多边形的外角和第一课时教学实录

人民教育出版社八年级上册

11.3.3多边形的外角和

重庆市第五十中学校

焦攀

一、内容和内容解析

1.内容

本节课是人民教育出版社八年级上册第十一章三角形的最后一节课，主要内容包含多边形的外角与多边形的外角和等概念及多边形外角和等于360°. 2.内容解析

本节内容是多边形内角和知识的延展和升华，并且在探索学习过程中又与三角形相联系，前面的知识为后面的知识做了铺垫，联系性比较强，特别是教学中设计了现实情境，体现了课改的精神，强调使学生经历探索、猜想、归纳等过程，回归多边形的几何特征，而不是硬背公式，发展了学生的合情推理能力. 二、教学目标

基于以上的教学内容分析，拟定如下教学目标. 目标（1）：明确多边形的外角和多边形的外角和的概念. 目标（2）：能通过不同方法探索多边形的外角和，体会数学方法的多样性并体验猜想

得到证实的成功喜悦和成就感. 目标（3）：经历探索多边形外角和的过程，发现、证明多边形外角和定理，进一步发

展学生的说理能力与推理能力. 三、教学问题诊断

在前面的学习中，学生已经掌握了多边形的内角和公式，对于如何探究多边形内角和的问题有了一定的认识，因此对于学习本节内容的知识条件已经成熟，但是学生对外角和的概念很陌生，为了使同学们更能掌握本节课的内容，而不是死记硬背，所以笔者把本节课设计成一节探究活动课.

四、教学重难点

通过内容分析与教学问题诊断，得出本节课的教学重难点是：理解多边形外角和的概念，掌握多边形外角和定理的推导. 五、教学过程设计

1.创设情境

问题1：清晨，小明沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步.思考下列问题：

（1）这个五边形广场内角和是多少度？

（2）小明每从一条街道转到下一条街道时，身体转过的角是哪个角？

（3）在图中，∠1，∠2，

∠3，

∠4，∠5的和叫做什么？

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设计意图：问题（1）的设置，既能对上节所学知识的复习巩固,为本节新内容做好铺垫,问题（2）、（3）利用生活情境，引入课题，激发学生的兴趣和积极性，并感受生活中数学的存在，体验数学的应用价值.

2.自主学习

请认真阅读教材（P22——P23）回答下列问题：

（1）什么是多边形的外角？

（2）多边形的每个顶点处会产生几个外角呢？

（3）什么是多边形的外角和？

设计意图：通过自主学习，掌握多边形外角与多边形外角和的概念，从而为探究多边形外角和定理做铺垫

3.合作探究

问题2：观察下图，请同学们猜猜看∠1，∠2，

∠3，

∠4，∠5的和等于多少？并验证你的猜想.

请同学们进行分组讨论，探究五边形外角和等于多少？

主要方法：度量法、剪拼法、旋转法、平移法、计算法. （1）度量法：分别测量出∠1，∠2，

∠3，

∠4，∠5的度数，

∵∠1=71°，∠2=74°，

∠3=68°，

∠4=81°，∠5=66°

∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°

（2）剪拼法：将∠1，∠2，

∠3，

∠4，∠5分别用剪刀剪下来，再把5个角拼到一起，正好拼成一个周角，从而得出∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°

2

（2）旋转法：

从五边形的一个顶点A出发，沿五边形的各边走过各顶点，最后再回到点A，在整个行驶过程中，所转过的各个角度之和就是五边形的外角和，由于正好转了一周，所以转过的各个角度之和正好就等于一个周角，即多边形的外角和等于360°

（可以请同学到讲台上进行表演）

（4）平移法

在五边形的外面取一点P，过P作AB的平行线，过P作BC的平行线，过P作CD的平行线，过P作DE的平行线，过P作EA的平行线，实际上就是把5个角平移到P点，从而形成一个周角，得出∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°.

3

（5）计算法

五边形的任何一个外角加上与它相邻的内角都等于180°，五边形的5个外角加上与它相邻的5个内角，所得总和为5×180°.这个总和就是五边形的内角和加上五边形的外角和，所以外角和就等于总和减去内角和，即：

因为

∠1+∠6=180°，

∠2+∠7=180°，

∠3+∠8=180°，

∠4+∠9=180°，

∠5+∠10=180°，

所以（∠1+∠2+∠3+∠4+∠5）+（∠6+∠7+∠8+∠9+∠10）=5×180°

（∠1+∠2+∠3+∠4+∠5）=5×180°-（∠6+∠7+∠8+∠9+∠10）

（∠1+∠2+∠3+∠4+∠5）=5×180°-3×180°

所以 ∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°

变式训练：如果图形是n边形，以上结论还成立吗？

类似地，n边形的任何一个外角加上与它相邻的内角都等于180°，n边形的n个外角加上与它相邻的n个内角，所得总和为n×180°.这个总和就是n边形的内角和加上n边形的外角和，所以外角和就等于总和减去内角和，即：

4

因为

∠1+∠1’=180°，

∠2+∠2’=180°，

∠3+∠3’=180°，

...... ∠n+∠n’=180°，

所以（∠1+∠2+∠3+...+∠n）+（∠1’+∠2’+∠3’+...+∠n’）=n×180°

（∠1+∠2+∠3+...+∠n）=n×180°-（∠1’+∠2’+∠3’+...+∠n’）

（∠1+∠2+∠3+...+∠n）=n×180°-（n-2）×180°

所以 ∠1+∠2+∠3+...+∠n=360°

结论：多边形的外角和等于360°（注意：多边形的外角和与边数无关）

设计意图：学生通过小组合作交流、自主探究，形成不同的解决五边形外角和问题的方法，培养学生的发散思维，教师再通过多媒体形象直观的展示各种方法，为研究n边形外角和作好铺垫，最后通过类比得出多边形外角和定理.本环节是这节课的重点，重在让学生参与到教学活动中来，经历探究多边形外角和的过程，积累探究经验.活动的设计是以问题解决为核心，使探究活动有序有法. 4.巩固练习

（1）一个十五边形的外角和是_____. （2）已知一个多边形的内角和与它的外角和相等，则多边形为_____边形. （3）一个正多边形的每个内角都等于150°，则多边形的边数是_____. （4）小明和同学做游戏，规则是从某点向前走20米，左拐30°，再向前走20米，再左拐30°，如此下去，小明能回到出发点吗？若能回到出发点，小明共走了多少米？

设计意图：通过巩固练习使学生进一步理解并掌握多边形的外角和，并能够运用所学知识解决多边形外角的相关实际问题，体会数学在生活中的应用价值.

5.课堂小结

回顾本节课所学的主要内容，回答以下问题：

（1）本节课你学到了哪些知识？ （2）本节课你用到了哪些数学方法？

（3）在本节课的学习后还有哪些困惑？

设计意图：及时小结，帮助学生梳理本节课的教学内容，理解多边形外角和为360°与多边形的边数无关. 6.布置作业

作业（1）：教科书P24 练习

第1、2、3题 作业（2）：课后查阅相关资料，找出验证五边形外角和的其他方法，明天分享给大家.

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结束语

人生就像是一个多边形，希望同学们努力前行，无论你经历了多少的曲折，都能成就一个圆满的360度.

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