数学活动教学目标

课题学习

最短路径问题

一、课题题目设计意图分析

随着课改的深入，数学更贴近生活，更着眼于解决生产、经营中的问题，于是就出现了为省时、省财力、省物力而希望寻求最短路径的数学问题。初中数学中最短路径问题，体现了数学来源于生活，并用数学解决现实生活问题的数学应用性。

二、课题学习的教材分析

本课题是在学生学习了“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”的基础上，以“将军饮马问题”和“造桥选址问题”为背景，把实际问题转化为数学问题，借助轴对称、平移等变换把问题转化为“两点之间，线段最短”，并进行逻辑推理证明和应用。

第一课时 最短路径--将军饮马问题

一、教学目标

【知识与技能】

1．能把实际问题进行抽象，转化为数学问题。

2．能利用轴对称变换解决“将军饮马问题”最短路径。

【过程与方法】

让学生经历实际问题的数学化过程，运用所学知识解决问题的过程，培养学生解决问题的能力，掌握探索最短路径问题的思想和方法。

【情感态度与价值观】

在数学学习活动中获得成功的体验，树立自信心，激发学生的学习兴趣，

让学生感受到数学与现实生活的密切联系。21cnj

二、教学重、难点

教学重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“连点之间，线段最短”

问题。

教学难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题以及推理证明所求距离最短。

（一）创设情景 引入课题

、“连接直线外一师：前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”

点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．

现实生活中，我们常常涉及到选择最短路径问题，今天我们将利用大家前一阶段所学的知识解决生活中最短路径的实际问题。（板书课题后，出示图片）

让我们穿越时空，回归到遥远的古希腊，在古希腊的亚历山大城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦。有一天，一位将军专程来拜访海伦，求教一个他百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后回到驻地B处，问到河边的什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？精通数学、物理学的海伦稍加思索，就利用数学知识回答了这个问题，后来被称为“将军饮马问题”。同学们，如果你是海伦，怎么解决这个实际问题呢？

生：思考教师展示的问题，并观察图片，获得感性认识。

师：下面我们就来一起探究数学史上著名的“将军饮马问题”。

【设计意图】从生活中问题出发，唤起学生的学习兴趣及探索欲望. （二）自主探究 合作交流 建构新知

活动1：观察思考，动手画图，抽象为数学问题

追问1 这是一个实际问题，你打算首先怎么办？

（将A，B 两地抽象为两个点，将笔直河流l 抽象为一条直线）

学生回答后，动手画图

BAABllC

图1 图2 【设计意图】为学生提供参与数学活动的生活情境，培养学生的把生活中的问题转化为数学问题的能力. 追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？

师生活动：学生尝试回答，

并互相补充，最后达成共识：

（1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地； （2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地到饮马地点，再回到B 地的路程之和；

（3）现在的问题是怎样在直线l上找出一点，使它与A、B相连的线段长度之和为最短。设C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小（如图）．

（学生动手连线，老师强调将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”。）

【设计意图】：经历观察-画图-说理等活动，把实际问题数学化，感受几何的研究方法，培养学生的语言表达能力和逻辑思考能力。

活动2：教师启发引导，学生自主探究，尝试解决问题。

师：如图3，如果点A，B 在直线l 的异侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？

图 3 图4 （根据“两点之间，线段最短”可知，连接AB，与直线l的交点为所求。）

追问

现在需要解决的问题是：点A，B 在直线l 的同侧（如图4），点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB的和最小？

（启发引导）现在的问题与上一个问题有什么不同之处呢？你能利用轴对称的有关知识，把点B转化到直线l的另一侧B处吗？，并且直线l上任一点到B与B的距离相等。

师生活动：学生独立思考，画图分析，自主探究；教师巡视，对有困难的学生给予适当的帮助、提示。

【设计意图】通过启发引导，知识迁移，从而培养学生运用轴对称知识进行自主探究的能力，渗透“转化”的数学思想。

活动3 学生展示作法并进行解释。

【设计意图】培养学生运用数学语言的表达能力，树立自信心，增强成就感。

活动4 小组合作，科学论证，汇报成果。

师：怎样用推理的方式证明AC +BC最短呢？

生：合作学习，进行论证，最后汇报交流，展示成果。

【设计意图】培养学生的合作精神、逻辑推理能力和严谨的数学研究态度。

活动5 归纳总结，提炼方法。

1．把最短路径问题抽象为“线段和最小问题”. 2．直线上一动点到两定点的最短路径问题：

（1）两定点位于直线两侧，连接两定点与直线的交点为所求。

（2）两定点位于直线同侧，作出其中一定点关于直线的对称点与另一定点连接，和直线的交点为所求。

【设计意图】通过学生活动经验的积累，由经验生成规律，提高解决问题的能力。

活动6 巩固练习，学以致用。

练习

如图5，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返回P 处，请画出旅游船的最短路径．

图5 基本思路：由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线段PQ 为旅游船最短路径中的必经线路．将河岸抽象为一条直线BC，这样问题就转化为“点P，Q 在直线BC 的同侧，如何在BC上找到一点R，使PR与QR 的和最小”

【设计意图】通过练习，进一步巩固和加强把实际问题抽象为数学问题并能综合运用所学知识解决问题的能力，

（三）课外探究，拓展提高。

已知直线m、n交于点O，点P位置如图6所示，在直线m、n上分别找出一点A、B，使三角形PAB的周长最小。

图6 【设计意图】培养学生自主探究的能力，综合运用轴对称知识解决最短路径问题的能力，渗透类比和转化的数学思想。

第二课时 最短路径--造桥选址问题

一、教学目标

【知识与技能】

会利用平移变换解决“造桥选址问题”的最短路径问题．

【过程与方法】

让学生经历平移解决造桥选址问题的过程，培养学生解决问题的能力，掌握探索最短路径问题的思想和方法。

【情感态度与价值观】

在数学学习活动中获得成功的体验，树立自信心，激发学生的学习兴趣，

让学生感受到数学与现实生活的密切联系。21cnjy.com

二、教学重难点：

重点：应用所学知识解决最短路径问题。

难点：数形结合思想与数学建模思想的培养

三、教学过程：

活动一 回顾知识 感悟转化思想

1.如下图：

由A地到B地有三条路供选择，你会选择

线段AB

，理由是：

两点之间线段最短

。

2.回忆“将军饮马问题”，说一说你是用什么方法解决的？

【设计意图】学生通过回忆“将军饮马问题”的解决方法，体会运用轴对称变换可以把问题转化为“两点之间，线段最短”，感悟“转化”思想。

活动2 新知讲解 寻求方法

如图1,从A地到B地经过一条小河(河岸平行)，今欲在河上建一座与两岸垂直的桥，应如何选择桥的位置才能使从A地到B地的路程最短？

AAMNB图1 图2 1.理解题意，寻求解决问题的突破口。

师问：河上建的桥有要求吗？（桥与两岸垂直）

B 追问：桥与两岸垂直说明什么呢？（不论桥建在何处，桥的长度不变）

【解析】：不妨在河岸上任取一点M,作与两岸垂直的桥MN, 如图2所示，从A到B要走的路线为A→M→N→B，路程为AM＋MN＋BN,而桥长MN是定值，要使路程最短，只要AM＋BN最短即可。

2.引导学生思考，启发运用平移进行转化。

师问：如果线段AM与BN之间没有河流，也即是说河的两岸重合，会出现什么情况？（M与N重合，这时求AM＋BN最小值只需连接A、B即可）

追问：通过什么变换可以把M与N重合并且AM的长度不变呢？（平移，把线段AM沿MN方向平移MN个单位长度。）

教师作图分析: 把线段AM沿MN方向平移到CN的位置如图（3）

由平移可知，AM=CN,AC=MN,所以AM＋BN=CN＋BN, 求AM＋BN的最小值即是求CN＋BN的最小值，显然连接BC与河岸交于点P，在点P处建桥PQ, 如图（4）所示，此时从A到B要走的路线为A→Q→P→B, 路程AQ＋QP＋PB最短，

因为AM＋MN＋BN=CN＋MN＋BN= CN＋BN＋MN AQ＋QP＋BP=CP＋ AC＋BP

= CB

＋MN

CN＋BN＞CB

所以AM＋MN＋BN＞AQ＋QP＋BP

ACMACQMNPBNBco

图（3） 图（4）

【设计意图】通过对学生启发引导和教师的分析讲解，使学生理解平移变换在“造桥选址”的最短路径问题中所起的作用，从而渗透转化思想。 活动3. 分析归纳 总结建模

分析归纳：上面的解决方法中，AC等于河宽MN,AC可以看作是由MN平移得到的，也即是说从A到B先沿与河岸垂直方向走一个河宽AC，然后求从C到B的最短距离，如图（5）所示。

作图方法：(1)过点A作AC垂直于河岸，且使AC等于河宽．

(2)连接BC与河岸的一边交于点N. (3)过点N作河岸的垂线交另一条河岸于点M. 则MN为所建的桥的位置．

ACMNB

图（5）

总结建模：在解决造桥选址问题时，通常利用平移变换，把河岸两侧两点中的任一点沿与河岸垂直方向向河岸平移一个河宽，把已知问题转化成“两点在直线两侧的最短路径问题”，从而作出所建的桥的位置。

【设计意图】通过分析归纳，提炼出

“造桥选址问题”的最短路径模型，便于学生掌握运用。 活动4：运用模型 巩固提高

问题：如果A、B两地之间有两条平行的河，如图6所示，要建的桥都是与河岸

垂直的，应如何选择桥的位置才能使从A地到B地的路程最短？

AB图6

1.

让学生回忆“造桥选址问题”的模型，独立思考问题的解决方法。

2.

小组讨论，合作完成，

3.

老师巡视，参与讨论，启发引导，释疑解难。

4.

最后交流展示。

方法1：如图7，可以将点A沿与河垂直的方向平移两个河宽分别到A1、A2，路径中两座桥的长度是固定的．为了使路径最短，只要A2B最短．连接A2B，交第二条河流河岸于Q，在此处造桥PQ；连接A1P，交第一条河流河岸于N，在此处造桥MN．所得路径AMNPQN最短。1·cn·jy·co

A1A2AMNPQBA1AMNPQB1B

图7 图8 方法2：此题还可以用以下方法来确定建桥位置．

如图8，将点A沿与第一条河流垂直的方向平移一个河宽到A1，将B沿与第二条河垂直的方向平移一个河宽到B1，连接A1B1与两条河分别相交于N、P，在N、P两处，分别建桥MN、PQ，所得路径AMNPQB最短．

活动5 课堂小结 感悟思想

“造桥选址”的最短路径问题解决方法什么？

1.

通过最短路径问题的学习，你受到的什么启发与感悟？

【课外延伸 拓展探究】（任选一题）

1．如图9，如果A、B之间有三条平行的河流，要建的桥都是与河岸垂直的，桥造在何处可使从A到B的路径最短？如果A、B之间有四条平行的河流呢？五条呢？

AB图9

2.

如图10，如果A、B之间有两条不平行的河流，要建的桥都是与河岸垂直的，桥造在何处可使从A到B的路径最短？

AB图 10