测试第二课时教案

12.1全等三角形的性质

知识点1：全等形

1．下列各组的两个图形属于全等图形的是(

)

2．下列说法中正确的有(

) ①用一张底片冲洗出来的10张1寸相片是全等形；②我国国旗上的4颗小五角星是全等形；③所有的正方形是全等形；④全等形的面积一定相等．

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

知识点2：全等三角形及对应元素

3．如图，将△ABC沿AC对折，点B与点E重合，则全等的三角形有(

) A．1对

B．2对

C．3对

D．4对

(3题)

（4题）

（5题）

（6题）

4．如图，将△ABC沿CB方向平移得到△DFE，则△ABC≌△_________，∠ABC的对应角是________，∠C的对应角是_______________，BC的对应边是_______．

5．如图，△ABC≌△DCB，指出所有的对应边和对应角．

知识点3：全等三角形的性质

6．如图，△ABC≌△A′B′C′，则∠C的度数是(

) A．56°

B．51°

C．107°

D．73°

7．如图，△ABC≌△CDA，AC＝7 cm，AB＝5 cm，BC＝8 cm，则AD的长是(

) A．7 cm

B．5 cm

C．8 cm

D．无法确定

（7题）

（8题）

（9题）

（10题）

8．如图，△ABD≌△EAC，若AB＝5，AD＝2，则CE＝______，AE＝_______．

9．如图，在Rt△ABC中，D，E分别是AC，BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数是___________．

10．如图，△ABC≌△DEF，∠B＝30°，∠A＝50°，BF＝2，求∠DFE的度数与EC的长．

11．如图，Rt△ABC沿直角边BC所在的直线向右平移得到△DEF，下列结论中错误的是(

) A．△ABC≌△DEF

B．∠DEF＝90°

C．AC＝DF

D．EC＝CF

（11题）

（12题）

（13题）

（14题）

12．如图，△ADE≌△BDE，若△ADC的周长为12，AC的长为5，则BC的长为(

) A．8

B．7

C．6

D．5 13．如图，三角形纸片ABC，AB＝10 cm，BC＝7 cm，AC＝6 cm，沿过点B的直线折叠这个三角形，使顶点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△ADE的周长为_______cm.

1

14．如图，Rt△ABE≌Rt△ECD，点B，E，C在同一条直线上，下列结论：①AE＝ED；②AE⊥DE；③BC＝AB＋CD；④AB∥DC.其中正确的是________________．(填序号) 12.2全等三角形的判定

知识点1：用“SSS”判定两个三角形全等

1．如图所示的三角形中，与△ABC全等的是(

)

（2题）

（3题）

2．如图，在△ABC中，AB＝AC，EB＝EC，则由“SSS”可以判定(

) A．△ABD≌△ACD

B．△ABE≌△ACE C．△BDE≌△CDE

D．以上都不对

（4题）

（5题）

（6题）

（7题）

3．如图，在△ACE和△BDF中，AE＝BF，CE＝DF，要利用“SSS”证△ACE≌△BDF时，需增加的一个条件是(

) A．AB＝BC

B．DC＝BC

C．AB＝CD

D．以上都不对

4．如图，在△ABC和△FED中，AC＝FD，BC＝ED，要利用“SSS”来判定△ABC≌△FED时，下列条件中：①AE＝FB；②AB＝EF；③AE＝BE；④BF＝BE，应该添加的是_____________．(填序号) 5．如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，要证明∠A′O′B′＝∠AOB，就要先证明△C′O′D′≌△COD，那么判定△C′O′D′≌△COD的依据是________．

知识点2：全等三角形的判定(SSS)的应用

6．如图，已知AE＝AD，AB＝AC，EC＝DB，下列结论：①∠C＝∠B；②∠D＝∠E；③∠EAD＝∠BAC；④∠B＝∠E.其中错误的是(

) A．①②

B．②③

C．③④

D．④

7如图，BD与AC交于点F，CE与AB交于点G，BD与CE交于点H，若AB＝AC，BD＝CE，AD＝AE，∠1＝20°，则△_________≌△___________，∠2＝_______°. 知识点2：全等三角形的判定(SSS)的应用

8．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，求证：△ABD≌△ACD.

9.如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E是BC的三等分点，AD＝AE. 求证：△ABE≌△ACD.

2

10．(2016·福州)一个平分角的仪器如图所示，其中AB＝AD，BC＝DC.

求证：∠BAC＝∠DAC.

11．(2016·河北)如图，点B，F，C，E在直线l上(F，C之间不能直接测量)，点A，D在l异侧，测得AB＝DE，AC＝DF，BF＝EC. (1)求证：△ABC≌△DEF；

(2)指出图中所有平行的线段，并说明理由

．

归纳总结

方法技能：

1．证全等寻找等边的方法：

(1)图形语言中的隐含条件，如公共边；

(2)利用中点的定义证明两条线段相等；

(3)多条线段共线时，利用线段的和(差)关系证明两条线段相等．

2．证明两个三角形全等书写的步骤：

(1)准备条件：证全等时要用的间接条件要先证明(公共边相等可以直接作条件用)；

(2)写出在哪两个三角形中；

(3)列出三个条件用大括号括起来；

(4)写出全等的结论及依据．

知识点2：用“SAS”判定两个三角形全等

1．下列三角形中是全等三角形的一组是(

) A．Ⅰ和Ⅱ

B．Ⅱ和Ⅳ

C．Ⅱ和Ⅲ

D．Ⅰ和Ⅲ

3

2．下列四组条件中，能判定△ABC≌△DEF的是(

) A．AB＝DE，∠A＝∠D，BC＝EF B．AC＝DF，∠B＝∠E，BC＝EF C．BC＝EF，∠C＝∠F，AB＝DE D．AC＝DF，∠C＝∠F，BC＝EF 3．如图，BD，AC相交于点O，若OA＝OD，用“SAS”说明△AOB≌△DOC，还需______________．

（第3题）

（第4题）

（第5题）

（第6题）

4．如图，AC＝DF，BD＝EC，AC∥DF，∠ACB＝80°，∠B＝30°，则∠F的度数是(

) A．60°

B．65°

C．70°

D．80°

5．如图，将两根钢条AA′，BB′的中点O连接在一起，使AA′，BB′可以绕着O自由转动，就做成了一个测量工件，则AB的长等于内槽宽A′B′，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是(

) A．边角边

B．角边角

C．边边边

D．角角边

6．如图，点D在AB上，点E在AC上，CD与BE交于点O，且AD＝AE，AB＝AC，若BE＝5，则CD＝______．

7．如图，OA＝OB，OC＝OD，求证：△AOD≌△BOC.

8．如图，C为BE上一点，点A，D分别在BE两侧，AB∥ED，AB＝CE，BC＝ED.求证：△ABC≌△CED.

9．(2017·泸州模拟)如图，AC＝AE，∠1＝∠2，AB＝AD.求证：BC＝DE.

10.(2016·泸州)如图，C是线段AB的中点，CD＝BE，CD∥BE.求证：∠D＝∠E.

4

15．如图，A，F，C，D四点在同一直线上，AF＝DC，AB∥DE，且AB＝DE. 求证：(1)△ABC≌△DEF；

(2)∠CBF＝∠FEC.

方法技能：

1．SAS的用法：运用SAS判定两个三角形全等时，一定要按边→角→边的顺序排列这三个条件．注意属于一个三角形的边和角写在等号的同一边．

2．证全等寻找等角的方法：

(1)公共角相等，对顶角相等，直角相等；

(2)等角加(减)等角，其和(差)相等；

(3)同角或等角的余(补)角相等；

(4)根据角平分线、平行线得角相等．

知识点3：用“ASA”、“AAS”判定两个三角形全等

1．如图，AB＝AC，∠B＝∠C，BE，CD相交于点O，则直接判定△ABE≌△ACD的依据是(

) A．SAS

B．ASA

C．SSA

D．AAA

（第1题）

（第2题）

（第3题）

（第5题）

2．如图，点A，D，C，E在同一条直线上，AB∥EF，AB＝EF，∠B＝∠F，AD＝4，则CE的长为(

) A．2

B．3

C．4

D．6 3．如图，已知∠1＝∠2，要根据“ASA”判定△ABD≌△ACD，则需要补充的一个条件为____________________．

4．如图，点A，B，C，D在一条直线上，AB＝CD，AE∥BF，CE∥DF.求证：AE＝BF.

5．如图，AB＝AD，∠C＝∠E，∠CAD＝∠EAB，则△ABC≌△ADE，得出此结论的直

5

接依据是(

) A．SSS

B．SAS

C．AAS

D．ASA 6．如图，点B，E，F，C在同一直线上，已知∠A＝∠D，∠B＝∠C，要根据“AAS”判定△ABF≌△DCE，则需要补充的一个条件是____________________________．(写出一个即可)

（第6题）

（第7题）

（第8题）

（第9题）

7．(2016·新疆)如图，在△ABC和△DEF中，∠B＝∠DEF，AB＝DE，添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，这个条件是(

) A．∠A＝∠D

B．BC＝EF

C．∠ACB＝∠F

D．AC＝DF 8．如图，给出下列四组条件：①AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF；②AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF；③∠B＝∠E，BC＝EF，∠C＝∠F；④AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E.其中能使△ABC≌△DEF的条件共有_______组．

9．如图，某同学把一个三角形玻璃打碎成三块，现在要到玻璃店去配一块大小完全一样的玻璃，那么最省事的办法是(

) A．带①和②去

B．带①去

C．带②去

D．带③去

10．(2016·孝感)如图，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，AD＝AE.求证：BE＝CD.

11．(2016·宜宾)如图，已知∠CAB＝∠DBA，∠CBD＝∠DAC.求证：BC＝AD.

15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是△ABC的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC，交CF的延长线于D. (1)求证：AE＝CD；

(2)若AC＝12 cm，求BD的长．

6

方法技能：

判定两个三角形全等的一般思路

知识点4：用“HL”判定直角三角形全等

1．下列命题中不正确的是(

) A．斜边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等

B．有两条边对应相等的两个直角三角形不一定全等

C．有一条边相等的两个直角三角形全等

D．有一条边和一个锐角对应相等的两个直角三角形不一定全等

2．如图，在Rt△ABC的斜边BC上截取CD＝CA，DE⊥BC交AB于E，则有(

) A．DE＝DB

B．AE＝BE

C．DE＝AE

D．AE＝BD

(2题)

(3题)

(4题)

(5题) 3．(2017·郴州模拟)如图，∠B＝∠D＝90°，若用“HL”证明△ABC≌△ADC，则还应该补充一个条件，补充的这个条件是_____________________________．

4．如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，那么下列各条件中，不能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的是(

) A．AB＝A′B′，BC＝B′C′

B．AC＝A′C′，BC＝B′C′

C．AB＝B′C′，∠A＝∠B′

D．AC＝A′C′，∠A＝∠A′

5．如图，△BDC′是将长方形纸片ABCD沿BD折叠得到的，图中(包含实线和虚线)共有全等三角形(

) A．2对

B．3对

C．4对

D．5对

7.如图，B，F，C，E在一条直线上，∠B＝∠E＝90°，AC＝DF，FB＝CE. 求证：AB＝DE.

7

8．(2016·连云港)如图，四边形ABCD中，AD＝BC，BE＝DF，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F.求证：△ADE≌△CBF.

9．如图，在△ABC中，AD是中线，分别过点B，C作AD及其延长线的垂线BE，CF，垂足分别为点E，F.求证：BE＝CF.

13．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D在AC上，E在BA的延长线上，BD＝CE，BD的延长线交CE于F，求证：BF⊥CE.

方法技能：

判定两个直角三角形全等的思路：

8

12.3角平分线

知识点1：角的平分线的画法

1．如图，用尺规作图作∠AOB的平分线，方法如下：以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA，OB于C，D两点，再分别以点C，D为圆心，以大于

CD的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点P，作射线OP.由作法可得△OCP≌△ODP的依据是(

) A．SAS

B．ASA

C．AAS

D．SSS

（第1题）

（第2题）

（第3题）

（第4题）

2．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，下列结论中错误的是(

) A．PC＝PD

B．OC＝OD

C．∠CPO＝∠DPO

D．OC＝PC 3．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA＝2，则PQ的最小值为(

) A．1

B．2

C．3

D．4 4．如图，AD∥BC，∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E.若PE＝2，则两平行线AD与BC间的距离为(

) A．1

B．2

C．3

D．4 5．(2016·淮安)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于

MN的长为半径画弧，两弧交于点P，用射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积是(

) A．15

B．30

C．45

D．60

（第5题）

（第6题）

（第7题）

（第8题）

9

6.如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，S△ABC＝90 cm2，AB＝18 cm，BC＝12 cm，则DE＝____cm. 7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AD平分∠BAC.则S△ACD∶S△ABD＝_________．

8．如图，已知∠AOB＝40°，OM平分∠AOB，MA⊥OA于A，MB⊥OB于B，则∠MAB的度数为(

) A．50°

B．40°

C．30°

D．20°

9．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.求证：∠B＝∠C.

10.(2016·孝感)我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AB＝CB，AD＝CD，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CB，垂足分别为点E，F.求证：OE＝OF.

14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，

AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD＝DF. 求证：(1)CF＝EB；(2)AB＝AF＋2EB.

15．如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD＝CD，BD平分∠ABC，求证：∠BAD＋∠C＝180°.

10

角平分线的判定

知识点1：角的平分线的判定

1．如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是(

) A．线段CD的中点

B．CD与过点O作CD的垂线的交点

C．CD与∠AOB的平分线的交点

D．以上都不对

（第1题）

（第2题）

（第3题）

（第4题）

2.如图，PD⊥OA，PE⊥OB，点D，E为垂足，PD＝6 cm，当PE＝____cm时，点P在∠AOB的平分线上．

3．如图，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且DE＝DF，若∠DBC＝50°，则∠ABC＝________°. 4．如图，O是△ABC内一点，且O到三边AB，BC，CA的距离OF＝OD＝OE，若∠BAC＝70°，则∠BOC的度数是(

) A．35°

B．145°

C．55°

D．125°

5．如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE，CF相交于点D，若BD＝CD.求证：AD平分∠BAC.

5．如图，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D，连接AD.求证：AD是∠BAC的外角平分线

．

13．如图，D，E，F分别是△ABC三边上的点，CE＝BF，△DCE和△DBF的面积相等．求证：AD平分∠BAC.

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方法技能：

1．角的平分线的判定的主要作用是证明一个点在某个角的平分线上或两个角相等，它与角的平分线的性质恰好是条件和结论的交换，在运用时不要混淆．

2．当遇到“证某线平分某角”时，首先要想到角的平分线的判定，即向角的两边作垂线，证明垂线段相等．

3．三角形的三条角平分线相交于一点，这一点到三边的距离相等．

易错提示：

忽略角的平分线的判定定理中的条件而出错．

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