多边形的外角和教案和学案内容

探索多边形的内角和与外角和 教学设计第（二）课时

教学设计思想

本节内容需二课时讲授；八年级的学生活泼、好奇，有较强的表现欲望，上课时注意力易分散，对数学概念、法则、规律的应用生搬硬套．针对学生这种特点，教师在教学中，应多创设生动、形象、实用、有趣的问题情境，引起学生好奇，产生兴趣，使学生产生渴望求知的愿望，积极参与教学过程．充分利用学生观察、发现、猜想、归纳、验证等一系列思维加工活动自主学习，在学生之间、师生之间互动的过程中与他人交流各自对问题的理解，解决问题的思路与方法，在交流中获得经验，在交流中思维得到发展，思维得以拓展．这样的学习使学生对数学的感受是真实的、亲切的、自然的，从而营造一个愉快的、轻松的学习氛围，真正使数学教学成为数学活动．按照这种思路，本节课课堂教学设计思路模式为：创设情境——引导探究——合作交流——课堂练习——归纳小结．

教学目标

（一）知识与技能

1．认识多边形的外角．

2．熟记多边形的外角和公式．

（二）过程与方法

1．经历探索多边形的外角和公式的过程．进一步发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系．

2．探索并了解多边形的外角和公式，进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力．

（三）情感、态度与价值观

培养学生勇于实践、大胆创新的精神和积极探求客观真理的科学态度，渗透数学中普遍存在的相互联系、相互转化及数学来源实践，又反过来作用于实践的观点．

教学重点

多边形的外角和公式及其应用．

教学难点

多边形的外角和公式的应用．

教学方法

探究式教学法．

教具准备

投影片．

教学过程

Ⅰ．巧设情景问题，引入课题

用心

爱心

专心

1

［师］大家清早跑步吗？小明每天坚持跑步，他怎样跑步呢？

清晨，小明沿一个五边形广场周围的小跑，按逆时针方向跑步．

（1）小明每从一条街道转到下一条街道时，身体转过的角是哪个角？在图中标出它们．

（2）他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？

（3）在上图中，你能求出∠1+∠2+∠3+∠4+∠5吗？你是怎样得到的？

［师］同学们来分组讨论，演示一下．

（学生6人一组，可实地做一做，让学生体会数学与现实生活的联系．）

［生甲］（1）小明每从一条街道转到下一街道时，身体转过的角（如图中）是∠1、∠2、∠3、∠4、∠5．

（2）我们五个人做为五边形的顶点，围成一个五边形，由××伴为小明进行跑步，跑完一圈后，他的身体转过的角度之和是360°．

（3）由上述知道：∠1，∠2，∠3，∠4，∠5分别是小明从一条街道转到下一条街道时，身体转过的角，而他跑一圈，身体转过的角度是360°，因此得

∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°．

［生乙］我们讨论的结果和甲同学的一样，只不过求∠1、∠2、∠3、∠4、∠5的和时，我们组是先画了一个如投影所示的五边形．然后把∠1、∠2、∠3、∠4、∠5这五个角剪下，将它们的顶点拼在一起，即各角的顶点重合，这时发现这五个角正好组成了一个周角．由此得到：

∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°．

［师］很好，下面大家来看小亮的思考：

如图所示，过平面内一点O分别作与五边形ABCDE各边平行的射线OA′、OB′、OC′、OD′、OE′，得到∠α、∠β、∠γ、∠δ、∠θ，其中：∠α=∠1，∠β=∠2，∠γ=∠3，∠δ=∠4，∠θ=∠5．

用心

爱心

专心

2

∠α、∠β、∠γ、∠δ、∠θ恰好组成一个周角．

这样，∠1、∠2、∠3、∠4、∠5的和等于360°．

［师］小亮也验证了大家得到的结论，好，大家看图，∠1、∠2、∠3、∠4、∠5不是五边形的角，那是什么角呢？它们的和叫什么呢？

［生］这五个角是五边形的外角，它们的和叫外角和．

［师］很好，我们这节课就来探讨多边形的外角、外角和．

Ⅱ．讲授新课

［师］那什么是多边形的外角、外角和呢？我们可类似三角形的外角定义来定义多边形的外角．

多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角（exterior angle）

在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和．

一般地，在多边形的任一顶点处按顺（逆）时针方向可作外角，n边形有n个外角．

那多边形的外角和是多少呢？我们来回忆一下：三角形的外角和为多少？

［生齐］360°

［师］好，刚才我们又研究了五边形的外角和，它为360°，那大家想一想

如果广场的形状是六边形、八边形．它们的外角和也等于360°吗？

（学生讨论，得出结论）

［生甲］我们通过讨论，演示得到：六边形的外角和是360°，八边形的外角和是360°．

用心

爱心

专心

3

［生乙］老师，能不能由此得出：多边形的外角和都等于360°呢？

［师］谁来解决这个问题呢？

［生丙］由五边形、六边形和八边形的外角和都等于360°，不能得出所有多边形的外角和都等于360°，只能是猜想：多边形的外角和都等于360°．

［师］能得证吗？

［生丁］因为多边形的外角与它相邻的内角是邻补角，所以，n边形的外角和加内角和等于n·180°，内角和为（n－2）·180°，因此，外角和为：n·180°－（n－2）·180°=360°．

［师］很好，由此我们得到了多边形的外角和公式

多边形的外角和都等于360°．

［师］由此可知，多边形的外角和与多边形的边数无关，它恒等于360°．下面大家来想一想、议一议

利用多边形外角和的结论，能不能推导多边形内角和的结论呢？

［生］可以，因为对于n（n是大于或等于3的整数）边形，每个顶点处的内角及其一个外角恰好组成一个平角．因此，n边形的内角和与外角和的和为n·180°，所以，n边形的内角和就等于n·180°－360°=n·180°－2×180°=（n－2）·180°．

［师］好，学完了外角和公式，现在我们来应用一下，以熟悉巩固外角和公式

［例1］一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？

分析：这是多边形的内角和公式与外角和公式的简单应用．根据题意，可列方程解答．

（让学生动手解答）

解：设这个多边形是n边形，则它的内角和是（n－2）·180°，外角和等于360°，所以：

（n－2）·180°=3×360°

解得：n=8 这个多边形是八边形．

［师］好，通过同学们的解答，知道大家基本掌握了多边形的外角和公式，接下来我们通过练习进一步巩固外角和公式．

Ⅲ．课堂练习

（一）课本P129随堂练习

1．一个多边形的外角都等于60°，这个多边形是n边形？

解：因为多边形的外角和等于360°，所以根据题意，可知道这个多边形的边数是：

360°÷60°=6

用心

爱心

专心

4

2．下图是三个完全相同的正多边形拼成的无缝隙不重叠的图形的一部分，这种多边形是几边形？为什么？

解：这种正多边形是正六边形，理由是：

设：这个正多边形的一个内角为x°，

则由题图得：3x=360°．

x=120°．

再根据多边形的内角和公式得：

n×120°=（n－2）×180°．

解得n=6 （二）试一试

11．是否存在一个多边形，它的每个内角都等于相邻外角的5？为什么？

解：不存在，理由是：

如果存在这样的多边形，设它的一个外角为α，则对应的内角为180°－α，于是：

15×α=180°－α，解得α=150°．

这个多边形的边数为：360°÷150°=2．4，而边数应是整数，因此不存在这样的多边形．

2．在四边形的四个内角中，最多能有几个钝角？最多能有几个锐角？

解：最多能有三个钝角，最多能有三个锐角．理由是：

设四边形的四个内角的度数分别为：α°，β°，γ°，δ°，则α+β+γ+δ=360°，α、β、γ、δ的值最多能有三个大于90°，否则α、β、γ、δ都大于90°．

α+β+γ+δ＞360°．

同理最多能有三个小于90°．

用心

爱心

专心

5

Ⅳ．课时小结

本节课我们探讨了多边形的外角及其外角和公式．知道多边形的外角和与多边形的边数无关，它恒等于360°，因而，求解有关多边形的角的计算题；有时直接应用外角和公式会比较简便．

Ⅴ．课后作业

（一）课本P130习题4.11 1、2、3 （二）1．预习内容：P132

2．预习提纲：

（1）什么是中心对称图形？

（2）中心对称图形的性质. Ⅵ．活动与探究

1．如图，六边形ABCDEF的每个内角都是120°，AF=AB=2，BC=CD=3，求DE、EF的长．

过程：让学生审清题意后，想性质，遇到120°时，想到60°，因为本题中六边形ABCDEF的每个内角都是120°，所以可延长相对的边，得到一个等边三角形，由等边三角形的各边长相等，可列方程解得．

解：把边AB、CD、EF向两方延长，分别交于X、Y、Z．

由六边形ABCDEF的每个内角都是120°，得△XYZ是等边三角形，△AFX、△BCY、△DEZ也是等边三角形．

设：EF为x，DE为y，则可得

33y332yx2322

解得x=4，y=1 因此，EF的长为4，DE的长为1．

2．在平面上有且只有四个点，这四个点有一个独特的性质：每两点之间的距离有且只有两种长度．例如：正方形ABCD（如图），有AB=BC=CD=DA≠AC=BD．请画出具有这种独特性质的另外四种不同的图形，并标明相等的线段．

用心

爱心

专心

6

过程：通过学生画图，进一步使其掌握四边形的性质．

结果：图形如下：

AB=AD=DC，BC=BD=AC AB=BC=CA，OA=OB=OC AB=BC=CD=DA=BD≠AC

用心

爱心

专心

7

OA=OB=OC=BC，AB=AC

AB=AC=AD=BD，BC=CD 板书设计

探索多边形的内角和与外角和（二）

一、多边形的外角

二、多边形的外角和公式

多边形的外角和都等于360°

三、议一议

例1（性质的应用）

四、课堂练习

五、课时小结

六、课后作业

用心

爱心

专心

8