交流的形式去解决，完成以后，教师可以随机地画几个多边形让学生进行凸、凹多边形的区分．对于正多边形的概念，关键让学生掌握住各边都相等，各角都相等，二者缺一不可．同时培养学生的动手实践和观察分析能力．

【例2】

下列说法正确的个数有(

)．

（1）各边都相等的多边形是正多边形；

5

（2）由四条线段首尾顺次相接组成的图形是四边形；

（3）各角都相等的多边形一定是正多边形；

（4）同一正多边形的各个外角都相等．

A．2

B．1

C．3 D．4 【知识点】正多边形的概念

【解题过程】

（1）不正确，各边都相等，各角也都相等的多边形才是正多边形，这两个条件必须同时具备，如菱形虽然四边都相等，但它不是正多边形；

（2）不正确，一是要在同一平面内，二是不能在同一条直线上；

（3）不正确，如长方形四个角都是直角，都相等，但边不一定相等，所以不是正多边形；

（4）正确，因为同一正多边形各个内角都相等，同顶点的内角与外角互为邻补角，所以各个外角也相等．故选B . 【思路点拨】强调边和内角都要相等的多边形才能判定其为正多边形. 【答案】B 3．课堂总结

【知识梳理】

（1）多边形相关定义. （2）n边形对角线条数公式：n(n-3). 2（3）凹、凸多边形的区别，正多边形的特点.

【重难点突破】

在对角线条数公式的探究过程中，从一个点能引几条对角线到所有点一共能引多少条对角线，从四边形、五边形、六边形共有几条对角线到n边形有多少条对角线，遵循了由点到面、由特殊到一般的研究路径，降低了学生的准入门槛. （三）课后作业

基础型

自主突破

1.分别画出下列各多边形的对角线,观察思考:四边形有_______条对角线, 五边形有_______条对角线. 6

CDEADCBAB

【知识点】多边形对角线条数

【解题过程】画图部分如下图: 四边形有 2 条对角线, 五边形有 5 条对角线. CDEDCB

【思路点拨】根据对角线定义,将不相邻的两定点做连接画出对角线. 【答案】2 ， 5 . 2.从六边形的一个顶点出发,最多可以引______条对角线，其对角线共有_____条； 【知识点】多边形对角线

【解题过程】6-3 = 3 ，6(63)9 2ABA【思路点拨】根据n边形的一个顶点可引对角线条数为：n-3和n边形对角线条

数公式：n(n3)，将n=6代入即可求出答案。2 【答案】3，9 3.下列图中不是凸多边形的是（

）

A B C D 【知识点】凸多边形与凹多边形辨析

【思路点拨】将多边形的每一条边都延长，被分割了的多边形就是凹多边形

【答案】C 4.若从多边形的一个顶点出发,最多可以引10条对角线,则它是( ) 7 ABCD

A.十三边形 B.十二边形 C.十一边形 D.十边形

【知识点】从n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线

【解题过程】n-3=10，n =13.

【思路点拨】用公式直接建立方程即可. 【答案】A 5.若一个多边形共有十四条对角线,则它是( ) A.六边形 B.七边形

C.八边形 D.九边形

【知识点】n边形对角线条数公式：n(n-3)2. 【解题过程】n(n-3)2=14

n = 7 【思路点拨】根据多边形对角线条数公式直接建立方程

. 【答案】

B 6.若一个多边形的边数增加１，它的对角线条数增加7，则它是( ) A.六边形 B.七边形 C.八边形 D.九边形

【知识点】n边形对角线条数公式：n(n-3)2

【解题过程】(n+1)(n+1-3)2-n(n-3)2=7

n

=8【思路点拨】用多边形对角线条数公式建立方程

【答案】C

能力型

师生共研

7. 若一个多边形的边数减少１，它的对角线条数减少8，则它是( ) A.八边形 B.十边形 C.九边形 D.十一边形

【知识点】n边形对角线条数公式：n(n-3)2

8

【解题过程】n(n3)(n1)(n13)8,n1022

【思路点拨】用多边形对角线条数公式建立方程

【答案】B

8.若多边形的边数与对角条数之比是2：3，求这该多边形的边数. 【知识点】n边形对角线条数公式：n(n-3)

2【解题过程】当n=4时，对角线条数是2；当n=5时，对角线条数是5；当n=6时，对角线条数是9；此时6：9=2：3. 所以该多边边数是6. 【思路点拨】由于学生还没有学习一元二次方程，用公式建立方程的做法还不能实施. 只有根据公式逐一算出多边形的对角线，再从计算结果中查找发现. 【答案】6

探究型

多维突破

9.过m边形的一个顶点有6条对角线，n边形没有对角线，求mn的平方根．

【知识点】多边形对角线条数

【解题过程】解：由题意可得m－3＝6，

∴m＝9，n＝3，

∴±mn＝±. 【思路点拨】根据题意求出对应的m

、n的值，再代入求值. 【答案】

10.过a边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，b边形有b条对条线.求(a-b)n的值? 【知识点】n边形对角线条数 【解题过程】

解：∵过a边形的一个顶点有7条对角线

∴a-3=7 即a =10 9

∵n边形没有对角线

∴n = 3 ∵b边形有b条对条线

∴b = 5 ∴(a-b)n=(10-5)3 = 53 = 125

【思路点拨】根据多边形对角线条数公式，和对角线条数有特殊性的多边形的理解. 【答案】125 自助餐: 1．下列图形中，是正多边形的是( ) A．直角三角形

B．等腰三角形 C．长方形 D．正方形

【知识点】正多边形的概念

【解题过程】

A．直角三角形，

不是

B．等腰三角形，

不是

C．长方形 四个角相等，但四条边不相等，

不是

D．正方形 四个角相等，四条边相等

， 是

【思路点拨】强调正多边形的每条边、每个角都相等

【答案】D 2．从n边形的一个顶点出发共有对角线( ) A．(n-2)条 B．(n-3)条 C．(n-1)条 D．(n-4)条

【知识点】多边形对角线条数

【思路点拨】除出发的顶点本身还有相邻两顶点外，和其它的每个顶点连接都可以成为一条对角线. 【答案】B

3.已知多边形的边数恰好是从这个多边形的一个顶点出发的对角线条数的2倍，求此多边形的边数．

【知识点】多边形对角线条数

【解题过程】解:n = 2(n-3) 10

n = 6 【思路点拨】根据对角线条数公式建立方程即可. 【答案】6.

4.过m边形一个顶点可引出6条对角线，n边形共有5条对角线，则mn=_____．

【知识点】n边形对角线条数 【解题过程】

解：∵过m边形的一个顶点有6条对角线

∴m-3=6 即m =9 ∵n边形共有5条对角线

∴n = 5 ∴mn=9×5=45 【思路点拨】根据多边形对角线条数公式，和对角线条数有特殊性的多边形的理解. 【答案】45 5．一个多边形的对角线的条数等于它的边数的4倍，求这个多边形的边数．

【知识点】n边形对角线条数公式：n(n-3)2

n(n-3)＝4n，∵n≥32【解题过程】解法一：解：设这是一个n边形，依题意得且为整数，∴n＝11. 解法二：

解：当n=4时，对角线条数是2；

当n=5时，对角线条数是5；

当n=6时，对角线条数是9；

当n=7时，对角线条数是14；

当n=8时，对角线条数是20；

当n=9时，对角线条数是27；

当n=10时，对角线条数是35；

11

当n=11时，对角线条数是44；

此时44÷11=4.所以该多边边数是11. 【思路点拨】由于学生还没有学习一元二次方程，用公式建立方程的做法还不能实施.只有根据公式逐一算出多边形的对角线，再从计算结果中查找发现. 【答案】11 6.网游《星际争霸》颇受网迷的青睐。作为网游工程师，在编程的过程中，

若有4个飞船相互射击，射击路线最多要设计多少条？

若有5个飞船相互射击，射击路线最多要设计多少条？

若有6个飞船相互射击，射击路线最多要设计多少条？

若有n个飞船相互射击，射击路线最多要设计多少条？

【知识点】多边形对角线条数

【解题过程】

如图: 若有4个飞船,相当于四边形的4个顶点，射击路线最多时是对角线条数和边数的总和.即要设计的射击路线条数是:4(4-3)+4=6

2

若有5个飞船,相当于五边形的5个顶点，射击路线最多时是对角线条数和边数的总和.即要设计的射击路线条数是:5(5-3)+5=102

若有6个飞船,相当于六边形的6个顶点，射击路线最多时是对角线条数和边数的总和.即要设计的射击路线条数是:6(6-3)+6=15

2

若有n个飞船，相当于n边形的n个顶点，射击路线最多时是对角线条数和n(n-3)n2-n+n=边数的总和.即要设计的射击路线条数是:22

12

【思路点拨】该题是对角线条数和边数的综合应用. 射击路线最多=对角线条数+边数. n2-n【答案】 6 ， 10， 15，

2

13