整式的乘除教学设计模板

初中八年级数学上册

第十四章：整式的乘法与因式分解——14.1：整式的乘法

一：知识点讲解

知识点一：同底数幂的乘法



法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

指数相加mnmn

符号表示：aaam，n都是正整数。

底数不变

法则的条件：必须是同底数幂相乘（幂的个数不限），而不是相加；法则的结论是底数不变，指数相加，要注意指数是相加，而不是相乘。



法则的推广：amanapamnpm，n，p都是正整数；

amanapamnpm，n，，p都是正整数

法则的逆运用：amnamanm，n都是正整数。

606

不要忽略指数是1的因式，例如：ccc。



底数可以是单项式，也可以是多项式，通常把底数看作一个整体，运用整体思想求解。

例1：计算：

1)

x4x3；

2)

ynyn1；

3)

ab3ba2；

an2an1ana；

4)

5)

b23b25b2；

x3x5xx3x4；

6)

7)

2x122x132x142x1

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知识点二：幂的乘方



法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。

指数相乘mnamnm，n都是正整数。



符号表示：a底数不变

法则的推广：aapmnmnpm，n，p都是正整数。

nm

法则的逆运用：amnam例2：计算：

1)

am，n都是正整数。

ns；

342)

a；

n123)

mm；

32244)

xyxy。

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知识点三：积的乘方



法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。



符号表示：ababn为正整数。

nnn分别乘方

法则的推广：abcanbncnn为正整数。

n

法则的逆运用：anbnabn为正整数。

n

式子中的“a”和“b”可以代表一个单项式，也可以代表一个多项式。

例3：计算：

11)

a3b；

22)

23a2b3；

43)

xy；

325201824)

13

352018。

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知识点四：单项式乘单项式



法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有字母，则连同它的指数作为积的一个因式。



实例：3ab2a32aab6ab。

223系数相乘同底数幂相乘

推广：单项式与单项式相乘的法则对于三个及以上的单项式相乘同样适用。



积的系数等于各系数的积，应先确定积的符号，再计算积的绝对值。



相同字母相乘时，同底数幂的乘法要按“底数不变，指数相加”进行计算。

例4：计算：

1)

14xy2x2yz；

22)

0.3xy0.2xy；

3424323)

15xax2.25axy3x2y2；

34)

2225a3b3b6ababab34a。

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知识点五：单项式乘多项式



法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。



符号公式：mabcmambmcm，a，b，c都是单项式。



图解：如图，大长方形的面积等于三个小长方形的面积之和。





实质：单项式与多项式相乘，实质上是利用乘法分配律将它转化为多个单项式乘单项式的问题。



特别注意：



计算时要注意符号问题，多项式中的每一项都包含它前面的符号，同时还要注意单项式的符号。



计算时，按顺序把单项式依次与多项式的每一项相乘，做到不重复不遗漏。



对于混合运算，应注意运算顺序。

例5：计算：

1)

a3a2；

12xxyy222)

2；

3)

4a312a2b7a3b34a2；

4)

xx23x2x33xx2x1。



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知识点六：多项式乘多项式



法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。



示例：abpqapaqbpbq。



图解：如图，大长方形的面积等于四个小长方形的面积之和。

例6：计算：

1)

x3x2；

3x12x1；

2)

3)

x2x22x4；

ababa2b2。

4)

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知识点七：同底数幂的除法



法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减。

指数相减mnmn

符号表示：aaamn。

a0，m，n都是正整数，并且底数不变

条件：必须是底数相同的幂相除（幂的个数不限），法则的结论是底数不变，指数相减，要注意指数是相减，而不是相除。



推广：amanapamnpa0，m，n，p都是正整数，并且mnp。



逆用：amnamana0，m，n都是正整数，并且mn。

例7：计算：

1)

x15x6；

2)

xy13xy8；

a2m4am2；

3)

4)

x2y32yx2。

知识点八：零指数幂的性质



性质：任何不等于0的数的0次幂都等于1。



符号表示：a1a0

0例8：填空：

1)

3.140

。

20160

。

2)

3)

x22

。

0

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知识点九：单项式除以单项式



法则：单项式与单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有字母，则连同它的指数作为商的一个因式。



实例：4ab2a422系数相除同底数幂的除法单独字母aa2b2ab。



实质：单项式处于单项式法则的实质是将单项式除以单项式转化为同底数幂的除法运算，运算结果仍是单项式。



被除式里单独含有的字母及其指数要作为商的一个因式，这一点切化漏掉。



运算顺序如下：有乘方先算乘方，有括号先算括号里面的，同级运算按照从左到右的顺序进行。

例9：计算：

1)

3a7b4c9a4b2；

28x4y27x3y；

4a3m1b8a2m1。

2)

3)



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知识点十：多项式除以单项式



法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。



符号表示：abcmambmcm其中a，b，c，m都是单项式，m0。



实质：多项式除以单项式法则的实质是将多项式除以单项式转化为单项式除以单项式。

例10：计算：

1)

12a36a23a3a；

32)

21xy435x3y27x2y27x2y；

3)

xyy2xy8x2x。

2第

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二：知识点复习

知识点一：同底数幂的乘法

1.

计算aa的结果是(

) 23A. 5a

B. 6a

C. a6

D. a5

2.

已知xy30，则22的值是(

) yxA. 6 B. ﹣6 C. 1

8D. 8 知识点二：幂的乘方

3.

计算a3的结果是(

) a6

2A. B. a6

C. a5

D. a5

4.

若a3686，则a等于(

) B. ﹣2 C. ±2 D. 以上都不对

A. 2 知识点三：积的乘方

5.

下列计算正确的是(

) A. ab32ab6

B. 3xy26x2y2

C. 2a3324a6

2D. xyz23x6y3z3

6.

化简xx，结果正确的是(

) A. x6

B. x6

C. x5

D. x5

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27.

计算：320161.5201712018

。

知识点四：单项式乘单项式

8.

下列各式计算正确的是(

) A. 3x24x312x6

B. 3x32x26x5

C. 3x5x2315x5

D. 2x23x36x5

9.

计算

1)

4ab2ab2ab；

3222)

233xyxyzxz34222；

2313)

x3y22xy2x4y3x3y4。

4232

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知识点五：单项式乘多项式

10.

计算3xy22y2xyz1的结果是(

) A. 3xy43x2y33xy2

B. 6xy43x2y3z3xy2

C. 6xy43x2y3z3xy2

D. 6xy43x2y2z

11.

计算：2a21abb25aa2bab2。

2

12.

已知axxcb2xx27x4x3，求a、b、c的值。

222知识点六：多项式乘多项式

13.

x12x3的计算结果是(

) A. 2x2x3

B. 2x2x3

C. 2x2x3

D. x22x3

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14.

如果一个长方形的长为4a22a1，宽为2a1，则这个长方形的面积为(

) A. 8a34a22a1

C. 8a31

15.

计算：

1)

2x13x1；

2)

3x5aa3x；

3)

2x5y3xy；

4)

xyx22x3。

B. 8a34a22a1

D. 8a31

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知识点七：同底数幂的除法

16.

计算aa结果正确的是(

) 53A. a

B. a2

C. a3

D. a4

17.

如果x11x3x5x1，那么x的值为

。

5418.

若516，52，则5xyx2y

。

知识点八：零指数幂的性质

19.

下列各式不一定正确的是(

) 001A. 321

91B. 2a21

2C. a1x01

D. 1a201

20.

若825y6，那么当y6时，x应等于(

) A. ﹣4 B. ﹣3 C. 0 D. 4 知识点九：单项式除以单项式

21.

计算ab2ab的结果是(

) 32A. ab4

B. ab4

C. ab3

D. ab3

22.

一个长方形的面积为6abcm²，一边长为2abcm，则它的周长为

。

2

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知识点十：多项式除以单项式

23.

已知7x5y3与一个多项式之积是28x7y398x6y521x5y5，这个多项式是(

) A. 4x23y2

B. 4x2y3xy2

C. 4x23y214xy2

D. 4x23y27xy3

24.

计算：

1)

23a3b2c25a2bc223ac；

2)

xx2y2xyyx2x3y3x2y。

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三：题型分析

题型一：同底数幂的乘法法则的逆运用

例1：回答以下问题：

m1)

已知m，n为正整数，若232，24，求2nmn的值；

2)

已知x为正整数，若264，求2

xx3的值。

题型二：幂的乘方法则的逆用

例2：已知n为正整数，且a

2n3，求a4na6n的值。

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题型三：逆用积的乘方法则进行计算

例3：用简便方法计算：

2541)

10.2544；

572)

660.125201682017。

题型四：整式的混合运算

例4：计算：

1)

2322313xyx2x3xyy9x4y2；

22)

x2yx2y4xy6x。

2第

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题型五：利用整式乘法求字母的值

例5：如图xqx1的结果中不含x的一次项，那么q＝

。

5题型六：先化简，再求值

例6：先化简，再求值：

1)

xx26x9xx28x152x3x，其中x16；

2)

2xyxy2x2x3y6xx52y，其中x1，3)

ab1ab22a2b22ab，其中a32，b43。

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y2；

题型七：整式乘法的实际应用题

3a的长方形铁5板做成一个有底无盖的盒子。如图所示，在长方形铁板的四个角上各裁去一个边长为b的小3正方形（2ba），然后沿虚线折起即可。现在要将盒子的外部表面贴上彩色花纸，爸5例7：西红柿丰收了，为了运输方便，小红的爸爸打算把一个长为a、宽为爸问小红至少需要多少彩色花纸，小红认为至少需要彩色花纸的面积实际就是盒子外部表面的面积，可以用一下两种方法求得：

①

直接法：盒子外部表面的面积＝四个侧面的面积＋底面的面积＝332a2bba2bba2ba2b；

55②

间接法：盒子外部表面的面积＝原长方形的面积－四个小正方形的面积＝3aa4b2。

5请计算一下这两种方法的结果是否一样。

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易错点一：幂的运算中，由于对法则掌握不准出现错误

例8：计算：

1)

aa2；

a3a2；

2)

3)

a；

234)

2xy。

232易错点二：有关多项式的乘法运算出现错误

例9：化简下列各式：

1)

3ab2a2b5ab1；

2ab2a22b23ab。

2)

易错点三：乘除混合运算顺序出错

例10：计算aaa。

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724

四：习题

（一）：选择题

1.

将mx323x展开后，结果不含x的一次项，则m的值为(

) A. 0 B. 9

C. 9

D. 3

222.

已知ab22，则aba2b5ab3b(

) A. 4 B. 2 C. 0 D. 3.

下列运算正确的是(

) A. a2a3a6

B. a32a6

C. 2ab222ab4

D. a5a2a3

4.

若3x2y3，则27x9y的值为(

) A. 9 B. 27 C. 6 D. 5.

使x2px8x23xq的乘积中不含x2与x3项的p、q的值是( A. p＝0，q＝0 B. p＝3，q＝1 C. p＝﹣3，q＝﹣9 D. p＝﹣3，q＝1 6.

下列运算正确的是(

) A. a3a32a6

B. a3a32a6

C. a32a6

D. a6a2a3

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214 0

)

7.

下列计算正确的是(

) A. 2a3a5a

B. 2a36a3

C. 6a2a3a

D. a32a6

8.

计算x1x2的结果为(

) A. x22

B. x23x2

C. x23x3

D. x22x2

9.

计算6m62m2的结果为(

) 3A. ﹣m B. ﹣1 C. 3

4D. 3

4（二）：填空题

10.

若等式6a3a6aa1a2成立，则a的值为

。

3211.

如果在计算8ab4ab4ab时，把括号内的减号不小心抄成加号，那么正确结果和错误结果的乘积是

。

12.

观察下列各式并找规律，再猜想填空：abaabb23222a3b3、x2yx22xy4y2x38y3，则2a3b4a26ab9b2

。

13.

若a2，a8，则a

mnmn

。

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（三）：解答题

14.

先化简，再求值：xy5xy5xxxy225x，其中x2，y1。

15.

某省清镇体育训练基地有一块边长为2m3n米的正方形土地（如图所示），现准备在这块正方形土地上修建一个长为2m2n米，宽为mn米的长方形游泳池，剩余部分（图中阴影部分）修建成休息区域。

1)

试用含m、n的式子表示休息区域的面积；（结果要化简）

2)

若m15，n10，求休息区域的面积。



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16.

化简：a2b2ab2b3bab。

2

17.

先化简，再求值：4xx2x112x，其中x

18.

先化简，再求值：2a2aaa5b3a5b3a2b，其中ab

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1。

4021。

2

19.

阅读下列材料，并解决后面的问题。

材料：我们知道，n个相同的因数a相乘aaa记为a，如28，此时，3叫做n个n以2为底8的对数，记为log28（即log283）。一般地，若ab（a0且a1，n3b0），则n叫做以a为底b的对数，记为logab（即logabn），如3481，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log3814）。

1)

计算以下各对数的值：log24

，log216

，log264

；

2)

通过观察，4、16、64之间满足怎样的关系式？log24、log216、log264之间又满足怎样的关系式？

3)

由第二小题的猜想，归纳出一个一般性的结论：（直接将结果填在横线上）

logaMlogaN

（a0且a1，M0，N0）；

4)

根据幂的运算法则aaa

mnmn以及对数的定义，证明第三小题中的结论。

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20.

我们知道多项式的乘法可以利用图形的面积进行解释，如：2abab2a23abb2就可以用图①、②中图形的面积表示。

1)

请你写出图③所表示的一个等式；

2)

试画出一个几何图形，使它的面积能表示成a3baba24ab3b2；

3)

请仿照上述方法另写一个只含有a、b的等式，并画出与之对应的图形。

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