习题训练教学设计案例

13．3.1

等腰三角形的性质和应用导学案

课题：等腰三角形的性质和应用

第一课时

安定区柏林学校

王向东

学习内容：等腰三角形的性质和应用

学习目标：

1．理解并掌握等腰三角形的性质．

2．运用等腰三角形的性质进行证明和计算．

3．观察等腰三角形的对称性、发展形象思维．

学习重点：等腰三角形的性质及应用．

难点：等腰三角形的性质的证明．

学习过程

一、问题指向，自主先学

【活动1】

教师预先做出各种几何图形，包括圆、长方形、正方形、等腰梯形、一般三角形、等腰三角形、等边三角形等．

让同学们抢答哪些是轴对称图形，提问什么是轴对称图形，什么样的三角形才是轴对称图形．引入今天所要讲的课题——等腰三角形．

我们知道，有两条边相等的三角形是等腰三角形，下面我们利用轴对称的知识来研究等腰三角形．

二、互动探究，合作求解

如图，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC有什么特点？

学生活动：学生动手操作，从剪出的图形观察△ABC的特点，可以发现AB＝AC.

教师活动：让学生回顾等腰三角形的概念：

有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角．

如下图．

在△ABC中，若AB＝AC，则△ABC是等腰三角形，AB，AC是腰，BC是底边，∠A是顶角，∠B和∠C是底角．

【活动2】

把活动1中剪出的△ABC沿折痕AD对折，找出其中重合的线段，填入下表：

从上表中你能发现等腰三角形具有什么性质吗？

重合的重合学生活动：学生经过观察，独立完成上表，然后小

线段

的角

组讨论交流，从表中总结等腰三角形的性质．

教师活动：引导学生归纳．

性质1

等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)；

性质2

等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”)．

【活动3】你能用所学知识验证上述性质吗？

如图，在△ABC中，AB＝AC.求证：∠B＝∠C. 学生活动：学生在独立思考的基础上进行讨论，寻找解决问题的办法，若证∠B＝∠C，根据全等三角形的知识可以知道，只需要证明这两个角所在的三角形全等即可．

于是可以作辅助线构造两个三角形，作BC边上的中线AD，证明△ABD和△ACD全等即可，根据条件利用“边边边”可以证明．

教师活动：让学生充分讨论，根据所学的数学知识利用逻辑推理的方式进行证明，证明过程中注意学生表述的准确性和严谨性．

证明：作BC边上的中线AD，如图．

AB＝AC，在△ABD和△ACD中，AD＝AD，

BD＝CD，所以△ABD≌△ACD(SSS)，所以∠B＝∠C. 这样，就证明了性质1. 类比性质1的证明你能证明性质2吗？

由△ABD≌△ACD，还可得出∠BAD＝∠CAD，∠ADB＝∠ADC＝90°. 从而AD⊥BC，这也就证明了等腰△ABC底边上的中线平分顶角∠A并垂直于底边BC. 例1

如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，求△ABC各角的度数．

学生活动：小组合作，分组讨论、交流．

教师活动：引导学生分析图形中关于角的数量关系．(三角形的内角、外角，等腰三角形的底角) 发现：(1)∠ABC＝∠ACB＝∠CDB＝∠A＋∠ABD；

(2)∠A＝∠ABD；

(3)∠A＋2∠C＝180°. 若设∠A＝x，则有x＋4x＝180°，得到x＝36°，进一步得到两个底角的度数．

三、强化训练当堂达标

见课件

四、小结与作业

请同学们回顾本节课所学的内容，有哪些收获？

师生活动：学生思考后，用自己的语言归纳，教师适时点评，并关注以下几个问题：

小结：(1)等边对等角；(2)等腰三角形的三线合一；(3)等腰三角形常用辅助线作法(作底边上的高、作底边上的中线、作顶角的平分线)．

作业：教材习题13.3第1，3，7题．

本节课重点要让学生通过动手翻折等腰三角形纸片得出等腰三角形“两个底角相等”、“三线合一”的性质．设计理念是让学生通过感官认识、折纸、猜想、验证等腰三角形的性质，然后运用全等三角形的知识加以论证，使学生思维由形象直观过渡到抽象的逻辑演绎，层层展开，步步深入，从而实现教学目的．

13．3.1

等腰三角形(1)

1．了解等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的性质．

2．运用等腰三角形的概念及性质解决相关问题．

重、难点：等腰三角形的性质及其应用．

一、自学指导

自学：自学课本P75－76页“探究、思考与例1”，掌握等腰三角形的性质并学会运用，完成下列填空．(7分钟) 1．如图，在△ABC中，AB＝AC，标出各部分名称：

2．如图，把一张长方形纸片按图中的虚线对折，剪下阴影部分，再把它展开，得到△ABC，则AB＝AC.

点拨精讲：根据轴对称的性质可得以上结论．

总结归纳：(1)等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)．

(2)等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．

(3)等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边上的中线(顶角平分线、底边上的高)所在的直线．

二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(8分钟)

1．课本P77练习题1，2，3. 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上．

(1)∵AD⊥BC，∴∠1＝∠2，BD＝CD．

(2)∵AD是中线，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD；

(3)∵AD是角平分线，∴AD⊥BD，BD＝CD．

3．等腰三角形有两条边长为4 cm和9 cm，则该三角形的周长是22 cm. 点拨精讲：此题要用到分类思想，但根据三角形三边关系排除一种情况．

4．等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是40°．

5．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则其顶角为60°或120°．

点拨精讲：此题分为高在三角形的内部和外部两种情况．

小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟) 探究1

已知△ABC是等腰三角形，且∠A＋∠B＝130°，求∠A的度数．

解：①当∠A为顶角时，∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＋∠B＝130°，∴∠C＝50°，∴∠A＝80°；

②当∠C为顶角时，则∠A＝∠B，∵∠A＋∠B＝130°∴∠A＝65°. 点拨精讲：解题时应认真审题，分析已知条件，分清是顶角还是底角．

探究2

如图，AB＝AC，BD⊥AC于点D. 求证：∠BAD＝2∠DBC. 证明：过点A作AE⊥BC于点E，∵AB＝AC，∴∠BAD＝2∠2，∵BD⊥AC于点D，∴∠BDC＝90°，∴∠2＋∠C＝∠C＋∠DBC＝90°，∴∠DBC＝∠2，∴∠BAD＝2∠DBC. 点拨精讲：利用等腰三角形三线合一的性质求证．

学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟) 1．等腰三角形的腰长比底边多2 cm，并且它的周长为16 cm，则它的底边长为4_cm．

2．如图，在△ABC中，D为BC的中点，AB＝AC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，求证：DE＝DF. 证明：∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD平分∠BAC，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF. (3分钟)在等腰三角形中，常常需要作底边上的高，运用等腰三角形“三线合一”的性质，对于解决所有的问题能起到事半功倍的效果．

(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟) (10分钟)