多边形的外角和名师教学设计

《11.3多边形的内角和与外角和》教学设计

第1课时

教学目标

（一）教学知识点：

1．理解多边形及正多边形的定义．

2．掌握多边形的内角和公式．

（二）能力训练要求

1．经历探索多边形内角和公式的过程，进一步发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系．

2．探索并了解多边形的内角和公式，进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力．

（三）情感与价值观要求

经历探索多边形内角和的过程，进一步发展学生合情推理意识、主动探究习惯，进一步体会数学与现时生活的紧密联系．

教学重难点

教学重点：多边形的内角和．

教学难点：探索多边形的内角和公式过程．

教学过程：

一．巧设情景问题，引入课题：

引导学生回忆已经学过哪些图形？书桌面是什么形状？作业本的每一张是什么形状？

提问：若把长方形的一张纸剪去一角，会出现什么形状的图形，并指导．（学生讨论并得出结论：三角形，四边形，五边形）

二．讲授新课

1．多边形的定义：在平面内，由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形．在定义中应注意：①若干条；②首尾顺次相连，二者缺一不可．多边形有凸多边形和凹多边形之分，如图．

把多边形的任何一边向两方延长，如果其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的多边形叫做凸多边形（如图（2）），图（1）的多边形是凹多边形，我们探讨的一般都是凸多边形．

多边形的边、内角、顶点、对角线、内角和的含义与三角形相同，即：

边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．

顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．

对角线：在多边形中，连结不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线．

内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角．

如图（3）

多边形通常以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形．多边形的表示方法与三角形、四边形类似．可以用表示它的顶点的字母来表示，如可顺时针方向表示，也可逆时针方向表示，如图（3），可表示为五边形ABCDE，也可表示为五形EDCBA．

好，我们了解了多边形的有关概念后，看一幅图及问题．

（1）一个五边形，你能设法求出它的五个内角的和吗？与同伴交流．

（2）小明、小亮分别利用下面的图形求出了该五边形的五个内角的和．你知道他们是怎么做的吗？

（3）还有其他的方法吗？

（学生讨论、画图、归纳自己的方法）

在求五边形的内角和时，先把五边形转化成三角形．进而求出内角和，这种由未知转化为已知的方法是我们数学中一种非常重要的方法．

请同学们完成课本的“想一想”．（学生画图，归纳，猜想）

（从n边形的一个顶点出发，向自身和相邻的两个顶点无法引对角线，向其他顶点共引（n－3）条对角线，这时n边形被分割成（n－2）个三角形，因为每个三角形的内角和是180°，所以n边形的内角和为（n－2）·180°）

大家想一想，n边形的内角和公式中，字母n取值有没有范围？

（必须是大于3的自然数．）

同学们口答一下：12边形的内角和是多少呢？（1800°）

请同学们“想一想”：观察下图中的多边形，它们的边、角有什么特点？

1．在平面内，内角都相等，边也都相等的多边形叫做正多边形，如上图中的多边形分别为：正三角形、正四边形即正方形、正五边形、正六边形、正八边形．

2．正多边形都是轴对称图形，边数为偶数的正多边形是中心对称图形．

下面大家想一想，议一议：

1．一个多边形的边都相等，它的内角一定都相等吗？

2．一个多边形的内角都相等，它的边一定都相等吗？

3．正三角形、正四边形（正方形）、正五边形、正六边形、正八边形的内角分别是多少度？

分析：

1．如菱形的四条边相等，但它的内角不一定都相等，所以应该说：一个多边形的边都相等，它的内角不一定都相等．

2．一个多边形的内角都相等，它的边不一定都相等，如：矩形的内角都是直角，但它的边未必都相等．

3．因为正多边形的每个内角都相等，且它的内角和为（n－2）·180°，所以，正n边形的每个内角为：(n2)·180°．

n3因此，正三角形的内角是：(32)18060；

正方形的内角是：(42)·180°=90°；

4正五边形的内角是：________________；

正六边形的内角是：________________；

正八边形的内角是：________________．

三．知识运用：

1．一个多边形的内角和为2520°，则多边形的边数为________________．

2．一个正方形缺去一个角后内角和为多少度？

四．课堂练习

课本“随堂练习”

如下图．

（1）作多边形所有过顶点A的对角线，并分别用字母表示出来．

（2）求这个多边形的内角和．

解：（1）如下图：过顶点A的对角线是AC、AD、AE．

（2）从（1）图中可知：这个六边形被过顶点A的对角线分割成四个三角形，所以，这个多边形的内角和为180°×4=720°．

也可以利用多边形的内角和公式进行计算即：（6－2）×180°=720°．

五．课时小结

本节课我们研究了多边形的定义及其内角和公式，重点探讨了多边形的内角和公式．

即：n边形的内角和等于（n－2）·180°，它揭示了多边形内角和与边数之间的关系．

第2课时

教学目标

（一）教学知识点

1．了解多边形的外角定义，并能准确找出多边形的外角．

2．掌握多边形的外角和公式，利用内角和与外角和公式解决实际问题．

（二）能力训练要求

1．经历探索多边形的外角和公式的过程．进一步发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系．

2．探索并了解多边形的外角和公式，进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力．

（三）情感与价值观要求

1．经历多边形外角和的探索过程，培养学生主动探索的习惯；

2．通过对内角、外交之间的关系，体会知识之间的内在联系．

教学重难点

教学重点：多边形的外角和公式及其应用．

教学难点：多边形的外角和公式的应用．

教学过程

一．巧设情景问题，引入课题

清晨，小明沿一个五边形广场周围的小跑，按逆时针方向跑步．

（1）小明每从一条街道转到下一条街道时，身体转过的角是哪个角？在图中标出它们．

（2）他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？

（3）在上图中，你能求出∠1+∠2+∠3+∠4+∠5吗？你是怎样得到的？

（请同学们探讨解决，教师总结）

下面大家来看小亮的思考：如图所示，过平面内一点O分别作与五边形ABCDE各边平行的射线OA′、OB′、OC′、OD′、OE′，得到∠α、∠β、∠γ、∠δ、∠θ，其中：∠α=∠1，∠β=∠2，∠γ=∠3，∠δ=∠4，∠θ=∠5．

大家看图，∠1、∠2、∠3、∠4、∠5不是五边形的角，那是什么角呢？

它们的和叫什么呢？

（这五个角是五边形的外角，它们的和叫外角和．）

我们这节课就来探讨多边形的外角、外角和．

二．讲授新课

那什么是多边形的外角、外角和呢？我们可类似三角形的外角定义来定义多边形的外角．另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角．

在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和．

一般地，在多边形的任一顶点处按顺（逆）时针方向可作外角，n边形有n个外角．

那多边形的外角和是多少呢？我们来回忆一下：三角形的外角和为多少？（360°）

刚才我们又研究了五边形的外角和，它为360°，那大家想一想：

如果广场的形状是六边形、八边形．它们的外角和也等于360°吗？

（学生讨论，得出结论）

（六边形的外角和是360°，八边形的外角和是360°．）

那么能不能由此得出：多边形的外角和都等于360°呢？能得证吗？

因为多边形的外角与它相邻的内角是邻补角，所以，n边形的外角和加内角和等于n·180°，内角和为（n－2）·180°，因此，外角和为：n·180°－（n－2）·180°=360°．

性质：多边形的外角和都等于360°．

由此可知，多边形的外角和与多边形的边数无关，它恒等于360°．下面大家来想一想、议一议：利用多边形外角和的结论，能不能推导多边形内角和的结论呢？

（请学生思考后回答）

（因为对于n（n是大于或等于3的整数）边形，每个顶点处的内角及其一个外角恰好组成一个平角．因此，n边形的内角和与外角和的和为n·180°，所以，n边形的内角和就等于n·180°－360°=n·180°－2×180°=（n－2）·180°）．

三．知识应用

［例］一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？

分析：这是多边形的内角和公式与外角和公式的简单应用．根据题意，可列方程解答．

（让学生动手解答）

解：设这个多边形是n边形，则它的内角和是（n－2）·180°，外角和等于360°，所以：

（n－2）·180°=3×360°

解得：n=8 这个多边形是八边形．

四．课堂练习

（一）随堂练习

1．一个多边形的外角都等于60°，这个多边形是n边形？

解：因为多边形的外角和等于360°，所以根据题意，可知道这个多边形的边数是：

360°÷60°=6 2．下图是三个完全相同的正多边形拼成的无缝隙不重叠的图形的一部分，这种多边形是几边形？为什么？

解：这种正多边形是正六边形，理由是：设：这个正多边形的一个内角为x°，

则由题图得：3x=360°．x=120°．再根据多边形的内角和公式得：

n×120°=（n－2）×180°．解得n=6．

（二）试一试

1．是否存在一个多边形，它的每个内角都等于相邻外角的解：不存在，理由是：

如果存在这样的多边形，设它的一个外角为α，则对应的内角为180°－α，于是：

1？为什么？

51×α=180°－α，解得α=150°．

5这个多边形的边数为：360°÷150°=2.4，而边数应是整数，因此不存在这样的多边形．

2．在四边形的四个内角中，最多能有几个钝角？最多能有几个锐角？

解：最多能有三个钝角，最多能有三个锐角．理由是：

设四边形的四个内角的度数分别为：α°，β°，γ°，δ°，则α+β+γ+δ=360°，α、β、γ、δ的值最多能有三个大于90°，否则α、β、γ、δ都大于90°．

α+β+γ+δ＞360°．

同理最多能有三个小于90°．

五．课时小结

本节课我们探讨了多边形的外角及其外角和公式．知道多边形的外角和与多边形的边数无关，它恒等于360°，因而，求解有关多边形的角的计算题；有时直接应用外角和公式会比较简便．