有理数比较大小板书设计

定义：有理数是“数与代数”领域中的重要内容之一，在现实生活中有广泛的应用，是继续学习实数、代数式、方程、不等式、直角坐标系、函数、统计等数学内容以及相关学科知识的基础。数学上，有理数是一个整数a和一个正整数b的比，例如3/8，通则为a/b。0也是有理数。有理数是整数和分数的集合，整数也可看做是分母为一的分数。有理数的小数部分是有限或为无限循环的数。不是有理数的实数称为无理数，即无理数的小数部分是无限不循环的数。

有理数集可以用大写黑正体符号Q代表。但Q并不表示有理数，有理数集与有理数是两个不同的概念。有理数集是元素为全体有理数的集合，而有理数则为有理数集中的所有元素。

基本运算法则

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加法运算

1、同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加。

2、异号两数相加，若绝对值相等则互为相反数的两数和为0；若绝对值不相等，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

3、互为相反数的两数相加得0。

4、一个数同0相加仍得这个数。

5、互为相反数的两个数，可以先相加。

6、符号相同的数可以先相加。

7、分母相同的数可以先相加。

8、几个数相加能得整数的可以先相加。 [1]

减法运算

减去一个数，等于加上这个数的相反数，即把有理数的减法利用数的相反数变成加法进行运算。 [1]

乘法运算

1、同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

2、任何数与零相乘，都得零。

3、几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负，当负因数有偶数个时，积为正。

4、几个数相乘，有一个因数为零，积就为零。

5、几个不等于零的数相乘，首先确定积的符号，然后后把绝对值相乘。 [1]

除法运算

1、除以一个不等于零的数，等于乘这个数的倒数。

2、两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。零除以任意一个不等于零的数，都得零。

注意：

零不能做除数和分母。

有理数的除法与乘法是互逆运算。

在做除法运算时，根据同号得正，异号得负的法则先确定符号，再把绝对值相除。若在算式中带有带分数，一般先化成假分数进行计算。若不能整除，则除法运算都转化为乘法运算。 [1]

实数分类图

乘方运算

1、负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数。例如：（-2）³（-2的3次方）=-8，（-2）²（-2的2次方）=4。

2、正数的任何次幂都是正数，零的任何正数次幂都是零。例如：2（2的2次方）=4，2 （2的3次方）=8，0（0的3次方）=0。

3、零的零次幂无意义。

4、由于乘方是乘法的特例，因此有理数的乘方运算可以用有理数的乘法运算完成。

5、1的任何次幂都是1，-1的偶次幂是1，奇次幂是-1。 [1]

有理数运算定律

加法运算律:

1、加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变，即

。

2、加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变，即

。

减法运算律：

减法运算律：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即：

。

乘法运算律：

1、乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变，即

。

2、乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数先乘，或者先把后两个相乘，积不变，即

。

3、乘法分配律：某个数与两个数的和相乘等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加，即：

。

混合运算法则

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有理数的加减乘除混合运算，如无括号指出先做什么运算，按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如果是同级运算，则按照从左到右的顺序依次计算。

相关问题

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除以零的谬误

在代数运算中不当使用除以零可得出无效证明：

不等于

。









。前提

由：0a=0，0b=0，得出0a=0b。

两边除以零，得出0a/0=0b/0。

化简，得：a=b。

以上谬论一个假设，就是某数除以0是容许的，并且

。 [1]

代数处理

若某数学系统遵从域的公理，则在该数学系统内除以零必须为没有意义。这是因为除法被定义为是乘法的逆向操作，即

值是方程

中

的解（若有的话）。若设

可写成

或直接

，方程式

。因此，方程

没有解（当

时），但是任何数值也可解此方程（当

时）。 [1]

整数

整数，是序列{...，-3，-2，-1，0，1，2，3，...}中所有的数的统称，包括负整数、零（0）与正整数。和自然数一样，整数也是一个可数的无限集合。这个集合在数学上通常表示为粗体Z或，源于德语单词Zahlen（意为“数”）的首字母。

在代数数论中，这些属于有理数的一般整数会被称为有理整数，用以和高斯整数等的概念加以区分。

全体整数关于加法和乘法形成一个环。环论中的整环、无零因子环和唯一分解域可以看作是整数的抽象化模型。

Z是一个加法循环群，因为任何整数都是若干个1或

-1的和。1和

-1是Z仅有的两个生成元。每个元素个数为无穷个的循环群都与（Z，+）同构。