线段的垂直平分线的作图教学内容分析

第十三章

轴对称

13.1 轴对称

13.1.2 线段的垂直平分线的性质

第2课时

线段垂直平分线的有关作图

学习目标：

1.能用尺规作已知线段的垂直平分线．

2.进一步了解尺规作图的一般步骤和作图语言，理解作图的依据．

3.能够运用尺规作图的方法解决简单的作图问题．

教学重点：用尺规作已知线段的垂直平分线．

教学难点：运用尺规作图的方法解决简单的作图问题

教学方法：师生互动、合作探究

教具准备：多媒体课件、直尺、圆规、纸质五角星纸片一张、画有角的纸片一张，一个画有角的纸片. 课型：新授课

教学过程

一、知识回顾、导入新课

前面我们学习了尺规作图，请用尺规完成下列作图。

1、已知线段AB，求作线段AB的中点P；

本题中，所求作的关键点P满足的两个条件是：①点P在线段AB上；②PA＝PB；于是点P是线段AB的中垂线与线段AB的交点；

2、已知∠AOB，求作∠AOB的平分线OC. ABBO

1 A

本题，所求作的图形是射线OC，现在已经知道端点O，关键是确定射线方向上的任意点C的位置，而点C满足的条件只有一个，那就是∠AOC＝∠BOC，直接用交规法无法完成作图，需要考虑问题转化或者需要构造基本作图来解决问题。下面我们对折这个角，看一看，会有什么发现？

（教师活动：拿出画有角的纸片进行对折演示，引导学生回答以下两个问题）

对折后我们发现了以下两点，它为交规法尺规作图提供了可能。

（1）角对折后，我们任取一对重合的点，会发现这两个重合的点到角的顶点的距离相等。由同圆的半径相等可知，这两个点都在以角的顶点O为圆心的同一圆上，或者说点O在这两个点所连线段的垂直平分线上。

（2）通过对折角我们发现角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线，得到这条直线垂直平分对应点的连线段，于是角平分线的问题就转化为线段垂直平分线的问题。

具体怎么转化呢？我们只需要以点O为圆心，任意长为半径作弧，交∠AOB的两边于点D、E，然后作线段DE的垂直平分线即可。

下面要请两位同学上台在白板上完成这两个作图，其他同学在下面自主完成。谁愿意在台上完成呢？

从上可知，线段的垂直平分线属于基本作图，在尺规作图中十分重要，本节课我们就学***分线的有关作图。在学之前我们先复习一下轴对称及其轴对称图形的性质：

1、轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 2、轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 【思路点金】

如果两个图形成轴对称图形，其对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.因此，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴.下面我们进行新课的学习。

二、新课

（一）做一做（按要求，用尺规作图）：

知识点探究1：如何利用尺规作已知两个点的对称轴

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【新知探究】【问题1】如何用尺规作已知两个点的对称轴

【例1】 如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？

【分析】

因为点A和点B关于某条直线成轴对称，那么A、点B是关于这条直线对称的对应点，根据轴对称的性质，对称轴是对应点所连线段的垂直平分线，我们只要连结点A和点B,作出线段AB的垂直平分线，就可以得到点A和点B的对称轴.为此要作出到点A、B距离相等的两点，即线段AB的垂直平分线上的两点，就可以作出线段AB的垂直平分线. 【问题解决】

作法：（1）分别以点A和B为圆心，以大于于C、D两点；

（2）作直线CD. CD就是所求作的直线. 12AB的长为半径作弧，两弧交

【方法提炼】求作两点关于某直线对称的对称轴，其实质是作两点所连线段的垂直平分线. 【设计意图】 1、把两个点的对称问题转化为线段的垂直平分线问题；

2、把点对称问题转化为线对称问题，由特殊到一般，以点带面（由点到面）。

知识点探究2：如何确定轴对称图形的对称轴

【问题探究1】如何确定轴对称图形的对称轴 问题1：有时我们感觉一个平面图形是轴对称的，如何验证呢？

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【解析】

通过折叠，如果这一（两）个图形能够互相重合，则这一（两）个图形是轴对称的.折痕就是对称轴。

说明：1、通过对折五角星纸片说明五角星是一个轴对称图形。

2、如果对折的五角星纸片学生看不清楚，可以通过几何画板演示折叠过程。

3、使学生对轴对称图形有一个感性的认识。

【设计意图】通过感性到理性的认识，培养学生的想象能力与思维能力。

【问题2】如果一个图形是轴对称图形，在不允许折叠的情况下，你能准确地作出这个图形的对称轴吗？

【分析】假如对称轴已经作出，那么对称轴是对应点所连线段的垂直平分线，由此我们只要作出一对对应点的中垂线即可。

作法：（1）找出五角星的一对对称点A和A；

（2）连结AA．

（3）作出线段AA的垂直平分线l

．

则l就是这个五角星的一条对称轴．

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lAA'

【设计意图】 1、把图形对称问题转化为点对称问题，让学生体验根据问题一般性与特殊性的关系，抓住关键，以点带面，突破难点，由点到面，从而解决一般问题的思路与方法。

2、本题设计是在第一问的感性认识基础上，上升到理性认识。

【要点归纳、方法总结】对于轴对称图形，只要找到任意一组对称点，作出对称点所连线段的垂直平分线，即能得此图形的对称轴. 【新知探究】【认真想一想、动手做一做】

【问题3】下图中的五角星有几条对称轴？如何作出这些对称轴呢？

用几何画板进行演示。

【设计意图】1、培养学生的类比推理能力与举一反三能力。

2、本提问是在感性认识到理性认识，再到应用的认识升华，或认识的飞跃。

三、典例精析

【例2】

如图，已知点A、点B以及直线l，用尺规作图的方法在直线l上求作一点P，使PA＝PB.(保留作图痕迹，不要求写出作法)；.

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解析：由PA=PB点P在AB所连线段的垂直平分线上

又点P在直线l上，故点P是线段AB垂直平分线与直线l的交点。

【例3】如图，某地有两所大学和两条交叉的公路．图中点M，N表示大学，OA，OB表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库P应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)．

四、当堂训练

1、P64页练习1 2、P64页练习2

3.如图，与图形A成轴对称的是哪个图形？画出它的对称轴．

【设计意图】1、如果两个图形关于某直线对称，那么这两个图形上的所有对应点被这条直线垂直平分。

2、如果两个图形不被某直线对称，那么这两个图形上存在一对点，使得这一对点的连线段不被这条直线垂直平分。或者存在两对点所连线段的垂直平分线不重合，就说明，这两个图形不是轴对称图形。

3、成轴对称的两个图形全等，但全等的图形不一定成轴对称图形。

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4、（拓展训练）如图，有A，B，C三个村庄，现准备要建一所希望小学，要求学校到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位置.

【提出问题】

由上可知：点P是AC与BC中垂线的交点，那么点P在不在BC的中垂线上？若在，会得到什么结论？

【知识归纳】

外心定理：三角形上边的垂直平分线相较于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等. 五、课堂小结

1、成轴对称图形的对称轴是任意一对对应点所连线段的垂直平分线；

2、如果两个图形关于某直线对称，那么这两个图形上的所有对应点都被这条直线垂直平分。

3、成轴对称的两个图形一定全等，但全等的图形不一定成轴对称图形。

六、布置作业

P64页10、11、12、13

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