多边形的外角和名师教学实录

八年级数学·上 新课标[人] 11.3

多边形及其外角和

1.掌握多边形的有关概念,能根据公式求多边形的内角和.

2.理解和掌握正多边形的概念,了解其特点.

3.能确定多边形的对角线.

1.通过对多边形概念的探究,使学生体会从特殊到一般的认识问题的方法.

2.让学生通过探索多边形的内角和与外角和,尝试从不同角度寻求解决问题的方法,并能有效地解决问题.

通过学生间的交流、探索,进一步激发学生的学习热情与求知欲望,养成良好的数学思维品质.

【重点】

1.多边形的有关概念.

2.多边形的内角和与外角和.

【难点】

多边形内角和与外角和的推导与应用.

11.3.1

多边形

1.正确识别多边形及其顶点、边、内角、外角、对角线,而且牢固掌握这些概念.

2.能够对多边形进行分类,并且了解正多边形的相关概念.

3.掌握多边形对角线条数计算公式,并进行简单的应用.

经历直观感知→探索归纳→应用创新的认知过程,建立多边形的有关概念,加深对图形的认识与感受,培养学生由具体到抽象进行归纳概括的能力.通过动手操作、探究思考、交流互动,培养学生的实践能力、协作能力及创新意识.

体验数学与现实生活的紧密联系,培养学生的参与意识和集体主义观念,激发学生学习数学的兴趣与热情.

【重点】

1.多边形的有关概念:多边形的边、内角、外角、顶点、对角线.

2.多边形对角线条数公式.

【难点】

1.归纳得到多边形对角线条数公式.

2.灵活运用多边形的对角线条数公式进行计算.

【教师准备】

多媒体课件(1~4).

【学生准备】

学习卡、练习纸.

导入一:

复习,提出以下问题: (1)什么是三角形? (2)与三角形有关的线段有哪些? (3)与三角形有关的角有哪些? 学生抢答,教师指导点评,通过类比教学,由三角形的概念推出四边形的概念.

导入二:

多媒体(课件1)展示,生活方面、建筑方面等的图片(包含一个或多个明显的多边形).

【问题】

请学生观察图片,在图中能找出哪些多边形? 【学生活动】

观察图形,然后交流,发表看法.

【教师活动】

长方形、正方形、平行四边形等都是四边形,还有边数很多的图形,它们在日常生活、工农业生产中都有应用.引出本节课课题:多边形.

[设计意图]

为了激发学生的学习兴趣,开拓学生视野,培养学生的审美情趣,呈现了包含大量多边形的图片,请同学们观察、讨论、分析,把学生思维的兴奋点和活跃点引到图形上来,形成多边形的概念.

一、多边形的定义

[过渡语]

根据三角形的定义,如何给多边形下一个定义呢?大家讨论后进行总结.

思路一

【师生活动】

学生边观察图片边讨论,教师引导学生回忆三角形的定义,并仿照三角形的定义给多边形下定义.如果学生回答不完整、不准确,老师给予指正、鼓励.最后板书定义.

多边形:在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.

【教师质疑】

在定义中,为什么要有“在平面内”这一条件呢? 教师展示空间图形给予解释.

【追问】

多边形按组成它的线段的条数可以分成三角形、四边形、五边形……如果一个多边形由n条线段组成,那么这个多边形就叫做n边形.

[设计意图]

让学生类比三角形的定义给多边形下定义,感悟类比方法的重要作用.

思路二

问题1 观察下列图片,它们由哪些基本图形组成?

问题2 你能说出生活中的多边形吗? 教师利用投影出示图片,学生观察图片并进行讨论、交流,之后学生自由发言.这一过程中教师应当关注学生能否积极地参与到活动中,是否能认真观察、敢于发言.最后教师指明相关的概念.

多边形:在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.按组成多边形线段的条数分为三角形、四边形、五边形……如果一个多边形由n条线段组成,那么这个多边形叫做n边形.

【教师说明】

我们知道,三角形中有三条线段,多边形中有不止三条线段,其定义中还加了一个条件“在平面内”,这是因为三角形中的三个顶点肯定都在同一平面内,而四点、五点甚至更多的点就有可能在同一平面内,也有可能不在同一平面内,而我们初中阶段主要探讨的是平面图形,所以应在前面加上条件“在平面内”.

对于定义应抓住以下四点:①在同一平面内;②一些线段;③首尾顺次相接;④封闭图形.

[设计意图]

让学生认识生活中的多边形,感受数学与生活的联系.让学生自由发言,培养学生敢于展示自我,敢于自我肯定的意识.

二、多边形的相关概念

[过渡语]

在三角形中,我们专门研究了它的内角、外角,类似地,你能结合下图(课件2)指出这个多边形的内角和外角吗? 【学生活动】

学生观察老师给出的图形,然后思考回答.∠A,∠B,∠BCD,∠D,∠E,∠F是六边形的内角,∠DCM是六边形的一个外角.

教师进而指出,多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角,多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.

[设计意图]

让学生了解多边形的概念,并通过类比的方法,了解多边形的内角、外角.

【问题】

连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做对角线,如右图(课件3)所示,CF为对角线,那么从六边形的一个顶点出发可以得到几条对角线呢?六边形一共有多少条对角线?

【师生活动】

教师介绍对角线的概念,学生通过画图、自主思考、讨论交流等总结n边形对角线的条

-

数计算公式为.

[知识拓展]

多边形的有关问题都是将多边形转化为三角形问题来解决的,体现了转化的思想方法.从多边形的一个顶点出发引对角线时,这个顶点和相邻的两个顶点不能引对角线,那么还剩下(n-3)个顶点,就能引出(n-3)条对角线,从而得出结论:从n边形的一个顶点出发可以引出(n-3)条对角线.从一个顶点出发可以引出(n-3)条对角线,有n个顶点,共有n(n-3)条对角线,但每条对角线都多计算一次,所以n边形对角线的条数为

-

.

[设计意图]

让学生了解对角线的概念,通过画出从一个顶点出发的六边形的对角线,为研究n边形的内角和作铺垫.

三、多边形的分类

[过渡语]

你能说出下图(课件4)中两个四边形的异同点吗? 【师生活动】

教师引导学生分析得出:图(1)中,画出四边形ABCD的任何一条边所在的直线,整个四边形都在这条直线的同一侧;图(2)中,画出边CD所在的直线,整个四边形不都在这条直线的同一侧.教师介绍,学生总结,得出凸多边形和凹多边形的定义.

凸多边形:画出多边形的任何一条边所在的直线,如果整个多边形都在这条直线的同侧,那么这个多边形就是凸多边形.

凹多边形:画出多边形的某一条边所在的直线,如果整个多边形不都在这条直线的同侧,那么这个多边形就是凹多边形.

【教师活动】

在黑板上画一个凸多边形和一个凹多边形,展示并解析.

【学生活动】

任意画一个多边形,并判断属于哪一类多边形.

[设计意图]

让学生了解凸多边形的概念,使学生明确以后学习中只讨论凸多边形.

四、认识正多边形

[过渡语]

正方形的边长、内角有什么特点,你能给正多边形下一个定义吗? 【多媒体展示】

正三角形、正方形、正五边形等.

【师生活动】

学生回答,师生共同总结.

正多边形:各个角都相等,各条边都相等的多边形叫做正多边形.

[设计意图]

让学生类比正方形学习正多边形,提高学生的学习能力.

若一个正六边形的周长为36 cm,请求出它的边长.

〔解析〕

正六边形的特点是有六条边,每条边都相等.

解:因为正多边形的边长相等,所以正六边形的六条边都相等, 所以边长为36÷6=6(cm).

[解题策略]

本题考查的是正多边形的性质,能够熟记正多边形的特征是解题关键.

若一个多边形自一个顶点引对角线可把它分割为六个三角形,则这个多边形是几边形? 解:设该多边形的边数为n,因为n边形过一个顶点有(n-3)条对角线,它们把n边形分割成了(n-2)个三角形,所以n-2=6,解得n=8, 所以这个多边形是八边形.

[解题策略]

解答此类问题可以运用对角线条数计算过程进行分析,也可以画图形进行考虑,明确对角线是不相邻顶点之间的线段,所以n边形由一个顶点出发可作(n-3)条对角线,即可分为(n-2)个三角形.

本节课学习的主要内容有:

-

1.多边形的定义、内角、外角、对角线等概念,n边形对角线条数的计算公式:2.多边形的分类.

3.正多边形的定义及性质.

.

1.在下列图形中,∠1是多边形外角的是 (

)

解析:根据外角的定义可知,外角是多边形的边与邻边的延长线组成的角,选项A中∠1是两边延长线的夹角,选项B中∠1的一边不是多边形一边的延长线,选项C中∠1是多边形的内角.故选D.

2.若从一个多边形的一个顶点出发,最多可以引10条对角线,则它是

(

)

A.十三边形

B.十二边形

C.十一边形

D.十边形

解析:因为从n边形的一个顶点出发引对角线,最多可引(n-3)条,所以n-3=10,解得n=13.故选A.

3.七边形的对角线共有

(

)

A.42条

C.21条

B.28条

D.14条

解析:因为从七边形的一个顶点出发会有4条对角线,共有7个顶点,所以共作28条对角线,由于重复,所以七边形共有14条对角线;或者利用公式求解.故选D.

4.要使五边形木架(用5根木条钉成)不变形,至少需要钉木条 (

) A.1根

B.2根

C.3根

D.4根

解析:根据三角形的稳定性进行判定,所以从五边形的一个顶点出发作对角线即可.故选B.

5.过一个多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成5个三角形,则这个多边形的边数为

(

) A.5 B.6 C.7 D.8 解析:从n边形的一个顶点出发引对角线,可把该n边形分割为(n-2)个三角形,所以n-2=5,解得n=7.故选C.

11.3.1

多边形

一、多边形的定义

二、多边形的相关概念

三、多边形的分类

四、认识正多边形

一、教材作业

【必做题】

教材第21页练习第1,2题.

【选做题】

教材第24页习题11.3第1题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.已知从一个多边形的一个顶点出发最多可以引出3条对角线,则它是 (

)

A.五边形

B.六边形

C.七边形

D.八边形

2.下列图形中,不是凸多边形的是

(

)

3.一个多边形共有9条对角线,那么这个多边形的边数是

.

【能力提升】

4.从一个正方形的一角截去一个三角形后,得到的多边形是

.

5.如图所示,从边长为9的等边三角形纸板中剪去三个小等边三角形,会得到一个正六边形,则这个正六边形的周长是多少? 【拓展探究】

6.为了美化环境,需要在一块正方形(如图所示)空地上分别种植四种不同的花草,现将这块空地按下列要求分成四块:(1)四块图形形状相同;(2)四块图形面积相等.试一试.

【答案与解析】

1.B(解析:因为n边形从一个顶点出发最多引(n-3)条对角线,所以n-3=3,所以n=6.) 2.C(解析:根据凸多边形的定义可知,经过多边形任意一边作直线,其余部分都在这条直线同侧,则此多边形为凸多边形.)

-

3.6(解析:根据n边形对角线条数的计算公式求解.) 4.三角形、四边形或五边形(解析:一共有三种情况.) 5.解:因为剩余的部分为正六边形,所以每条边都相等,所以三个小等边三角形的边长与正六边形的边长都相等,所以正六边形的边长为3,周长为18.

6.解:如下图所示,答案不唯一.

在教学过程中,教学设计由浅入深,从最简单的三角形入手,认识多边形,让学生动手操作,观察图形,加强了学生的推理能力,并注重细节和总结.在总结的同时,也引出了下个问题“探索n边形的对角线”,如此一环扣一环,许多学生情趣很高,积极操作.

在探究多边形对角线条数的计算公式时,教师没有进行引导,而是让学生小组去探究,没有对问题进行必要的分解,导致学生在探究的过程中很难得到正确的结论.

在教学多边形对角线条数的公式时,要细化问题,把问题进行分解,再让学生根据老师提出的问题进行讨论、交流.另外,在教学正多边形时,教师最好采用自主学习的方式,充分发挥学生的阅读能力和理解能力.

练习(教材第21页)

1.解:如图所示.

2.解:四边形的一条对角线将四边形分成两个三角形,从五边形的一个顶点出发,可以画出两条对角线,它们将五边形分成三个三角形.

本节课是对三角形的进一步延伸和探讨,通过这节课的学习,能让学生了解生活中的很多事情都与数学有着密不可分的关系,能让学生在学习的过程中充分体会数学的魅力,能让学生学会在观察、操作、想象、交流等活动中认识图形、了解图形,能初步让学生感受到学习几何的基本思维方法,对今后建立空间观念,发展几何直觉有着相当重要的指导作用.这节课也体现了新教材重视内容的呈现方式,为学生提供了“现实的、有意义的、富有挑战性的”学习资料,增加学生的直观感受,突出“学生是学习的主体,教师是教学活动的设计者和组织者”这一理念.

过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成8个三角形,则这个多边形的边数是

.

〔解析〕

经过n边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成(n-2)个三角形,根据此关系式求边数.设该多边形有n条边,则n-2=8,解得n=10,所以这个多边形的边数为10.故填10.

〔解题策略〕

解决此类问题可根据多边形过一个顶点的对角线的条数与分成的三角形的个数的关系列方程求解.

11.3.2

多边形的内角和

1.理解多边形内角和公式的推导过程,并掌握多边形的内角和与外角和公式.

2.灵活运用多边形的内角和与外角和定理解决有关问题.

1.经历猜想、探索、推理、归纳等过程,发展学生合情推理的能力和语言表达能力,掌握化复杂为简单,化未知为已知的思想方法.

2.通过化多边形为三角形,体会转化思想在几何中的运用,体会从特殊到一般的认知方法.

通过学生间交流、探索,进一步激发学生的学习热情和求知欲,养成良好的数学思维品质.

【重点】

探索多边形的内角和及外角和公式.

【难点】

推导多边形的内角和与外角和公式,灵活运用公式解决简单的实际问题.

【教师准备】

多媒体课件(1~5).

【学生准备】

直尺、练习纸.

导入一:

(多媒体课件1展示) 【问题1】

你还记得三角形内角和是多少吗? 【师生活动】

学生思考并回答问题,教师提出问题并对学生的回答进行总结.

三角形内角和定理:三角形内角和是180°.

【问题2】

正方形、长方形的内角和是360°,那么任意一个四边形的内角和是否等于360°呢?能证明你的结论吗?

【师生活动】

学生在独立探究的基础上,分组交流、探讨,汇总解决问题的方法.教师深入小组参与活动,指导、倾听学生交流,可以在测量、拼图的基础上引导学生利用添加辅助线的方法把四边形转化为三角形.

[设计意图]

从学生熟悉的、已知的特例出发,建立起四边形和三角形之间的联系,为提出一般问题做好铺垫.通过连接四边形的对角线,将四边形分割成两个三角形,得出四边形内角和等于两个三角形内角和,这个环节渗透了将复杂图形化为简单的基本图形的化归思想.

导入二:

1980年,著名美籍华人陈省身教授在北京大学一次讲学中语惊四座:“人们常说,三角形内角和是180°,这是不对的!”大家愕然,怎么回事?接着,这位教授对大家的疑问给出了精辟的解答:“三角形的内角和为180°不对,不是说这个事实不对,而是说这种看问题的方法不对,应当说三角形的外角和为360°!”

把眼光盯住内角,那么三角形内角和为180°,四边形内角和、五边形内角和、…、n边形的内角和分别是多少呢? [设计意图]

通过实际情境导入新课,引发学生学习兴趣,引导学生从另一个角度思考问题.

一、探究五、六边形内角和

[过渡语]

在解决四边形的内角和时,连接了对角线,你知道连接对角线起到了什么作用吗? 【教师讲解】

将四边形分割成两个三角形,进而将四边形的内角和问题转化为两个三角形所有内角和的问题.

问题

类比前面的过程,你知道五边形的内角和是多少吗?六边形呢?十边形呢?你是怎么得到的呢? 【学生活动】

先独立思考每个问题再分组活动,最后总结如下图(课件2).

【教师活动】

教师深入小组,并参与小组活动,及时了解学生情况.

从五边形的一个顶点出发可以作2条对角线,将五边形分割为三个三角形,得到五边形的内角和为(5-2)×180°=540°,六边形的内角和为(6-2)×180°=720°.教师进一步启发学生从顶点或边或多边形内部分割多边形,进而得到多边形的内角和.

[设计意图]

将研究方法进行迁移,明确边数、从一个顶点引出的对角线条数、分割的三角形数、内角和之间的关系,为进一步探究多边形内角和奠定基础.

二、探究多边形内角和计算公式

[过渡语]

你能从四边形、五边形、六边形的内角和的探究过程获得启发,发现多边形的内角和与边数的关系吗?能证明你发现的结论吗? 问题

你知道n边形的内角和吗? 【学生活动】

学生在独立思考的基础上分组活动,推导出n边形可以转化为(n-2)个三角形,发现和概括出边数与内角和之间的关系,归纳总结n边形的内角和公式,即(n-2)·180°.

【教师活动】

教师和学生相互交流,共同归纳总结.

多边形的内角和定理:n边形内角和等于(n-2)·180°.

[过渡语]

我们已经知道多边形的内角和公式,那么怎样运用定理解答问题呢?

(课件3:教材例1)

如果一个四边形的一组对角互补,那么另一组对角有什么关系?

〔解析〕

由多边形的内角和公式可知四边形的内角和为360°,若其中两个角的和为180°,则可得到另两个角的和也为180°.

解:如图所示,四边形ABCD中,∠A+∠C=180°.

因为∠A+∠B+∠C+∠D=360°, 所以∠B+∠D=180°.

所以说,如果四边形的一组对角互补,那么另一组对角也互补.

[设计意图]

让学生体会从具体到抽象的研究问题的方法,感悟化归思想的作用.

三、探究多边形的外角和

思路一

问题

你能求出六边形的外角和等于多少吗? 【投影】

(课件4:教材例2)在六边形的每个顶点处各取一个外角,这些外角的和叫做六边形的外角和.六边形的外角和等于多少? 【教师活动】

教师板图六边形,画出它们的内角和外角,辅助学生理解和探索,并提出三个问题: (1)任何一个外角同与它相邻的内角有什么关系? (2)六边形的6个外角加上与它们相邻的内角,所得总和是多少? (3)上述总和与六边形的内角和、外角和有什么关系? 【学生活动】

观察图形,思考这三个问题,然后尝试解答.

【解答】

六边形的任何一个外角加上与它相邻的内角,都等于180°,6个外角连同它们各自相邻的内角,共有12个角,这些角的总和等于6×180°.这个总和就是六边形的外角和加上内角和,所以外角和等于6×180°-(6-2)×180°=2×180°=360°.

问题

请探究总结多边形的外角和.

【学生活动】

学生分组交流、探究、总结多边形的外角和.

【教师活动】

教师进行指导、点拨,最后确定定理.

多边形的外角和:多边形的外角和等于360°.

[知识拓展]

多边形内角和与外角和的作用:(1)内角和公式的作用:①已知边数,求内角和;②已知内角和,求边数.(2)外角和定理的作用:①已知各相等外角度数,求多边形边数;②已知多边形边数,求各相等外角的度数.

[设计意图]

通过多边形内角和定理和平角的性质得到多边形的外角和为360°,运用转化思想解决问题.同时也能培养学生思考问题的方法和思维角度,提升学生分析问题和解决问题的能力.

思路二

1.想一想:什么叫做三角形的外角?三角形的外角有几个? 【学生回答】

三角形的一边与另一边的延长线所成的角叫做三角形的外角.三角形有6个外角.

2.(课件5:多媒体演示)米老鼠沿五边形广场按逆时针方向跑了一圈,提出问题: (1)米老鼠由一条街道转到下一条街道时,身体转过的是哪个角? (2)当米老鼠跑完一圈后,身体转过的角度之和是多少度? 学生观察、思考、交流.

(1)多媒体演示加强直观效果,得出米老鼠身体转过的角是五边形的外角,这五个角的和是五边形的外角和.你能给多边形的外角和下个定义吗?

类比五边形的外角和定义得到:在一个多边形的每个顶点处取这个多边形的一个外角,它们的和叫做这个多边形的外角和.

(2)提问:三角形的外角和是360°的解决思路是什么?

学生小组交流后回答:

(1)先求出三个外角与三个内角,这六个角的和为三个平角的和;(2)再用三个平角的和减去三角形的内角和,剩下的就是三角形的外角和了.

3.动脑筋:四边形的外角和为多少度? (1)组织学生画图说明.

(2)画任意四边形ABCD,在每个顶点处任取一个外角,如∠1,∠2,∠3,∠4.如何用四边形的内角和求出它的外角和? 【学生交流】

因为∠1+∠DAB=180°,∠2+∠ABC=180°,∠3+ ∠BCD=180°,∠4+∠ADC=180°,又∠DAB+∠ABC+∠BCD+∠ADC=360°,所以∠1+∠2+∠3+∠4=4×180°-360°=360°.所以四边形的外角和为360°.

4.填表.

名称

图形

外角和

三角形

四边形

五边形

六边形

…

…

…

(1)猜想多边形的外角和是多少度? (2)你能证明这个结论吗? 教师引导学生进行证明.

【归纳】

多边形的外角和等于360°.

1.多边形的内角和、外角和公式是计算多边形的角和边数的重要依据.在计算中注意方程思想的应用,尤其是计算边数时.

2.由内角和公式可以看出多边形每增加一条边,其内角和会增加180°.

3.在利用内角和公式(n-2)×180°求边数时,先不要去括号,而把(n-2)看成一个整体,先求(n-2)的值,再求n的值.

4.如果多边形的每个内角都相等,通常可从内角和、外角和及内角与外角之间的互补关系等不同角度采用不同的方法求解.

1.一个多边形的每个外角都等于30°,则这个多边形为

边形.

解析:因为多边形的外角和为360°,每个外角都等于30°,所以360÷30=12,所以这个多边形为十二边形.故填十二.

2.一个多边形的每个内角都等于135°,则这个多边形为

边形.

解析:可设该多边形的边数为n,则135n=(n-2)·180,解得n=8,所以这个多边形为八边形.故填八.

3.四边形ABCD中,∠A+∠B=210°,∠C=4∠D,求∠C和∠D的度数.

解:因为四边形的内角和为360°,所以∠A+∠B+∠C+∠D=360°,又因为∠A+∠B=210°,所以∠C+∠D=150°,而∠C=4∠D,所以4∠D+∠D=150°,解得∠D=30°,∠C=120°.

11.3.2

多边形的内角和

一、探究五、六边形内角和

二、探究多边形内角和计算公式

三、探究多边形的外角和

一、教材作业

【必做题】

教材第24页练习第1,2,3题.

【选做题】

教材第24页习题11.3第4,5,6题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.在下列度数中,不能成为多边形的内角和的是

(

) A.700°

B.720°

C.900°

D.1080°

2.正八边形的每个内角为

(

) A.120°

C.140°

B.135°

D.144°

3.若多边形的内角和为1260°,则从一个顶点出发,引对角线的条数是

条.

4.若一个多边形的内角和与外角和之比是9∶2,则这个多边形是

边形.

【能力提升】

5.如图所示,四边形ABCD中,∠A+∠B=222°,且∠ADC,∠DCB的平分线相交于点O,求∠COD的度数.

6.如图所示,计算∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度数. 【拓展探究】

7.任何一个凸多边形的内角中,为什么不能有4个或4个以上的锐角? 【答案与解析】

1.A(解析:根据n边形的内角和为(n-2)·180°可知多边形的内角和能被180整除,因为700不能被180整除,所以A选项正确.故选A.) 2.B(解析:因为多边形的外角和为360°,正八边形的每个内角都相等,所以每个外角为360°÷8=45°,所以每个内角为135°.故选B.) 3.6(解析:因为内角和为1260°的多边形是九边形,所以从一个顶点出发,引对角线的条数是9-3=6条.) 4.十一(解析:设该多边形的边数为n,根据题意列式为(n-2)180°∶360°=9∶2,解得n=11.) 5.解:因为四边形的内角和为360°,∠A+∠B=222°,所以∠ADC+∠BCD=138°,因为DO平分∠ADC,CO平分∠BCD,所以∠ODC+∠OCD=69°,所以∠COD=111°.

6.解:因为三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和,所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度数等于四边形的外角和,即360°.

7.解:假设有4个或4个以上的锐角,那么与这些锐角相邻的外角都为钝角,所以这些外角的和将大于360°,这与多边形外角和等于360°相矛盾,所以假设不成立,所以任何一个凸多边形的内角中,锐角不能有4个或4个以上.

本节课由四边形内角和引入,通过对四边形内角和的探究过程的操作和理解,进而引申到对五边形、多边形内角和的探究.整节课充满着“自主、合作、探究、交流”的教学理念,营造了发挥思维想象的空间,使学生在主动思考、探究的过程中自然地获得了新的知识.

由于本节课的内容较多,学习时间较紧张,所以在让学生进行课堂讨论时,时间把握得不好.由于讨论的问题有难度,讨论时间不够充分,急于让学生总结其中的规律,所以显得有些仓促.

教师引导学生,充分发挥学生的自主思考能力

和探究能力,让学生来发现、归纳和总结规律,这样在课堂上就要让出较多的时间.

练习(教材第24页) 1.解:(1)由多边形内角和公式得x+x+140+90=(4-2)×180,解得x=65. (2)由多边形内角和公式得90+120+150+2x+x=(5-2)×180,解得x=60. (3)由多边形内角和公式得75+120+80+(180-x)=(4-2)×180,解得x=95.

2.解:设这个多边形的边数为n,则(n-2)·180°=n·120°,解得n=6,所以它是六边形.

3.解:设这个多边形的边数为n,则(n-2)·180°=360°,解得n=4,所以它是四边形.

习题11.3(教材第24页) 1.解:如图所示.

2.解:(1)4x+60=(5-2)×180,解得x=120. (2)3x+3x+4x+2x=(4-2)×180,解得x=30. (3)因为AB∥CD,所以∠B=180°-∠C=180°-60°=120°,由多边形内角和公式得150+60+120+135+x=(5-2)×180,解得x=75.

3.解:如下表所示.

多边形

的边数

3

4

5

6

8

12

内角和

180°

360°

540°

720°

10801800°

°

外角和

360°

360°

360°

360°

360°

360°

4.解:正五边形的内角和为(5-2)×180°=540°,正五边形的每个内角是540°÷5=108°.正十边形的每个内角是(10-2)×180°÷10=144°.

5.解:设这个多边形的边数为n,则(n-2)·180°=1260°,解得n=9,所以它是九边形.

6.解:(1)设这个多边形的边数为n,由题意知(n-2)·180°=×360°,解得n=3,所以它是三角形.

(2)设这个多边形的边数为n,由题意知(n-2)·180°=2×360°,解得n=6,所以它是六边形.

7.解:AB∥CD,BC∥AD.理由:因为∠A+∠B+∠C+∠D=360°,∠A=∠C,∠B=∠D,所以∠A+∠D=×360°=180°,∠A+∠

B=

×360°=180°,所以AB∥CD,BC∥AD.

8.解:(1)CO是ΔBCD的高.理由:由BC⊥CD,得∠BCD=90°,所以∠1+∠2=90°.因为∠1=∠2,所以∠1=∠2=45°,又因为∠1=∠2=∠3,所以∠3=45°.在ΔCDO中,∠COD=180°-∠1-∠3=90°,即CO⊥BD,所以CO是ΔBCD的高.(2)因为∠COD=90°,∠4=60°,所以∠5=90°-∠4=90°-60°=30°. (3)由(2)知∠5=30°,因为∠5=∠6,所以∠DAB=∠5+∠6=60°.在ΔABD中,∠ABD=180°-60°-60°=60°,所以∠ABC=∠ABD+∠2=60°+45°=105°,∠BCD=90°,∠ADC=∠1+∠4=45°+60°=105°.

9.解:五边形的内角和为(5-2)×180°=540°,∠CDE=∠E=∠C=

=108°.因为∠1+∠2+∠E=180°,∠1=∠2,所以∠1=

∠2=36°,同理∠3=∠4=36°,所以∠ADB=∠CDE-∠1-∠3=108°-36°-36°=36°,所以x=36.

-

10.解:AB∥DE,BC∥EF.由题意得六边形ABCDEF的每一个内角为=120°,所以∠FAD=∠FAB-∠DAB=120°-60°=60°.在四边形AFED中,∠EDA=360°-(∠F+∠E+∠FAD)=360°-(120°+120°+60°)=60°,所以∠EDA=∠DAB=60°,所以AB∥DE.又因为∠DAB+∠B=180°,所以AD∥BC,同理可得AD∥EF,所以BC∥EF(平行于同一条直线的两条直线平行).

复习题11(教材第28页) 1.解:由SΔABD=BD·AE=1.5 cm2,AE=2 cm,得BD=1.5 cm.由AD是BC边上的中线,得DC=BD=1.5 cm,BC=2BD=3 cm.

2.解:(1)x+90+50=180,解得x=40. (2)x+x+40=180,解得x=70. (3)x+70=x+x+10,解得x=60. (4)x+x+10+60+90=360,解得x=100. (5)70+x+20+x+x-10+x=(5-2)×180,解得x=115.

3.解:如下表所示.

多边形

的边数

7

17

20

25

内角和

5×180°

15×180°

18×180°

23×180°

外角和

360°

360°

360°

360°

4.解:从八边形的一个顶点出发,可以作五条对角线,它们将八边形分成六个三角形,这些三角形的内角和与八边形的内角和相等.

[规律方法:过n(n≥3)边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线,把n边形分成(n-2)个三角形.] 5.解:设这个多边形的边数为n,由题意得(n-2)·180°=360°+540°,解这个方程,得n=7,所以这个多边形的每个

内角等于°.

6.证明:由三角形内角和定理得∠A+∠1+42°=180°,因为∠A+10°=∠1,所以∠A+(∠A+10°)+42°=180°,解得∠A=64°.又因为∠ACD=64°,所以∠A=∠ACD,所以AB∥CD(内错角相等,两直线平行).

7.解:由三角形内角和定理得∠A+∠ABC+∠C=180°,因为∠C=∠ABC=2∠A,所以∠A+2∠A+2∠A=180°,解得∠A=36°,所以∠C=2×36°=72°,又因为在ΔBDC中,∠BDC=90°,所以由三角形内角和定理得∠DBC=180°-90°-72°=18°.

8.解:因为在ΔABC中,AD是高,所以∠ADC=90°,又因为∠C=70°,所以∠DAC=90°-70°=20°.因为AE,BF是角平分线,所以∠BAO=∠BAC,∠ABO=∠ABC,所以∠BOA=180°-(∠BAO+∠ABO)=180°-(∠BAC+∠

ABC)=180°-

×(180°-∠C)=180°-

×(180°-70°)=125°.

9.BD PC BD+PC BP+PC

10.解:五边形ABCDE的内角和为(5-2)×180°=540°,所以∠B=∠C=108°.由四边形内角和为360°,得∠B+∠C+∠

CDF+∠BFD=360°,因为DF⊥AB,所以∠BFD=90°,所以∠CDF=360°-∠B-∠C-∠BFD=360°-108°-108°-90°=54°.

11.证明:(1)因为BE,CF分别是∠ABC和∠ACB的平分线,所以∠GBC=∠ABC,∠GCB=∠ACB.因为∠BGC+∠

GBC+∠GCB=180°,所以∠BGC=180°-(∠GBC+∠GCB)=180°-

(∠ABC+∠ACB). (2)因为∠ABC+∠ACB=180°-∠A,所以∠BGC=180°-

(180°-∠A)=90°+

∠A.

12.证明:因为四边形ABCD的内角和为360°,∠A=∠C=90°,所以∠ABC+∠ADC=180°.因为BE平分∠ABC,DF平分∠ADC,所以∠CBE=∠ABC,∠CDF=∠ADC,所以∠CBE+∠CDF=90°,因为∠C=90°,所以∠CDF+∠CFD=90°,所以∠CBE=∠CFD,所以BE∥DF.

本节课内容是三角形学习基础上的延伸与深入,通过探索多边形内角和公式,尝试从不同角度寻求有效解决问题的方法,通过把多边形转化成三角形体会“转化思想”在几何中的运用,让学生体会从特殊到一般的认识问题的方法,培养学生观察、比较、抽象和概括的能力,以及用“数形结合”的思维方式解决数学问题的能力.

一个多边形截去一个角后,形成另一个多边形的内角和为720°,那么原来多边形的边数是

(

)

A.5

B.5或6 C.5或7 D.5或6或7 〔解析〕

首先求得内角和为720°的多边形的边数,再确定原多边形的边数.设多边形的边数为n,则(n-2)×180°=720°,解得n=6,则原多边形的边数为5或6或7.故选D.

〔解题策略〕

本题考查了多边形的内角和定理,理解截去一个角后有三种情况是解题关键.

一个多边形,除了一个内角外,其余各内角的和为2750°,求这个多边形的边数.

〔解析〕

由于除去的一个内角在0°~180°之间,因此题目中有两个未知量,但相等关系只有一个,这就需要依据条件中两个未知量的特殊含义去求值.

解:设这个多边形的边数为n,除去的角为x°, 根据题意得2750+x=(n-2)×180, 所以x=(n-2)×180-2750, 因为0

〔解题策略〕

注意题目中的隐含条件,如多边形的内角大于0°且小于180°及边数为不小于3的整数等条件的应用.

1.进一步掌握三角形的有关线段(边、高、中线、角平分线)的概念,能正确应用三角形三边关系解题.

2.巩固三角形内角、外角的概念,领会三角形内角和、外角和之间的内在联系.

3.深刻理解多边形的内角和与外角和,建立三角形和多边形之间的联系.

1.通过准确理解概念,领会相关知识的推导过程.

2.通过必要的练习,达到巩固知识、整合知识、运用知识的目的.

培养学生严密的思维习惯,初步领略分类讨论的数学思想.

【重点】

1.三角形三边关系以及三角形中的重要线段.

2.三角形和多边形中的有关计算.

【难点】

三角形和多边形的相关知识的综合应用.

专题一

三角形三边的关系

【专题分析】

三角形的三边关系是不等式与几何知识的重要结合点,经常利用这种关系结合不等式进行考查.利用此定理可以判断三条线段能否组成三角形,确定三角形第三边的取值范围,也可以作为不等式计算的重要依据.

已知三角形两边的长分别是4和10,则此三角形第三边的长可能是

(

)

A.5 B.6 C.11 D.16 〔解析〕

已知三角形两边的长分别是4和10,∴第三边x的取值范围是6

[解题策略]

解此类题,设三角形第三条边的长为x,根据三角形的三边关系列出不等式,求出x的取值范围,找出符合条件的x值即可.

【针对训练1】

已知三角形三边长分别为2,x,13,若x为正整数,则这样的三角形的个数为

(

) A.2 B.3 C.5 D.13 〔解析〕

由三角形的三边关系可知11

[方法归纳]

解决这类问题时,要明确构成三角形的条件,即其他两边之差<第三边<其他两边之和,再根据条件确定具体的值.

已知在ΔABC中,三边长a,b,c都是整数,且满足a>b>c,a=8,那么满足条件的三角形共有多少个? 〔解析〕

此题是典型的讨论类题目,为了不重复、不漏解,可以采用列表法.

解:由三角形的三边关系知b+c>a,而由b>c,a=8可知b>4,且b<8,又b是整数,所以b=5,6,7,如此分类可得c,列表讨论如下: a

b

c

8 5 4 8 6 5,4,3 8 7 6,5,4,3,2

因此,满足条件的三角形共有1+3+5=9(个).

[解题策略]

此类题要防止重复或漏解,办法是列表,先把大边固定,然后根据三边关系限制较小的两边.

【针对训练2】

如图所示,点P是ΔABC内一点,试说明AB+AC>PB+PC.

〔解析〕

本题可适当添加辅助线解答.

解:如图所示,延长CP交AB于点D.

在ΔADC中,AD+AC>PC+PD, 在ΔBPD中,BD+PD>BP, ∴BD+PD+AD+AC>PC+PD+BP, 即AB+AC+PD>PD+PC+PB, ∴AB+AC>PB+PC.

[解题策略]

本题充分运用了三角形的三边关系.利用转化思想解决问题,相当于寻找另一种解决问题的办法.

专题二

三角形的高、角平分线和中线

【专题分析】

三角形的中线、角平分线和高是三角形的三条重要线段,它们具有十分重要的性质,三角形的高构造了垂直的条件,三角形的中线隐含线段相等,三角形的中线可以把三角形分成面积相等的两部分,三角形的角平分线提供了角相等的条件,掌握这些性质,对解与三角形有关的问题十分重要.

如图所示,在ΔABC中,BD=DC,∠1=∠2,则ΔABC的一条中线是

,一条角平分线是

.

〔解析〕

在ΔABC中,BD=DC,∠1=∠2,则ΔABC的一条中线是线段AD,一条角平分线是线段BE.

〔答案〕

线段AD 线段BE

【针对训练3】

如图所示,在ΔABC中,D是BC边上的任意一点,AH⊥BC于H,图中以AH为高的三角形有 (

) A.3个

B.4个

C.5个

D.6个

〔解析〕

AH是图中所有三角形的高.故选D.

[方法归纳]

对于本题,以AH为高的三角形的个数实际就是图中三角形的总个数,即3+2+1=6.

在ΔABC中,AB=AC,BD为ΔABC的中线,且BD将ΔABC的周长分为12 cm与15 cm两部分,求三角形各边长.

〔解析〕

根据中线的定义得到AD=CD,设AD=CD=x cm,则AB=2x cm,分类讨论:①x+2x=12,BC+x=15;②x+2x=15,BC+x=12.分别求出x和BC,即可得到三角形三边的长.

解:如图所示, ∵BD为ΔABC的中线, ∴AD=CD.

设AD=CD=x cm, 则AB=2x cm.

当x+2x=12,BC+x=15时, 解得x=4,BC=11 cm,

此时ΔABC的三边长为:AB=AC=8 cm,BC=11 cm; 当x+2x=15,BC+x=12时, 解得x=5,BC=7 cm, 此时ΔABC的三边长为:AB=AC=10 cm,BC=7 cm.

【针对训练4】

如图所示,在ΔABC中(AB>BC),AC=2BC,BC边上的中线AD把ΔABC的周长分成60和40两部分,求AC和AB的长.

〔解析〕

先根据AD是BC边上的中线得出BD=CD,设BD=CD=x,AB=y,则AC=4x,再分AC+CD=60或AB+BD=60两种情况进行讨论即可.

解:∵AD是BC边上的中线,∴BD=CD.

设BD=CD=x,AB=y,则AC=4x.

分为两种情况:①AC+CD=60,AB+BD=40, 则4x+x=60,x+y=40, 解得x=12,y=28, ∴AC=4x=48,AB=28; ②AC+CD=40,AB+BD=60, 则4x+x=40,x+y=60, 解得x=8,y=52, ∴AC=4x=32,AB=52,BC=2x=16, 此时不符合三角形三边关系定理.

综合上述,AC=48,AB=28.

专题三

多边形内角和与外角和定理

【专题分析】

用三角形的内角和定理可以推出多边形的内角和定理及外角和定理,在推导的过程中体现了转化思想,在解有关多边形的问题,如求多边形的内角、外角、边数及对角线等问题时,这两个定理都很重要.

如图所示,AB∥CD,∠CED=90°,∠AEC=35°,则∠D的大小为 (

)

A.65°

B.55°

C.45°

D.35°

〔解析〕

∵AB∥CD,∴∠C=∠AEC=35°,∵∠D=180°-∠C-∠CED,∠CED=90°,∴∠D=180°-35°-90°=55°.故选B.

[方法总结]

求一个角的大小,可以先转化为求一个和它相等的角的大小,然后运用平行线的性质、三角形内角和定理等知识去解决.求角的度数常用的方法有两种:(1)直接根据条件去求,(2)运用转化思想把所求的角转化为另一个角去求.

【针对训练5】

已知ΔABC中,∠B是∠A的2倍,∠C比∠A大20°,则∠A等于

A.40°

B.60°

C.80°

D.90°

(

) 〔解析〕

用代数方法根据几何图形间的数量关系建立方程是求解几何问题的重要方法.由题意得∠B=2∠A,∠C=∠A+20°,所以∠A+∠B+∠C=∠A+2∠A+∠A+20°=180°,解得∠A=40°.故选A.

七边形的内角和的度数为

A.540°

C.900°

B.720°

D.1080°

(

) 〔解析〕

根据多边形内角和定理可以直接计算出答案为(7-2)×180°=900°.故选C. [解题策略]

此题主要考查了多边形内角和定理,关键是熟练掌握计算公式(n-2)×180°(n≥3,且n为整数).

【针对训练6】

若n边形的内角和为1440°,则从一个顶点出发引的对角线的条数最多是

条.

〔解析〕

n边形从一个顶点出发引的对角线的条数为(n-3),由(n-2)×180°=1440°得n=10.故填7.

一个多边形的每一个内角都相等,并且每个外角都等于和它相邻的内角的

,求这个多边形的边数及内角和.

〔解析〕

此题要结合多边形的内角与外角的关系来寻求等量关系,构建方程求解.

解:设该多边形的一个内角为x°,则一个外角为x°,依题意得x+x=180,x=180,x=108, 360°÷

=5, (5-2)×180°=540°.

答:这个多边形的边数为5,内角和是540°.

【针对训练7】

一个多边形除一个内角∠A外,其余所有内角之和为2190°,你能求出这个多边形的边数及∠A的度数吗? 〔解析〕

根据多边形的内角和公式(n-2)·180°可知用2190除以180,商就是(n-2),余数就是与∠A相邻的外角的度数,进而可以算出这个多边形的边数.

解:2190÷180=12……30,则边数n=15, 这个内角∠A的度数是180°-30°=150°, 故这个多边形的边数是15,∠A的度数是150°.

[解题策略]

解答多边形的有关问题,关键要掌握多边形的内角和公式、相邻内外角之间的互补关系、多边形的对角线的条数与边数的关系.

专题四

三角形的外角

【专题分析】

三角形每个顶点处有两个外角,它们是对顶角,所以一个三角形共有六个外角.通常每个顶点处取一个外角,因此,我们常说三角形有三个外角.因为三角形的每个外角和与它相邻的内角是邻补角,所以由三角形的内角和是180°可推出三角形的三个外角和是360°.

三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及论证与角有关的结论时经常使用的理论依据,另外,在证角的不等关系时也常用到外角的性质.

如图所示,在RtΔABC中,∠BAC=90°,∠B=30°,∠C=60°,AT平分∠BAC,AH⊥BC,垂足为H,则∠TAH=

.

〔解析〕

根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和进行求解.因为AH⊥BC,所以∠TAH=90°-∠ATH.由三角形外角性质可知∠ATH=∠B+∠BAT.因为∠BAT=∠BAC=(180°-∠B-∠C)=90°-(∠B+∠C),所以∠

ATH=∠B+90°-

(∠B+∠C),所以∠TAH=90°-∠B-90°+

(∠B+∠C)=

(∠C-∠B)=15°.故填15°.

[规律总结]

三角形中,同一个顶点处的角平分线和高线的夹角等于其余两内角差(较大的角-较小的角)的一半,如本题中∠TAH=(∠C-∠B).

【针对训练8】

如图所示,在折纸活动中,小明制作了一张ΔABC纸片,点D,E分别在边AB,AC上,将Δ

ABC沿着DE折叠压平,A与A'重合,若∠DAE=75°,则∠1+∠2等于

(

)

A.150°

B.210°

C.105°

D.75°

〔解析〕

方法1:由折叠知∠DA'E=∠DAE=75°,∵∠DAE+∠AED +∠ADE =∠DA'E+∠A'ED+∠A'DE=180°,∴∠DAE+∠AED +∠ADE +∠DA'E+∠A'ED+∠A'DE=360°,∵∠1+∠AED +∠A'ED=∠2+∠ADE +∠A'DE=180°,∴∠1+∠AED +∠A'ED +∠2+∠ADE +∠A'DE=360°,∴∠1+∠2=∠DAE+∠DA'E=2∠DAE=150°.方法2:如图所示,连接AA',根据三角形外角的性质可知∠1=∠EA

A'+∠E

A'A ,∠2=∠DA

A'+∠D

A'A ,∴∠1+∠2=∠EA

A'+∠E

A'A +∠DA

A'+∠D

A'A = ∠DAE+∠D

A'E,由折叠知∠D

A'E=∠DAE=75°,∴∠1+∠2=150°.故选A. [方法归纳]

同一个问题在解决的过程中可以有不同的方法,在解答之前要认真分析题目中的已知条件,选择合理的方法进行解答.

本章质量评估

(时间:90分钟

满分:120分)

一、选择题(每小题3分,共30分) 1.在ΔABC中,∠A,∠B都是锐角,则∠C是

A.锐角

C.钝角

B.直角

D.以上都有可能

(

) (

) 2.下列长度的线段,不能组成三角形的是

A.1,2,3 C.3,4,5 B.2,3,4 D.5,12,13 3.若一个多边形的内角和是外角和的3倍,则这个多边形是

(

) A.五边形

B.六边形

C.七边形

D.八边形

4.在ΔABC中,已知∠A=60°,∠C=80°,则∠B等于

(

) A.60°

B.30°

C.20°

D.40°

5.下面四个图形中,能判断∠1>∠2的是

(

)

6.如图所示,AB∥CD,∠A=∠ACB=70°,则∠DCE等于

A.55°

B.70°

C.40°

D.110°

(

)

7.如图所示,已知ΔABC为直角三角形,∠C=90°,若沿图中虚线剪去∠C,则∠1+∠2等于

(

)

A.90°

B.135°

C.270°

D.315°

8.如图所示,点O是ΔABC内一点,∠A=80°,∠1=15°,∠2=40°,则∠BOC等于

(

)

A.95°

B.120°

C.135°

D.无法确定

9.(2014·呼伦贝尔中考)一个多边形的每个内角均为108°,则这个多边形是

(

)

A.七边形

B.六边形

C.五边形

D.四边形

10.如图所示,AD,AE分别是ΔABC的高和角平分线,且∠B=76°,∠C=36°,则∠DAE的度数为A.20°

B.18°

C.38°

D.40°

二、填空题(每小题4分,共32分) 11.三角形的三个内角的比为1∶3∶5,则这个三角形的最大内角的度数为

.

(

)

12.如图所示,AB∥CD,∠A=40°,∠D=45°,则∠1=

.

13.如图所示,DE∥BC交AB,AC于D,E两点,CF为BC的延长线,若∠ADE=50°,∠ACF=110°,则∠A=

度.

14.如图所示,∠1+∠2+∠3+∠4=

.

15.如图所示,CD平分∠ACB,AE∥DC交BC的延长线于点E,若∠ACE=80°,则∠CAE=

度.

16.如图所示,小亮从A点出发,沿直线前进10米后向左转30°,再沿直线前进10米,又向左转30°……照这样走下去,他第一次回到出发地A点时,一共走了

米.

17.将一副三角板按如图所示的方式摆放,点C在EF上,AC经过点D.已知∠A=∠EDF=90°,AB=AC,∠E=30°,∠BCE=40°,则∠CDF=

.

18.如图所示,已知在ΔABC中,CF,BE分别是AB,AC边上的中线,若AE=2,AF=3,且ΔABC的周长为15,则BC的长为

. 三、解答题(共58分)

19.(8分)如图所示,在ΔABC中,AC=6,BC=8,AD⊥BC于D,AD=5,BE⊥AC于E,求BE的长.

20.(8分)如图所示,直线AD和BC相交于O,AB∥CD,∠AOC=95°,∠B=50°,求∠A和∠D.

21.(8分)一个等腰三角形的周长为22 cm,若一边长为6 cm,求另外两边长.

22.(10分)一个多边形的内角和等于它的外角和的4倍,则它是几边形?

23.(12分)如图所示,AD,AE分别是ΔABC的高和角平分线,∠B=20°,∠C=80°,求∠AED的度数.

24.(12分)如图所示,ΔABE中,∠A=∠E,BE是∠DBC的平分线,求证∠ACB=∠A+2∠E.

【答案与解析】

1.D 2.A(解析:∵1+2=3,∴长度为1,2,3的线段不能组成三角形.故选A.) 3.D(解析:设该多边形的边数为n,根据题意得(n-2)×180°=360°×3,解得n=8.所以这个多边形是八边形.故选D.) 4.D(解析:∵在ΔABC中,∠A=60°,∠C=80°,∴∠B=180°-60°-80°=40°.故选D.) 5.D(解析:A中,∠1与∠2是对顶角,相等,故A选项错误;B中,根据图形可知∠1<∠2,故选项B错误;C中,∠1是锐角,∠2是直角,∠1<∠2,故选项C错误;D中,∠1是三角形的一个外角,所以∠1>∠2,故选项D正确.故选D.) 6.C(解析:∵∠A=∠ACB=70°,∴∠B=40°,又∵AB∥CD,∴∠DCE=∠B=40°.故选C.) 7.C(解析:∵∠C=90°,∴∠A+∠B=90°.∵∠A+∠B+∠1+∠2=360°,∴∠1+∠2=360°-90°=270°.故选C.) 8.C(解析:∵∠A=80°,∠1=15°,∠2=40°,∴∠OBC+∠OCB=180°-∠A-∠1-∠2=180°-80°-15°-40°=45°,又∵∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°,∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-45°=135°.故选C.) 9.C(解析:外角的度数是180°-108°=72°,则这个多边形的边数是360÷72=5.故选C.) 10.A(解析:AD,AE分别是ΔABC的高和角平分线,且∠B=76°,∠C=36°,∴∠BAD=14°,∠CAD=54°,∴∠BAE=∠

BAC=

×68°=34°,∴∠DAE=34°-14°=20°.故选A.)

11.100°(解析:设三角形三个内角的度数分别为x,3x,5x,所以x+3x+5x=180°,解得x=20°,所以5x=100°.故填100°.) 12.85°(解析:∵AB∥CD,∠D=45°,∴∠B=∠D=45°.又∵∠A=40°,∴∠1=∠A+∠B=40°+45°=85°.) 13.60(解析:∵DE∥BC,∴∠B=∠ADE=50°,∠AED=∠ACB=180°-∠ACF=70°,∴∠A=180°-70-50°=60°.) 14.300°(解析:在ΔABC中,∠1+∠2=180°-30°=150°,在ΔADE中,∠3+∠4=180°-30°=150°,所以∠1+∠2+∠3+∠4=300°.故填300°.) 15.50(解析:∵∠ACE=80°,∴∠ACB=100°.又∵CD平分∠ACB,∴∠DCA=100°×=50°.∵AE∥DC,∴∠CAE=∠

DCA=50°.) 16.120(解析:∵360÷30=12,∴他需要走12次才会回到原来的起点,即一共走了12×10=120米.故填120.) 17.25°(解析:由题意知∠ACB=∠B=45°,在ΔDEF中,∠EDF=90°,∠E=30°,所以∠F=60°,因为∠ACE=∠CDF+∠F,∠BCE=40°,所以∠CDF=∠ACE-∠F=∠BCE+∠ACB-∠F=40°+45°-60°=25°.故填25°.) 18.5(解析:∵CF,BE分别是AB,AC边上的中线,AE=2,AF=3,∴AB=2AF=2×3=6,AC=2AE=2×2=4.∵ΔABC的周长为15,∴BC=15-6-4=5.) 19.解:∵SΔABC=

AC·BE,SΔABC= BC·

AD,∴AC·BE=BC·AD,∴BE =

.

20.解:∵∠AOC=95°,∠B=50°,∴∠A=∠AOC-∠B=95°-50°=45°.∵AB∥CD,∴∠D=∠A=45°.

21.解:①若底边长为6 cm,则腰长为(22-6)÷2=8 cm,所以另两边的长为8 cm,8 cm,符合三角形三边关系;②若腰长为6 cm,则底边长为22-6×2=10 cm.符合三角形三边关系.因此另两边长为10 cm,6 cm或8 cm,8 cm.

22.解:设这个多边形的边数为n,依题意有(n-2)·180°=4×360°,∴n=10,则是十边形.

23.解:∵∠B=20°,∠C=80°,∴∠BAC=180°-∠B-∠C=80°.∵AE是角平分线,∴∠BAE=∠EAC=40°,∴∠AED=∠B+∠ BAE=20°+40°=60°.

24.证明:∵∠DBE是ΔABE的外角,∴∠DBE=∠A+∠E.∵BE是∠DBC的平分线,∴∠DBE=∠EBC=∠A+∠E.∵∠ACB是ΔBCE的外角,∴∠ACB=∠E+∠EBC=∠A+2∠E.