分式的基本性质应用：约分、通分教学设计实例

芳草地国际学校富力分校

课时教案-4稿

教案郭文征

编号

课题

教材背景分析

学情分析

教学目标

教学重点

教学难点

教学方法

教学手段

学生课堂自主学习内容

课前准备

授课班级

八年级

学科

数学

15.1.2分式的基本性质

授课日期

授课类型

2015年

月

日

新授课

“分式的基本性质（第1课时）”是人教版八年级数学上册第十五章第一节“分式” 的重点内容之一.是在小学学习了分数的基本性质的基础上进行的，是分式变形的依据，也是进一步学习分式的通分、约分及四则运算的基础.学生掌握本节内容也是学好本章及以后学习方程、函数等问题的关键，对后续学习有重要影响. 在学习本节课之前，学生原有的知识是分数的基本性质的运用.八年级学生一方面可能会对原有知识有所遗忘，通过教师的引导，能够激活原有知识；另一方面，八年级学生已经具备了一定的归纳总结能力，那么类比分数的性质，让学生归纳出分式的基本性质，同时灵活运用分式的基本性质就是本节内容要突破的难点. 知识与技能：掌握分式的基本性质，会灵活运用“性质”进行分式的恒等变形. 过程与方法：通过类比、探索分数的基本性质，探索分式的基本性质，初步掌握类比的思想方法，积累数学活动经验. 情感态度价值观：通过研究解决问题的过程，体验合作的快乐和成功，培养与他人交流的能力，增强合作交流的的意识. 分式的基本性质的应用，将分式恒等变形为“标准分式”. 分子分母是复杂多项式的分式恒等变形. 类比、探究、归纳

多媒体辅助教学

PPT 第

1

页

共

6 页

教学过程

教学环节

一、复习巩固

教学内容

3153学生活动

设计意图

通过分【师】请同学们考虑：与20相等吗？

8与49相等吗？为什么？

241.学生说出与之间42039变形的过程，8与24之315数的回忆与复习，让学生产生熟悉

间变形的过程，并说出感，并能够

分数的基本性质：一个分数的分子、变形依据. 导入

在接下来分分母乘（或除以）同一个不为0的数，分

2.学生说出分数的基本式的学习中

数的值不变. 性质. 符号语言：

产生联想. 3.学生说出小学学习的分数基本性质的符号语言.

1.

学生猜想结果. 预设：相等

2.

学生尝试用自己的语言说出猜想的依据. 预设：

发展学生的类比思想和独立归纳的能力；同时强化“字母可以表示数，也可以是式子”.

一方面提高学生对分式基本性质的认识，另一方面通过师生归纳，进一步加深对分式提问：你还记得分数的基本性质么？

aamamm0

bbmbm（a、b为整数，m为不等于零的整数）

教学活动

二、类比探究

m1

问题一：分式与相等么？

mnn分式b1与相等么？

2a2ab（其中m，n，a，b是非零实数.）

追问：为什么相等？

追问：你的依据是什么? 追问：你能类比分数的基本性质，归纳出分式的基本性质吗？

追问：你有补充吗？

追问：为什么要求“分式的分子、分母同乘（或除以）同一个不为0的整式”？

【归纳】分式的基本性质：分式的分子、mmm1mnmnmnbbb12ab2abb2a其中字母表示数，故可以结合小学学习的分数基本性质说明. 3.

在教师的引导下尝试结合分数的基本性质归分母同乘（或除以）同一个不为0的整式，纳分式的基本性质. 分式的值不变. 符号语言：

预设：不能考虑到“：分式的分子、分母同乘（或除以）同一个不为0的整式”. AAMAAM,（M0）.BBMBBM其中A，B，M是整式. 第

2

页

共

6 页

追问：与分数的基本性质有什么不同？

追问：分数的基本性质与分式的基本性质有什么联系？

【小结提升】分式的基本性质是在分数基本性质的延伸，它的使用范围更加的广泛，但是内容基本不变. 三、运用新知

例1：填空：

4.

学生之间互相质疑，探究，完善分式的基本性质. 5.

学生认识到分式的基本性质应用范围更加广泛，适用于整式.符号语言中的B为含有字母且不等于零的整式.

6.学生首先独立完成了练习. 7.学生能够具体说出每一步计算的依据. 预设：利用分式的基本性质，观察到分母前后的变化确定同时除以的因式.

9.学生展开谈论，对例2中的两个题目分别研究，代表发言. 预设：将问题（1）中分式的分子分母都乘以6，与小学的分数基本性质相通，将原式变成分子与分母都是整数的分式.将问题（2）中的分式的分子分母同时扩大10倍.

10.完成练习：将分式基本性质的理解.

引导学生使用分式的性质，将分式恒等变形.

将复杂的分式利用分式的基本性质化成简单的形式，为后面学习分式的计算做准备.

aacx3；

（1）（c0）（2）3bxyyabx2xyxy（3）2；

（4）2ababx追问：你依据的是什么？

追问：为什么问题（1）中要求c0？

追问：为什么问题（2）中不要求x0？

例2：不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项系数都化为整数；

12xy0.3a0.5b23；（2）（1）. 120.2abxy23参考答案：

2112xyxy63x4y3232（1）12123x4yxyxy623320.3a0.5b(0.3a0.5b)10（2）0.2ab10

0.2ab3a5b2a10b学生小结提升：利用分式的基本性质，可以将分子分母化为整数，使分式更加“标准”.

例3：观察下列给出的六个等式是否成立，如果成立，成立的理由是什么？

第

3

页

共

6 页

aaaaaa1（1）（2）；（3）；；

abbbbbbb4的分子分母3a2baaaa（4）；（5）；4bbbbaa（6）

bb提醒追问：请你结合分式的基本性质验证. 化为整数.

11.预设：学生猜测等式

通过例题的学习，结合分式的基本aa（1）例如中分式左侧的分子分母都都成立，但是不能说出bb性质学习掌乘以1即可得右侧. 追问：分数线代表什么运算？

追问：你能结合分除关系验证吗？

追问：如果用÷号代替分数线，那么问题（5）可以转化为什么呢？

追问：你能模仿问题（5）的方法来验证问题（6）的正确性吗？

追问：通过该例题，你有什么关于符号的发现吗？

教师小结提升：通过例3的研究，可以得到分式的符号法则：分式的分子、分母和分式本身的三个符号中，任意改变其中的两个，分式的值不变.（预设：学生也可以根据有理数的除法法则，根据同号得正，异号得负确定符号.）

注意：对（2）、（5）、（6）给予关注，以后分式的符号都转化在分式本身上，分子分母不含有符号.

例4：不改变分式的值，把分式的分子、分母中的整式按降幂排列，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数都是正数：

理由，特别是第（5）（6）题.教师给出一个题目的分析后，有学生逐个分析. 12.在第（5）（6）题的证明中，显然不能使用分式的基本性质了，因为符号加在分式身上，所以可转化根据单项式的除法法则来验证.. 13.学生区分了分子的符号、分母的符号和分式本身的符号后，来用自己的语言说发现的符号规律.

14.学生首先小组讨论，然后小组长汇报本组的讨论结果. 15.教师注重学生做恒等变形的依据和算理. 16.学生将解题过程完整写出，小组长批改. 握分式的分子、分母和分式本身符号的变化规律.

此例题涉及到符号的问题，极易出错.在讲解时，要强调分式的分数线同时具有括号的作用.

xa12x（1）2；（2）2（3）2；. 1xa2x3

第

4

页

共

6 页

参考答案：

17.学生完成课堂练习，

老师巡判个别学生的，然后小组内自己批改，教师发现资源，有层次组织学生完成练习，反复强调分式xxx

（1）2221x(x1)x1a1(a1)a1（2）222

a2a2a2的暴露资源，组织研讨. 的基本性质

18.学生在掌握了分式的符号法则后可以直接写出结果.

19.学生首先明确化简就是将分式化成分子、分母都是整式，且分子与分母的最高次项系数为正整数.（也可以说化成标准分式）

22x(x2)x2

（3）222x3(x3)x3追问：如何将最高次项由负变正？

追问：为什么加括号？

小结提升：分式化为“标准分式”，便于后期计算.标准分式需满足的条件有①分式的分子与分母各项系数均为整数；②分式的分子与分母中不含有负号；③分式的分子与分母的最高次项都是正的.

课堂练习：不改变分式的值，使下列各式的分子与分母的最高次项的系数是正数. 的应用.

学生在学习了例3、例4的解题方法和结论后，能够将分式化成“标准”形式，便于我们后续课程的学习.

应用分式的基本性质解x11a212；22

1xaa1参考答案：

x1x11x1

1x2(x21)(x21)1a(a1)(a1)2222aa1aa1aa1

拓展一（备用）

22

20.学生研讨分式的分母含有字母a、b，所以ab0. 该题目由学生讲题，预11ab. 1.请你化简分式：11ab追问：化简这个分式具体是要求变成什么形式？

追问：为什么分子、分母可直接乘以ab？

追问：如何判断ab0

第

5

页

共

6 页

设不能探究出ab0，决复杂的化所以在使用分式的基本性质时提醒学生条件.

简问题.

参考过程：

x化x2x1

21.学生拿到该题目会感觉无从下手，组织小组谈论，让完成的同学来讲题.

利用分式的基本性质灵活进行恒等变形，为高中铺垫. 1111()abbaabab

1111ba()ababab

拓展二（备用）

2.应用分式的基本性质把分式1成含有x的式子. x追问：为什么可以直接x，其不可能为0吗？

追问：你是如何想到同时x的？

参考答案：

xxx1x2x1x2x1xx11x

11x1x追问：若补充x12，你能求分式

xx的值吗？

2xx1

1、

你学到哪些知识？

①分式的基本性质是分数基本性质的应用范围的扩充. 课堂②分式的符号变化规律

小结

③可以对比分数的基本性质学习分式的基本性质. ④注意分式中所给的分母已经都不是零，暗含条件.

15.1.2分式的基本性质

1.分式的基本性质：

例题：

符号语言：

2.分式的符号规律：

板书设计

第

6

页

共

6 页