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第四章几何图形初步小结与复习学案

【复习目标】: 1.认识一些简单的几何体的平面展开图和三视图，初步培养空间观念和几何直观。

2.

掌握直线、射线、线段、角这些基本图形的概念、性质、表示方法和画法

3.

初步学会应用图形与几何的知识解释生活中的现象并解决简单的实际问题

【复习重点】: 线段、射线、直线、角的性质和运用

【复习难点】:角的运算与应用；空间观念建立和发展；几何语言的认识与运用。

一、知识结构

点、线、面、体

从不同方向看立体图形

立体图形

平面图形

几展开立体图形

何图线段大小的比较

形

直线、射线、线段

两点确定一条直线

平面图形

两点之间、线段最短

角的度量

角

角的大小比较与运算

角的平分线

余角和补角

等（同)角的补角相等

等（同)角的余角相等

二、回顾与思考

（一）多姿多彩的图形 :棱柱、圆柱



： :棱锥、圆锥

1、几何图形  : 圆台、棱台

 ：三角形、四边形、圆等。

（正）视图---------从 面看2、几何体的三视图 

视图--------------从 边看

俯视图-------------------从 面看

（1）会判断简单物体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图。

（2）能根据三视图描述基本几何体或实物原型。

3、立体图形的平面展开图

（1）同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平面图形不一样的。

（2）了解直棱柱、圆柱、圆锥、的平面展开图，能根据展开图判断和制作立体模型。

4、点、线、面、体

（1）几何图形的组成

点：线和线相交 ，它是构成图形最基本________。

线：面和面相交 ，线分为 线和 线。

面：包围着体的是 ，面分为 面和 面。

体：几何体也简称 。

（2）点动成线，线动成面，面动成体。

练习 1、写出图中各立体图形的名称。

答：① ，② ，③ ，④ ，⑤ 。 2、如图，讲台上放着一本书，书上放着一个粉笔盒，画出分别从三个方向看到的图形(三视图）。

3、是一个几何体的实物图，从正面看这个几何体，得到的平面图形是（

）

A B C D

4、将两个大小完全相同的杯子（如图1-甲）叠放在一起（如图1-乙），则从上往下看图乙，得到的平面图形是（

）

5、动手画一画，你能根据这三个方向看到的平面图形，由 个正方体组成的。

从正面看

从上面看

从左面看

6、如右图,是一个正方体的平面展开图, 则图中“前”字所在面的对面所标的字是

7、下列图形不是正方体展开图的是〔 〕

D

ABC1

8．如图，左边这个几何体的展开图可以是（

）

ABCD

(1)__________,(2)_9.根据下列多面体的平面展开图,填写多面体的名称。

7.两点间的距离

连接两点 叫两点的距离。

8.点与直线的位置关系

（1）点O在直线a上，也叫做 （2）直线b不经过点C也叫做 。

练习

1.如图所示，有 条直线，有 条射线 有 条线段，分别是 D A B C 2.如图4所示，已知三点A，B，C，按照下列语句画出图形。

（1）画直线AB,直线CD,相交与点E （2）画射线AC，射线BD，相交与点F （3）画线段BC,连接AD，相交与O点 （4）延长线段AD至点G，使DG=2AD （1）

（2）

（3）

（4）

_________,(3)_________（4）_________

10．如图，5个边长都为1㎝的正方体摆在桌子上，则露在表面的部分的面积是_______．

（二）直线、射线、线段

1.基本概念

名称

直线

图像

射线

线段

表示

1.

2.

3.1.射线AB 2.

1.

2.

3.

延伸

端点

向

端无

限延伸

向

端无限延伸

度量

3.木工师傅画直线时，将一条沾有墨汁的细绳两端拉紧并固定，然后拿起绳子轻轻一弹即可，这是因为 4.把一段弯曲的公路改为直道，可以缩短路程。其理由是：（ ）

（A）两点之间，线段最短 （B）两点确定一条直线

（C）线段有两个端点 （D）线段可以比较大小

5.已知点A，B，C三个点在同一直线上，若线段AB=9cm,BC=4cm,则AC= . 6.如图，已知点B是线段AD的中点，点C是线段BD的中点，CD=2.5厘米，

则线段BD= ，AC= ，AD= 7.如图，点M是线段AB的中点，点N是线段CD的中点，且AB=3，CD=4，BC=1，求线段MN的长度

不可延伸

2.直线的性质

经过两点有一条直线， 一条直线。

简单地： 直线。

3.画一条线段等于已知线段 （1）度量法 （2）用尺规作图法4、线段的大小比较方法 4.线段的大小比较方法 （1） 法 （2） 法

5.线段的中点（二等分点）、三等分点、四等分点等

中点：把一条线段平均分成两条相等线段的点。

图形：

（三）角

1.角：有公共端点的 所组成的图形叫做角。

2.角的表示法（四种）： 3.角的度量单位及换算：1°=____′=____″ 1周角= 平角= 直角= °

4.角的分类

A M B 符号：若点M是线段AB的中点，则AM= = AB，AB= AM= BM。

几何推理：___________________________________________________. 6.线段的性质

两点的所有连线中，线段最短。简单地说： 。

∠β

范围

锐角

直角

钝角

90°＜∠β＜180°

平角[来源:学科网ZXXK]

周角

∠β=360°

0＜∠β＜90°

∠β=90°

∠β=180°

5.角的比较方法

（1） 法

（2） 法

2

6.方位角：表示方向的角，它是指方向线与目标方向线之间所夹的锐角．习惯上把南或北写在前面表示方向线，东西写在后表示目标线．如：南偏西30°. 7.角的平分线

定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的

两个角的 叫做角的平分线。

图形：

符号：若射线OC是∠AOB的平分线，则∠AOC=_______=________或∠AOB=______=________. 几何推理：_____________________________________________________________________. 8.互余、互补

（1）若∠1+∠2= °，则∠1与∠2 余角。

（2）若∠1+∠2= °，则∠1与∠2 补角。

（3）余（补）角的性质：等(同)角的补（余）角相等。

练习

1.如图，有 个角，分别是 11.钟表在5点半时，它的时针与分针所成的锐角是（ ）

A．70° B．75° C．15° D．90°

12.如图，将三个同样的正方形的一个顶点重合放置，那么∠1的度数为______．

13.（1）在右图中作出符合下面要求的射线：

①用射线OA表示南偏东60°；

②用射线OB表示南偏西70°；

（2）射线OC表示

方向；

射线OD表示

方向

提升练习

类型一、概念或性质的理解

1.判断题

⑴射线AB与射线BA表示同一条射线( ) ⑵连结两点的线段叫做两点之间的距离( ) ⑶平角是一条直线( ) ⑷若∠1+∠2=90°,∠1+∠3=90°,则∠2=∠3 ( ) ⑸两点确定一条直线( )

⑹两点之间，直线最短( ) ⑺等角的余角相等( )

⑻等角的补角相等( )

⑼延长射线OA( ) ⑽直线比射线长，射线比线段长( ) ⑾如果线段PA=PB，则点P是线段AB的中点( )

⑿若∠1+∠2+∠3=90°，则∠1，∠2，∠3互余( ) ⒀互补的两个角一定是一个锐角和一个钝角( )

类型二、立体图形与平面图形的相互转化

1．如图所示，是每个面上都有一个汉字的正方体的一种展开图，那么在原正方体的表面上，与“看”相对的面上的汉字是

(

) .

A．南

B．世

C．界

D．杯

2.下面形状的四张纸板，按图所示的线经过折叠可以围成一个直三棱柱的是(

)．

2.计算：30.26°=____ °____′____″； 18°15′36″ = °；

36°56′+18°14′= ； 108°- 56°23′ =________；

27°17′×5 = ； 15°20′÷6 = （精确到分）

253.60°=____平角

；直角=______度；周角=______度。

364.已知∠α=12°12′，∠β=12.12°，∠γ=12.2°，则下列结论正确的是（

）

A．∠α=∠β

B．∠α＜∠β

C．∠α=∠γ

D．∠β＞∠γ

5.角的平分线：如图，OC平分∠AOB 若∠BOC=35°，则∠AOB= ；若∠AOB=86°，则∠AOC= 6.两角的关系：

（1）已知∠α=42°，则∠α的余角是 （2）已知∠1=35°28′40″，则∠1的补角是 （3）如果∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，则∠2 ∠3 （4）如图，若∠1=50°，则∠2= ，∠3= 7.下列说法正确的是（

）

（A）有公共端点的两条射线叫做角

（B）角的边的长短，决定了角的大小；

（C）互余且相等的两个角都是45°的角；

（D）若两个角互补，则其中一定有一个角是钝角

8.如果∠α和∠β互补，且∠α＞∠β，则下列表示∠β的余角的式子中：①90°﹣∠β；②∠α﹣90°；③180°﹣∠α；④

3.如图所示，它们的平面展开图是由5个大小相同的正方形组成，其中沿正方形的边不能折成无盖小方盒的是(

)．

1（∠α﹣∠β）．正确的是（

）

2

4.沿圆柱体上底面直径截去一部分后的物体如图所示，它的俯视图是(

)．

3 A．①②③④

B．①②④

C．①②③

D．①②

9.已知有共公顶点的三条射线OA、OB、OC，若∠AOB=1200，

∠BOC=300，则∠AOC=_________

10.如图，B、O、C在同一条直线上，OE平分∠AOB，DO平分∠AOC，则∠EOD=_______．

5.如图，是由一些完全相同的小立方块搭成的几何体的三种视图，那么搭成这个几何体所用的小立方

块的个数是（ ）

A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个

类型三、度分秒的有关计算

1、57°30′-27.5° 2、100°15′-79°26′38″

3、50°24′35″×3 4、49°28′52″÷4

类型四、互余互补的有关计算

1.一个角的余角是它的补角的14，则这个角等于_______度. 2.如图所示的4×4正方形网格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7等于(

)

A．330°

B．315°

C．310°

D．320°

3.如图，将矩形纸片ABCD折叠，使边AB、CB均落在对角线BD上，得折痕BE、BF，则∠EBF=_____．4.如图所示，AB和CD都是直线，∠AOE=90°，∠3=∠FOD，∠1=27°20′，求∠

2，∠3．

5.如图，已知O为AD上一点，∠AOC与∠AOB互补，OM，ON分别为∠AOC，∠AOB的平分线，若∠MON=40°，试求∠AOC与∠AOB的度数．

6.如图，一副三角板的两个直角顶点重合在一起．

（1）若∠EON=130°，求∠MOF的度数；（2）比较∠EOM与∠FON的大小，并写出理由；

（3）求∠EON+∠MOF的度数．

(4)固定∠EOF不动，将∠MON绕点O转动一定的角度，使这副三角板之间没有重叠部分，这时∠EON+∠MOF的大小发生改变吗？请画出图形，说明理由

类型五、方位角

1.用A、B、C分别表示学校、小明家、小红家，已知学校在小明家的南偏东25°，小红家在小明家正东，小红家在学校北偏东35°，则∠ACB等于(

)

A．35°

B．55°

C．60°

D．84°

2.考点办公室设在校园中心O点，带队老师休息室A位于O点的北偏东45°，某考室B位于O点南偏东60°，请在图(1)中画出射线OA、OB，并计算∠AOB的度数．

类型六.钟表上的角

4.小华是个数学迷，最近他在研究钟面角（时针与分针组成的角）问题，他想和大家一起来讨论相关问题．

（1）分针每分钟转

，时针每分钟转

°；

（2）12：00整，时针和分针在同一直线上，至少经过多长时间会再次出现时针和分针在同一直线上的现象？此时，时针和分针各转动了多少度？

（3）钟表在12点钟时三针重合，经过多少分钟秒针第一次将分针和时针所夹的锐角平分？

类型七、利用数学思想方法解决有关线段或角的计算

(一)方程的思想方法

1.

如图所示，在射线OF上，顺次取A、B、C、D四点，使AB:BC:CD=2:3:4，又M、N分别是AB、CD的中点，已知AD=90cm，求MN的长．

4

2.如图所示，已知∠AOC=∠BOD=100°，且∠AOB:∠AOD=2:7，求∠BOC和∠COD的度数．

3.如图所示，B、C是线段AD上的两点，且CD32AB，AC=35cm，BD=44cm，求线段AD的长．

4.如图所示，已知∠COB=2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD=19°，求∠AOB的度数．

二）分类的思想方法

1.下列判断正确的个数有

(

)个

①已知A、B、C三点，过其中两点画直线一共可画三条

②过已知任意三点的直线有1条

③三条直线两两相交，有三个交点

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3 2.已知线段AB=8cm，在直线AB上画线段BC=3cm，则线段AC的长为___________．

3.已知∠AOB=50°,

∠AOC=30°,则∠BOC=___________.

4.

同一直线上有A、B、C、D四点，已知AD=59DB，AC=95CB，且CD=4cm，求AB的长．

（三）类比的思想方法

1.(1)如图,线段AD上有两点B、C,图中共有______条线段.

（2）如果同一直线上有n个点，则线段的条数 ．射线的条数 ．

(3)如图，在∠AOD的内部有两条射线OB、OC，则图中共有 个角.

（4）在锐角∠AOB内，以O为端点的射线有n条(包括射线OA.OB)，则有 个角。

（5）过两点最多可以画1条直线（1=122）；过三点最多可以画3条直线（3=232）；

过四点最多可以画_______条直线；过同一平面上的n个点最多可以画________条直线．

（6）乘火车从A站出发，沿途经过6个车站方可到达B站，那么在A、B两站之间共需要安排不同的车票__________种．（友情提示：A站到B站与B站到A站车票不同．）

2．已知如图

(1)如图（1），两条直线相交，最多有______个交点．

如图（2），三条直线相交，最多有_________个交点．

如图（3），四条直线相交，最多有_________个交点．

如图（4），五条直线相交，最多有___________个交点；

（2）归纳，猜想，30条直线相交，最多有

个交点．

(3)n条直线相交最多有______________个交点.

3．（1）如图，点C在线段AB上，AC = 8 cm，CB = 6 cm，点M、N分别是AC、BC的中点，求线段MN的长；

（2）若C为线段AB上任一点，满足AC + CB = a cm，其它条件不变，你能猜想MN的长度吗？并说明理由。

（3）若C在线段AB的延长线上，且满足AC—BC = b cm，M、N分别为AC、BC的中点，你能猜想MN的长度吗？请画出图形，并说明理由。

AMCNB

4.

如图，（1）∠AOB是直角，

∠AOC=50°,ON是∠

AOC的平分线，OM是∠

BOC的平分线。

求∠MON的大小？

（2）当∠

AOC= α

时，

∠MON等于多少度？

B （3) 当∠

BOC=β，

∠MON等于多少度？

M （4）从（1）（2）（3）中的结果中能得到什么规律？

O A

N

C

5

类型八.几何实验操作与探究

1．（1）将一张长方形纸片按如图1所示的方式折叠，BC、BD为折痕，求∠CBD的度数；

（2）将一张长方形纸片按如图2所示的方式折叠，BC、BD为折痕，若∠A′BE′=50°，

求∠CBD的度数；

（3）将一张长方形纸片按如图3所示的方式折叠，BC、BD为折痕，若∠A′BE′=α，请直接写出∠CBD3. 点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC=65°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处．

（1）如图①，将三角板MON的一边ON与射线OB重合时，则∠MOC=__________；

（2）如图②，将三角板MON绕点O逆时针旋转一定角度，此时OC是∠MOB的角平分线，求旋转角∠BON=__________；∠CON=____________．

（3）将三角板MON绕点O逆时针旋转至图③时，∠NOC=5°，求∠AOM．

的度数（用含α的式子表示）

2.如图，已知A、B、C是数轴上的三点，点C表示的数是6，BC=4,AB=12. (1)

写出数轴上点A、B表示的数；

(2)

动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速移动，

点Q以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速移动，M为AP的中点，点N在线段CQ上，且

.设运动时间为t（t>0）秒CN1. 3CQ①求数轴上点MN表示的数（用含t的式子表示）；

②t为何值时，原点O恰为线段PQ的中点。

A O B

C

4．已知点O是AB上的一点，∠COE=90°，OF平分∠AOE．

（1）当点C，E，F在直线AB的同侧（如图1所示）时，若∠AOC=40°，求∠BOE和∠COF的度数，∠BOE和∠COF有什么数量关系？

（2）当点C，E，F在直线AB的异侧（如图2所示）时，若∠AOC=β，那么（1）中∠BOE和∠COF的数量关系的结论是否仍然成立？请给出你的结论，并说明理由；

（3）将图2中的射线OF绕点O顺时针旋转m°（0＜m＜180），得到射线OD．设∠AOC=n°，若∠BOD=（60﹣n）°，则∠DOE的度数是多少？（请用含n的式子直接写出结果）

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