线段的垂直平分线的作图优秀获奖教案

成都市棕北中学教学设计

课题名称

教师

《线段的垂直平分线》

第一学时辜敏

年级

初二

学科

数学

①探索掌握线段的垂直平分线性质及它们的应用。

②正确理解两条性质的关系,准确选择定理与方法,提高解决问题的能力。 教学目标

③揭示数学与现实生活中实际问题的联系，从而激发学生学习数学的积极性

教学重点

1．教学重点：线段的垂直平分线性质，作法及其应用

教学难点

2. 教学难点：线段的垂直平分线定理、逆定理的关系

由于本课的难点是线段的垂直平分线定理和逆定理的联系，因此，需注重对定理和逆定理的题设与结论的分析，使同学们能正确理解这两个定理的关系，能根据命题的条件准确地选择定理、选择方法，从而提高解决问题的能力。

教法学法

线段的垂直平分线的概念前面已学过，本课是进一步理解线段垂直平分线的性质，学会线段的垂直平分线的画法及对称图形的画法，会作轴对称图形的对称轴。线段的垂直平分线的性质，在计算、证明、作图中有着广泛的应用，可以简化证明,方便计算。在本课的学习中,应注重联系线段的垂直平

分线性质,提高综合运用知识的能力。

教学环节

创设情景引入新课：

具体过程（详案）

1、问题引入：（教师用多媒体演示）：

【师】：

如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置? 【生】：就是要找到已知两点的距离相等的点。

【师】：

2、让学生思考：

“到两个仓库的距离相等”的数学涵义是什么？你想把码头建在哪里？为什么要那么做？。

【生】：码头应建在线段AB的垂直平分线与在A、B一侧的河岸边的交点上。

【生】：因为，在七年级时我们已经学过“线段垂直平分线上的点到这条线段的两导入

个端点的距离相等”，在这个问题中要求码头到两个仓库A、B的距离相等，所以可以用这个性质来解决。

【师】：同学们都说的非常好。小学及七年级的时候，我们用折纸的方法，根据折叠过程中线段重合，说明了线段垂直平分线的一个性质：线段垂直平分线上的点，到线段两个端点的距离相等。我们知道要说明一个命题是真命题，这样做是不够的，还必须利用公理和已学过的定理、推论等证明它。这节课，我们就利用所学过的公理、定理来证明线段垂直平分线的性质定理。

（教师用多媒体演示线段垂直平分线的性质：定理 线段垂直平分线上的点，到线段两个端点的距离相等。同时，教师板书课题：

1．3 线段的垂直平分线(第一课时)

环节一：

定理 “线段垂直平分线上的点，到线段两个端点的距离相等”的证明。

【师】：现在就请同学们根据定理的条件和结论，自己画出图形，并写出已知、求证。

【生】：已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的点．

求证：PA=PB．

证明：∵MN⊥AB，

∴∠PCA=∠PCB=90°

∵AC=BC，PC=PC ∴△PCA≌△PCB(SAS)

环节二：

∴PA=PB(全等三角形的对应边相等) 【生】：∠ A＝∠B，∠CPA＝∠CPB

【生】：QA＝QB （图形中相等的线段和相等的角让学生口述，学生补充，教师点拨即可）

（师生互动：写出证明过程，强调学生证明的书写格式要规范）

学习新知：师生共同分析：要想证明PA=PB，可以考虑去证明这两条线段分别所在的两个三角形是否全等。也就是想办法证明△PCA≌△PCB。而△PCA≌△PCB的条件由已知AC=BC，且MN⊥AB，可推知其满足三角形全等的判定公理(SAS)。因此结论可证。

【师】：同学们，全班自己尝试写出它的证明过程！

（其他同学在练习本上证明，让举手的其中一个学生板演和口述）做完后同学们互相交流，取长补短。先由学生点评，然后教师点拨，强调证明的书写格式、证明步骤、每步推理的根据都要到位。

【师】：从图形中，你能找出相等的角有哪些吗？

【师】：观察直线MN上有一点Q，根据线段垂直平分线的性质定理，你能说明它有什么性质吗？你能找出图形中相等的线段和相等的角吗？与同伴交流，看谁找的多。

（教师在直线MN上继续找出几个不同位置的点，让学生说出其对应的相等的线段，目的是让学生熟悉图形，熟练应用线段垂直平分线的性质定理找出相等的线段）

环节三：

让学生深入思考

【师】：大家能写出上面这个定理的逆命题吗?它是真命题吗?如果是，请你证明。

【师】：大家知道，这个命题不是“如果……那么……”的形式，要写出它的逆命题，将原命题写成“如果……那么……”的形式，逆命题就很容易写出。谁能分析一下原命题的条件和结论各是什么呢?

【师】：这位同学的分析很精彩，根据他的分析，逆命题就很容易写出。

生：原命题的条件是“有一个点是线段垂直平分线上的点”。结论是“这个点到线段两个端点的距离相等”。

【生】：（逆命题描述）如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上。

【生】：写出逆命题后，就需要判断它的真假。如果是真命题，则需要证明它；如果是假命题，则需要举反例说明。

【师】：谁能把它描述得更清楚简捷?

生：（简洁描述）

线段垂直平分线的判定定理

到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

【师】：请同学们自己证明线段垂直平分线的判定定理。有谁愿意上黑板上做？（同学们自告奋勇，让举手的四个中等学生板演，其它同学自行在练习本上完成）教师提示引导：利用三角形全等或等腰三角形的性质来证明判定定理。

【师】：要证明两条线段相等，除了证明两条线段分别所在的两个三角形全等外，还什么方法？它的根据是什么？

【师】：比较利用三角形全等和利用等腰三角形“三线合一”的性质来证明线段垂直平分线的判定定理的方法，哪种比较简单？

【师】：应用等腰三角形“三线合一”的性质，省了一个证明三角形全等的步骤，今后我们在进行证明或计算时，要寻求简单的方法。另外两种简单方法的证明有兴趣的同学课后完成。

学生经过思考、分析、讨论、交流，小组展示给出了如下证法（图形由学生自己环节四：

根据题意画出）。

证法一：

已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB。

求证：P点在AB的垂直平分线上。

证明：过点P作已知线段AB的垂线PC,垂足是C。

∴∠PCA=∠PCB=90°

∵PA=PB，PC=PC，

∴Rt△PAC ≌ Rt△PBC(HL定理)。

∴AC=BC，

即P点在AB的垂直平分线上。

证法二：取AB的中点C，过PC作直线．

∵AP=BP，PC=PC.AC=CB，

∴△APC≌△BPC(SSS)。

∴∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应角相等。

又∵∠PCA+∠PCB=180°，

∴∠PCA=∠PCB=∠90°，即PC⊥AB

∴P点在AB的垂直平分线上。

证法三：过P点作∠APB的角平分线PC交AB于点C。

∵AP=BP，∠1=∠2，PC=PC，

△APC≌△BPC(SAS)。

∴AC=BC，∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应角相等，对应边相等)。

又∵∠PCA+∠PCB=180°∴∠PCA=∠PCB=90°。

∴P点在线段AB的垂直平分线上。

【生】：除了可以证明△APC和△BPC全等，还可以应用“等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合”即（三线合一）的性质来证明。因为AP=BP，所以△PBA是等腰三角形，又因为PC垂直AB，垂足是C，PC是△PAB底边上的高，所以PC是底边AB边上的中线，所以AC=BC，即P点在线段AB的垂直平分线上。

【生】（齐答）：利用等腰三角形的“三线合一”的性质证明比较简单。

【师】：从同学们的推理证明过程可知线段垂直平分线的性质定理的逆命题是真命题，我们把它称为线段垂直平分线的判定定理。（板书判定定理：在学生之前写出的简捷描述的命题前面加上线段垂直平分线的判定定理这几个字）

教师提示：线段垂直平分线的判定定理，是经常用来证明点在线上（或直线经过某一点）的根据之一。

【师】：我们已经完成了线段垂直平分线的性质定理和判定定理的证明，请同学们思考一下我们可以利用这两个定理来证明什么？

【生】：我们可以利用这两个定理来证明两条线段相等、两条直线互相垂直等。

动手操作、再探新知：【师】：下面我们用尺规作线段的垂直平分线。

尺规作图，首先要写出已知、求作、作法，请同学们体会作法中每一步的作法依据。（师生同步作图）

【师】根据上面作法中的步骤，你能说明为什么直线AB是线段CD的垂直平分线吗?请与小组进行交流．

已知：线段CD(如图) 求作：线段CD的垂直平分线

作法：1．分别以点C和D为圆心，分别以大于CD的二分之一长为半径作弧，

两弧相交于点A和B．

2．作直线AB．

直线AB就是线段CD的垂直平分线。

环节五：

【生】：从作法的第一步可知：AC=AD，BC=BD。

∴点A、B都在线段CD的垂直平分线上(线段垂直平分线的判定定理)．

∴AB就是线段CD的垂直平分线(两点确定一条直线)。

【生】：因为直线AB与线段CD的交点就是CD的中点，所以我们也可以用这种方法作线段的中点。或作线段的四等分点、八等分点、十六等分点等等。

拓展

思维拓展、知识升华：

【师】：请同学们思考如何作出已知线段的中点？

（分组练习，组内口述你的作法步骤。）进一步思考：如何作出线段的四等分环节六：

点、八等分点、十六等分点...呢？

展示成功作法，点评不足之处。（尺规或电子白板）

归纳小结、布置作业：投影片出示小结和作业

小结：

1、线段的垂直平分的性质定理及证明。

2、线段垂直平分线的判定定理及证明。

3、以上两个定理的区别与联系。

环节七：

4、学会用尺规作线段的垂直平分线。

5、知道作已知线段的中点、四等分点等的方法。

6、学会用两个定理进行简单的证明和计算。

师：本节课你有什么收获？还有那些困惑？与同学老师交流！

作业：习题1.6 根据自己情况选作A,B,C组

《线段的垂直平分线》

第一学时

性质定理及证明 画法 应用

判定定理及证明。

板书设计

定理的区别与联系。

用尺规作线段的垂直平分线。

作已知线段的中点、四等分点等的方法。（尺规或电子白板）

应用两个定理进行简单的证明和计算。

1、

利用实际问题情景，引出线段垂直平分线的性质，引起学生思考，激发学生

兴趣，使学生认识到实际生活中离不开数学。生活中处处有数学。

2、

让学生说明理由，目的是使学生认识到，运用数学知识解决问题时，每一步推

理都要有理有据，养成良好的学习习惯和科学、严谨的学习态度。

3、

写出证明过程，强调学生证明的书写格式要规范。推理严密，每一步推理都要

有根据，逻辑性强。

4、

通过合作交流，培养学生团结、合作的集体主义思想，从合作中提高自己的理

解，掌握，应用知识的能力。

5、

一题多解，学生用多种方法来证明命题结论的正确性，体会同一道题添加的辅

助线不同，解决问题时采取的策略也不同。培养学生多角度思考问题的能力。

课后反思

只是有的学生还是用全等的方法来证，较繁。说明应用等腰三角形的性质步骤

就简化多了，提醒学生在进行证明、计算时要多角度思考问题，先分析，找到

简洁的证明思路，然后再书写证明过程，养成良好的思维习惯。提高分析问题、

解决问题的能力。

6、举一反三，开阔学生的视野，拓展学生的思维。

通过拓展性训练和学习，旨在提高学生的分析问题和解决问题的能力，特别要让学生养成多画图，会识图的能力，使得知识、图形、内容、方法能有机结合起来，真正促进能力的提高。通过证明、计算、作图提高学生综合运用所学知识解决问题的能力。通过一题多解，促进学生多角度思考问题，开阔学生的视野。