——去分母解一元一次方程（2）教学设计(教案)

21.3 实际问题与一元二次方程（第1课时）

导学探究

阅读教材P19，回答下列问题:

1.假设某种流感，若每轮传染中，平均一个人传染3个人.

(1)现在有一人患流感，那么患流感的这个人在第一轮传染中，传染了_____人，第一轮传染后，共有_______人患了流感.

(2)在第二轮传染中，传染源是____人，这些人中每个人又传染了人，那么第二轮新传染了________人.第二轮传染后，共有________人患了流感.

2.假设某种流感，若每轮传染中，平均一个人传染x个人.

(1)现在有一人患流感，那么患流感的这个人在第一轮传染中，传染了_____人，第一轮传染后，共有_______人患了流感.

(2)在第二轮传染中，传染源是______人，这些人中每个人又传染了人，那么第二轮新传染了________人.第二轮传染后，共有________人患了流感.

3.回忆、类比:用一元一次方程解决问题有哪些步骤?关键是什么? 你能类比出用一元二次方程解决问题的步骤吗?

归纳梳理

1.列一元二次方程解应用题的步骤: 审、设

、找、列、解、检、答.

2.循环比赛问题:

(1)若n(n≥2)支球队进行单循环比赛(每两支球队之间只比赛一场)，一共需要进行_______场比赛; (2)若n(n≥2)支球队进行双循环比赛(每两支球队之间主客场比赛两场)，一共需要进行________场比赛.

典例探究

【例1】（2014秋•剑阁县校级期中）“埃博拉”病毒是一种能引起人类和灵长类动物产生“出血热”的烈性传染病毒，传染性极强，一日本游客在非洲旅游时不慎感染了“埃博拉”病毒，经过两轮传染后，共有121人受到感染，

（1）问每轮传染中平均一个人传染了几个人？

（2）如果得不到控制，按如此的传播速度，经过三轮后将有多少人受到感染？

总结：

传播问题的基本特征是：以相同速度逐轮传播. 解决此类问题的关键是：明确每轮传播中的传染源个数，以及这一轮被传染的总数．

练1．（2014秋•集美区校级期末）为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，依此类推，已知经过两轮传播后，共有111人参与了传播活动，则n的值是多少？

【例2】

市体育局要组织一场篮球联赛，赛制为单循环形式，即每两球队之间都比赛一场，计划安排15场比赛，应邀请多少支球队参加比赛?

总结: n(n≥2)支球队进行单循环比赛，共需要进行1n(n-1)场比赛. 2练2．（2015•山西模拟）九（1）班同学毕业的时候，每人都必须与其他任何一位同学合照一张双人照，全班共照相片780张，则九（1）班的人数是（

）

A．39

B．40

C．50

D．60

夯实基础

1．（2015•兰州二模）有一人患了流感，经过两轮穿然后共有49人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x人，则x的值为（

）

A．5 B．6 C．7 D．8

2.（2015•东西湖区校级模拟）卫生部门为了控制前段时间红眼病的流行传染，对该种传染病进行研究发现，若一人患了该病，经过两轮传染后共有121人患了该病．若按这样的传染速度，第三轮传染后我们统计发现有2662人患了该病，则最开始有（

）人患了该病．

A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】首先设每轮一人传染了x人，根据题意可得：第一轮患病的人数为1+1x传播的人数；第一轮患病人数将成为第二轮的传染源，第二轮患病的人数为第一轮患病的人数×传播的人数，等量关系为：第一轮患病的人数+第二轮患病的人数=121求得每轮被传染的人数，然后代入求得结果即可．

【解答】解：设每轮一人传染了x人，由题意得：

1+x+（1+x）×x=121，

2（1+x）=121，

∵1+x＞0，

∴1+x=11，

x=10．

∴每轮一人传染了10人；

设最开始有y人被传染，则根据题意得：

y+10y+10（y+10y）+10[y+10y+10（y+10y）]=2662，

解得：y=2．

故选B．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，有关传染问题是一个一元二次方程的老问题，有着广泛的应用，求得每轮传染的人数是解答本题的关键.

3．（2014春•信州区校级月考）有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，如果不及时控制，第三轮将又有________人被传染．

4．（2014•襄阳区校级模拟）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？

5（2014•东海县模拟）有一人患流感，经过两轮传染后，共有49人患了流感．

（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？

（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？

典例探究答案：

【例1】（2014秋•剑阁县校级期中）“埃博拉”病毒是一种能引起人类和灵长类动物产生“出

血热”的烈性传染病毒，传染性极强，一日本游客在非洲旅游时不慎感染了“埃博拉”病毒，经过两轮传染后，共有121人受到感染，

（1）问每轮传染中平均一个人传染了几个人？

（2）如果得不到控制，按如此的传播速度，经过三轮后将有多少人受到感染？

分析：（1）设每轮传染中平均每人传染了x人，根据经过两轮传染后共有121人患病，可求出x，

（2）进而求出第三轮过后，又被感染的人数．

解答：解：（1）设每轮传染中平均每人传染了x人，

1+x+x（x+1）=121，

x=10或x=﹣12（舍去）．

答：每轮传染中平均一个人传染了10个人；

（2）121+121×10=1331（人）．

答：第三轮后将有1331人被传染．

点评：本题考查了一元二次方程的应用，先求出每轮传染中平均每人传染了多少人是解题关键．

练1．（2014秋•集美区校级期末）为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，依此类推，已知经过两轮传播后，共有111人参与了传播活动，则n的值是多少？

2分析：设邀请了n个好友转发倡议书，第一轮传播了n个人，第二轮传播了n个人，根据两轮传播后，共有111人参与列出方程求解即可．

解答：解：由题意，得

2n+n+1=111，

解得：n1=﹣11（舍去），n2=10．

故n的值是10．

点评：本题考查了一元二次方程的应用，解答时先由条件表示出第一轮增加的人数和第二轮增加的人数，根据两轮总人数为111人建立方程是关键．

【例2】

市体育局要组织一场篮球联赛，赛制为单循环形式，即每两球队之间都比赛一场，计划安排15场比赛，应邀请多少支球队参加比赛? 【解析】计算n支球队进行单循环比赛(每两队之间只赛一场)的总场数P，可这样来考虑:由于单循环赛中每一支球队都和其他的球队进行一场比赛，即每一支球队比赛(n-1)场，n个球队应赛n(n-1)场，但两个队之间只需比赛一场，故实际进行比赛的总场数P=为不小于2的整数）

解答：设应邀请n支球队参加比赛,则1n(n-1)（n21n(n-1)=15 2[答案】6支

练2．（2015•山西模拟）九（1）班同学毕业的时候，每人都必须与其他任何一位同学合照一张双人照，全班共照相片780张，则九（1）班的人数是（

）

A．39

B．40

C．50

D．60 解：设九（1）班共有x人，根据题意得：

x（x﹣1）=780，

解之得x1=40，x2=﹣39（舍去），

答：九（1）班共有40名学生．

故选B．

夯实基础答案

1．（2015•兰州二模）有一人患了流感，经过两轮穿然后共有49人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x人，则x的值为（

）

A．5

B．6

C．7

D．8 解：根据题意得：1+x+x（1+x）=49，

解得：x=6或x=﹣8（舍去），

则x的值为6．

故选：B．

2.（2015•东西湖区校级模拟）卫生部门为了控制前段时间红眼病的流行传染，对该种传染病进行研究发现，若一人患了该病，经过两轮传染后共有121人患了该病．若按这样的传染速度，第三轮传染后我们统计发现有2662人患了该病，则最开始有（

）人患了该病．

A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】首先设每轮一人传染了x人，根据题意可得：第一轮患病的人数为1+1x传播的人数；第一轮患病人数将成为第二轮的传染源，第二轮患病的人数为第一轮患病的人数×传播的人数，等量关系为：第一轮患病的人数+第二轮患病的人数=121求得每轮被传染的人数，然后代入求得结果即可．

【解答】解：设每轮一人传染了x人，由题意得：

1+x+（1+x）×x=121，

2（1+x）=121，

∵1+x＞0，

∴1+x=11，

x=10．

∴每轮一人传染了10人；

设最开始有y人被传染，则根据题意得：

y+10y+10（y+10y）+10[y+10y+10（y+10y）]=2662，

解得：y=2．

故选B．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，有关传染问题是一个一元二次方程的老问题，有着广泛的应用，求得每轮传染的人数是解答本题的关键.

3．（2014春•信州区校级月考）有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，如果不及时控制，第三轮将又有_______人被传染．

解：设一个患者一次传染给x人，由题意，得

x（x+1）+x+1=81，

解得：x1=8，x2=﹣10（舍去），

第三轮被传染的人数是：81×8=648人．

故答案为：648．

4．（2014•襄阳区校级模拟）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？

解：设每个支干长出的小分支的数目是x个，

2根据题意列方程得：x+x+1=91，

解得：x=9或x=﹣10（不合题意，应舍去）；

∴x=9；

答：每支支干长出9个小分支．

5（2014•东海县模拟）有一人患流感，经过两轮传染后，共有49人患了流感．

（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？

（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？

解：（1）设每轮传染中平均每人传染了x人，

1+x+x（x+1）=49 x=6或x=﹣8（舍去）．

答：每轮传染中平均一个人传染了6个人；

（2）49×6=294（人）．

答：第三轮将又有294人被传染．