整式的乘除教学设计实例

14．1《整式的乘除》教学设计

古浪县黄羊川职业技术中学 刘应栋

一、教学目标

（一）学习目标

1．进一步理解幂的意义，并学会同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方和同底数幂的除法的运算，能根据幂的各种运算性质解决数学问题. 2．会用幂的各种运算性质进行整式混合运算. （二）学习重点

整式的乘除法运算. （三）学习难点

灵活运用幂的性质进行整式乘除混合运算. 二、教学设计

（一）课前设计

预习任务

（1）同底数幂的乘法：aman=am+n

（m，n都是正整数）

（2）幂的乘方：（am)n=amn（m，n都是正整数

）

（3）积的乘法：（ab）n=anbn（n为整数）

（4）同底数幂的除法：am÷an=（a）m-n（m，n都是正整数且a≠0）

(二)课堂设计

1.知识回顾

n（1）同底数幂的乘法的性质：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．即amanam（m，n为正整数）．

（2）幂的乘方的性质：幂的乘方，底数不变，指数不变．即(am)namn（m，n为正整数）．

（3）积的乘方的性质：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．即(ab)nanbn（n为正整数）．

（4）同底数幂的除法法则：

同底数幂相除，底数不变，指数相减. （5）零指数的规定：

任何不等于0的数的0次幂都等于1. 你能用数状图、框图等多种形式梳理本节所学知识吗？

师生活动：先让学生独立归纳总结本节主要内容再展示部分学生作品，教师根据学生反应可

1

提炼出本章的知识结构图.如下：

〖设计意图〗建立清晰的知识结构，帮助学生梳理基础知识之间的区别和联系，学生类比学习，加深对知识的理解和对知识的整体把握，培养学生思维的全面性和严谨性. 然后提炼方法，你觉得正确进行整式乘除混合运算要关注哪些问题？

幂的运算法则

运算顺序

符号确定

下面首先复习幂的相关运算，请看

探究一.幂的运算

活动①复习检测，以学定教

开火车口答：并说出都有哪些运算？各自的法则是怎样的？

（1）x2x5

(2) 2×24×23

(3) (a+b)2(a+b)6

(4) (x2)5

(5) (x3)4x2

(6) [(-6)3]6

(7) (2a)4

(8) (xy3)2

(9) (-2x3)4

(10) (ab)5÷(ab)2

(11) (m-1)6÷(n-1)2

(12)(-2x)4÷(2x)2 【知识点】幂的相关运算性质

【设计意图】通过简单问题的回答，可检测学生对同底数幂的乘（除）法，幂的乘方，积的乘方的相关性质的掌握情况.同时说算理不断重复法则为整式乘除法打下基础. 活动②整合旧知，提升能力

例1. 计算：

（1）（-3x2y）8÷(-3x2y)6

（2）2(a4)3-(a3)4

【知识点】同底数幂的乘除混合运算

【数学思想】整体思想

【解题过程】解：（1）（-3x2y）8÷(-3x2y)6

2

=（-3x2y）8-6 =（-3x2y）2

=9x4y2 （2）2(a4)3-(a3)4=2a12-a12=a12 【思路点拨】认清运算，用对法则，注意符号

【答案】见解题过程

练习：（1）(y4)3×(y2)5÷(y3)6

（2）[-2(x-y)2]2(y-x)3

【知识点】同底数幂的乘除混合运算

【数学思想】整体思想

【解题过程】解：（1）(y4)3×(y2)5÷(y3)6=y12.y10÷y18=y22÷y18=y4

（2）[-2(x-y)2]2(y-x)3=4(y-x)4(y-x)3=4(y-x)7

【思路点拨】认清运算，用对法则，注意符号

【答案】见解题过程

例2.已知am=3，

an=5 ，求am-n与a4m-3n的值. 练习：已知3m=2，3n=5，求92m-n的值. 【知识点】逆用同底数幂的除法公式

【数学思想】对应思想

381【解题过程】am-n=am÷an=3÷5=

a4m-3n=（am）4÷(an)3=34÷53=

51251692m-n=92m÷9n=（32）2m÷（32）n=34m÷32n=（3m）4÷(3n)2=24÷52=16÷25=

25【思路点拨】认清底数，找到问题与已知条件的联系，用对法则，注意符号

【答案】见解题过程

431例3.计算（）100×（）100×（）2009×42010 344【知识点】逆用积的乘方法则

，倒数的性质以及乘法交换律．

【数学思想】转化思想

【解题过程】解：（410031）×（）100×（）2009×42010 344143100=（×）×（4×4）2009×4=4 34

3

【思路点拨】

【答案】见解题过程

练习：（0.125）11×（-217112）×8×（-）9

25【知识点】利用积的乘方法则，倒数的性质以及乘法交换律. 【解题过程】解：（0.125）11×（-217112）×8×（-）9

2515224=（×8）11（×）7×（）2=

825525【思路点拨】当指数接近时可以逆用积的乘方法则，要充分利用倒数的性质．

【答案】见解题过程

【设计意图】巩固新知，达到强化的目的.并要求学生养成检验的习惯，利用乘除互为逆运算，检验商式的正确性．

探究二：整式的混合运算

活动1:复习检测，以学定教

1.

x2y2(-xy3)2的计算结果是（

）

A.x5y10

B.x4y8

C.-x5y8

D.x6y12 【知识点】幂的乘方和单项式乘以单项式

【数学思想】对应思想

【解题过程】x2y2(-xy3)2=x2y2.x2y6=x4y8

【思路点拨】认清运算，用对法则，注意符号

【答案】B 2.化简a(b-c)-b(c-a)+c(a-b)的结果是（

）

A.2ab+2bc+2ac

B.2ab-2bc

C.2ab

D.-2bc

【知识点】单项式乘以多项式和整式的加减

【数学思想】对应思想

【解题过程】a(b-c)-b(c-a)+c(a-b)=ab-ac-bc+ab+ac-bc =2ab-2bc

【思路点拨】认清运算，用对法则，注意符号

【答案】B 3.下列计算错误的是（

）

A.(x+1)(x+4)=x2+5x+4

B.(a+4)(a-5)=a2-a-20

C.(m-3)(m+3)=m2-9

D.(x-3)(x-6)=x2+18

4

【知识点】多项式乘以单项式

【数学思想】对应思想

【解题过程】(x-3)(x-6)=x2-6x-3x+18= x2-9x+18 【思路点拨】.认清运算，用对法则，注意符号和不要漏项

【答案】D 4.下列计算正确的是（

）

A.x3÷x3=0

B.x2m+n÷x2m-3=0

C.(2×4-23)0=1

D.xnx3÷xnx=x2

【知识点】单项式除以单项式

【数学思想】对应思想

【解题过程】xnx3÷xnx=xn+3

÷xn+1=x2

【思路点拨】.认清运算，用对法则，注意符号．

【答案】D 5.已知4x6ya÷2xby2=2x2y3那么（

）

A.a=2，b=3

B.a=4，b=5

C.a=3，b=6

D.a=5，b=4 【知识点】多项式除以单项式

【数学思想】方程思想

【解题过程】4x6ya÷2 xby2=2x6-bya-2 =2x2y3，6-b=2，a-2=3，所以a=5，b=4．

【思路点拨】认清运算，用对法则，注意字母的对应．

【答案】D 先让学生独立完成，教师巡视指导，再学生讨论交流集体订证答案. 【设计意图】这一环节为了了解学生对单×单，单×多，多×多，零指数以及单除单，多除单等基础知识的掌握情况，以便在教学过程中有的放矢，有效地指导学生学习. 活动2整合旧知，提升能力

例4．化简求值：（-a4÷a2）2+（-2a）3﹒a2+(-a2)4÷a4，其中a=-1 【知识点】整式的混合运算

【解题过程】（-a4÷a2）2+（-2a）3﹒a2+(-a2)4÷a4

=a4+（-8a5）+a4 =2a4-8a5

当a=-1时，

2a4-8a5=2×1+8=10 【思路点拨】认清运算，用对法则，注意运算顺序和符号

【答案】见解题过程

5

练习：化简求值：3a(4a2a3)(2a)(3a)2，其中a2

【知识点】单项式与单项式，多项式与多项式相乘的法则，合并同类项．

【解题过程】3a(4a2a3)(2a)(3a)2

12a33a29a(2a)(9a2)12a33a29a18a36a33a29a当a2时，6a33a29a=18 【思路点拨】认清运算，用对法则，注意运算顺序和符号的确定．

【答案】18 【设计意图】巩固整式乘法的两个法则，灵活运用两个法则进行计算．

例5.解方程：（4x-2）（2x-3）=（8x+5）（x-1）

【知识点】多项式乘以多项式，解一元一次方程．

【数学思想】对应思想

【解题过程】（4x-2）（2x-3）=（8x+5）（x-1）

8x2-12x-4x+6=8x2-8x+5x-5 8x2-8x2-16x+3x=-6-5 -13x=-11 x=11

13

【思路点拨】利用多项式与多项式相乘的法则计算，把左右两边先化简，再解关于x一元一次方程．

【答案】见解题过程

练习：解下列方程：4(a2a3)3a(3a)a(a2)0

【知识点】单项式与多项式相乘的法则，解一元一次方程．

【解题过程】4(a2a3)3a(3a)a(a2)0

224a24a129aa3a2a0

3a120

a4【思路点拨】利用单项式与多项式相乘的法则计算，把左边化简，再解关于a一元一次方程．

【答案】a4．

6

3．

课堂总结

知识梳理

重难点归纳：

（1）灵活运用幂的性质进行整式乘除混合运算

（2）学习和运用法则过程中，类比，特殊到一般等方法的运用，渗透了转化，整体代换等数学思想．

混合运算的解题策略：整体把握，局部突破

理清顺序，步骤分明

用对法则，细心运算

规范书写，耐心检查

反思解决混合运算的关键步骤点：运算法则是基础，运算顺序是保障.

课后作业

1.下列计算正确的是（

）

A.b3·b2=b6

B.x3+x3=x6

C.a4+a2=a6

D.m·m5=m6 【知识点】幂的运算性质和合并同类项

【解题过程】m·m5=m5+1= m6

【思路点拨】认清运算，用对法则，注意符号

【答案】D 2.y3n+1可写成

（

）

A.（y3）n+1

B.（yn）3+1

C.y.y3n

D.（yn）n+1

7

【知识点】逆用同底数幂相乘的公式

【解题过程】y3n+1=y.y3n

【思路点拨】同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 【答案】C 3.如果正方体的棱长是（1-3b）3，那么这个正方体的体积是（

）

A.（1-3b）6

B.（1-3b）9

C.（1-3b）12

D.（1-3b）6 【知识点】幂的乘方

【解题过程】[（1-3b）3

] 3=（1-3b）9

【思路点拨】幂的乘方，底数不变，指数相乘．

【答案】B 4.计算（-0.125）2010×82010的结果是（

）

A.-1

B.1

C.0.25

D.44020

【知识点】逆用积的乘方法则

1【解题过程】（-0.125）2010×82010=（×8

）2010 =1

8【思路点拨】倒数的乘积等于1，先算乘积，再算乘方．

【答案】B 5.下列计算中结果正确的是（

）

A.4a2·3a2=12a6

B.2x3·7x4=14x7

C.3x·3x5=9x5

D.6x4·6x4=12x8 【知识点】单项式乘以单项式

【数学思想】对应思想

【解题过程】2x3·7x4=（2×7）x3+4=14x7

【思路点拨】认清系数，用对法则，系数相乘，同底数幂相乘，指数是相加. 【答案】B 6.18x6y4z÷（

）=6x2y3，括号里应填的代数式为（

）

A.3x3y2

B.3x3y2z

C.3x4yz

D.12x4y2z 【知识点】单项式除以单项式

【数学思想】对应思想

【解题过程】18x6y4z÷6x2y3=（18÷6）x6-2 y4-3z=3 x4yz

【思路点拨】认清运算，用对法则，注意别漏掉字母z 【答案】C

8