整数指数幂第二课时教案

15．2．3整数指数幂教学设计

昆明第三中学 曾飞林

一、教材内容和内容解析

（－）教学内容

本节课是义务教育教科书人教版八年级上册15.2.3的内容，《整数指数幂》

（二）教学内容分析

本节课学生需要通过类比掌握负整数指数幂的概念，从而感受指数域从正整数扩充到全体整数这种数学的迁移美．并且通过自主探究，发现所有幂的运算法则都可以推广到全体整数指数域，并会用运算法则进行简便运算．

二、目标及目标解析

（一）教学目标

1、理解负整数指数幂的意义；熟练运用整数指数幂运算性质进行运算

2、通过观察、推理、总结得出负整数指数幂的意义；体验利用负整数指数幂进行乘除法转化

3、启发学生通过独立思考、同伴交流、自主发现问题解决问题，从而提高学生的自学能力和质疑能力

（二）教学目标解析

本节课以“翻转课堂”“小组合作”形式进行设计，要求学生交流合作完成预习案以及老师布置的问题从而理解负整数指数幂的意义，并且能熟练运用整数指数幂的运算性质进行运算，同时培学生的自学能力．在课堂上，以小组为单位，对预习案上错误较多，疑惑较多的问题进行讨论和讲解，鼓励学生上台讲解，老师辅助学习，从而使学生进一步理解幂的运算法则如何推广到全体整数指数域，能熟练利用整数指数幂进行乘除法的转化，培养学生的质疑能力和合作精神最终使学生能自主发现问题，自主合作解决问题

三、教学问题诊断分析

本节课可能出现的问题是大部分的学生不会自主学习，由于惯性，他们习惯等着老师来讲，等着老师来引导，自己不会质疑，这也是灌输式教学模式的弊端．所以针对这个问题，我提前做了不少的铺整，在前面比较简单的教学内容中也经常采用这种“翻转课堂”和“小组合作”的模式. 由于本节课学习的内容还是有一定的难度，对思维也有一定的要求，所以好多学生在完成预习案之后，可能无法感受设计这一环节的目的，学的比较死．所以在平时的教学中我也比较注重类比学习，时刻强调知识的迁移以及知识体系内在的规律，希望能为学生的思维过程做好准备．

【教学重点及难点】

1．教学重点：理解负整数指数幂的意义，掌握运算性质

2．教学难点：理解负整数指数幂的产生过程和意义

四、教学支持条件分析

（一）知识储备

本节课是在学习了第十四章《整式的乘法与因式分解》以及第十五章《分式》的基本内容后进行设计学习的．学生对于所有的预备知识都己经能够熟练掌握，所以以“翻转课堂+小组合作”的形式进行设计，学生是可以完成的

（二）教法

本节课是在“翻转课堂”“小组合作”理念的影响下进行设计的，旨在培养学生的自学、质疑能力和合作能力，需要学生认真完成预习案，用已经学过的旧知推出新知，然后发现自己还没有弄懂的地方，在课堂上互相讨论，寻求解决。

（三）学法

突出自主学习和小组合作学习

（四）教学媒体

预习案、投影仪、课堂检测案、统计表等

五、教学过程设计

教学过程

Ⅰ课前准备：

在讲授新课的前一天给学生布置了预习案（附录1），让学生通过自主预习完成三个目标要求：

1、理解对于0指数幂和负整数指数幂们课本规定的过程，理解对于同一个运算用两个思路进行推导的思想，学会用旧知推出新知. 2、会根据老师给出的数据，自己选取其他数字验证正整数指数幂的性质可以推广到全体整数. 3、会计算0指数幂和简单的负整数指数幂；会将负整数指数幂写成只含有正整数指数幂的形式；会运用幂的性质进行简单的运算

Ⅱ授课过程：

（一）复习回顾、找出问题

【教学内容与教师活动】

通过预习案上第一部分复习回顾的问题，让学生对自己的预习案进行修正，并对幂的运算性质中指数的规定进一步理解。

1、对于正整数指数幂的运算性质：

（1）amanamn( m、n是正整数) mn（2）(a)anmn（m、n是正整数）

（3）(ab)ab（n是正整数）

mnmn（4）aaa（a≠0，mn为正整数日m＞n）

nnanan(5) ()n（n是正整数）

bb

2.我们规定了0指数幂，首先复习0指数幂的规定过程：

mm(思路1：运用同底数幂的除法:aaa)a()： 思路2：运用分式的约分：aa【学生活动】

学生口答，复习旧知

【设计意图】

mm  . 规定a0（a0）大部分学生会忘记附上对指数取值范围的规定，说明学生对幂的指数的理解并不透彻，所以可以以此为契机，由此引发学生对幂的指数进行思考

（二）合作探究、解决问题

【教学内容与教师活动】与【学生活动】

探究一：幂的指数是否可为负数

【教学内容与教师活动】与【学生活动】

问：复习可知幂的指数可以是正整数和0，那幂的指数可以是负整数吗？

在对预习案的分析下，各小组分配到不同的探究任务，各小组得到各自的探究结果，再把各组的探究结果合并在一起，就可以得到负整数指数幂的规定（即an1），从而解决了探究一的疑问

an问：预习案上的探究一，帮助我们得到一个规定，是哪个规定呢？

答：负整数指数幂的规定。

问：很好，那大家对这个探究的过程还有什么疑问吗？

如果有学生有疑问，可以先请其他同学帮忙解答，如果都答不出来，老师再来解答。等孩子们疑问都解答完了，老师继续发问：既然大家没有问题了，那接下来老师就要问大家了。

第1个问题：在这个规定的演算过程中，我们运用了两种思路，是哪两种思路呢？

答：一种思路是同底数幂的除法性质：另一种思路是分式的约分。

思路1：a3÷a3＝a3-5＝a-2（a≠0）

a31思路2：aa32(a0)

bb35规定：a21(a0)a2【设计意图】这个问题，是让学生进一步理解，我们之所以可以作如上的规定，是因为这是同一个运算在两种不同思路下得到的结果，而这两种思路都是我们已经学过的内容，从而让学生进一步体会由旧知推出新知的过程

【教学内容与教师活动】与【学生活动】

第2个问题：负整数指数幕要如何规定才合理呢？指数为负数是取相反数吗？

答：按照探究2的过程，我们规定an1，即an（a≠0）表示an的倒数，指数为负数是取倒数。

na第3个问题：在这个规定中，还有其他的限定条件吗？为什么？

答：限定a≠0，因为a作为除数不能为0 这个问题的设置，是强调a≠0这个条件。

【设计意图】这两个问题是帮学生进一步理解负整数指数幂的意义，帮助学生突破本节课的第一个重点：指数为负整数是取正整数指数幂的倒数，它仍然是一个幂的形式，a整体是它的底数，在计算时要避免犯错

【教学内容与教师活动】与【学生活动】

接下来对预习案中新知例1请学生讲解，老师在黑板上板书. 例题讲解1：

2(1)-3-2 (2) ()

12解：（1）3211

239(2) ()212114

11()224然后给学生1分钟的时间，自己改正预习案新知自测练习1、2题的错误，请一个同学上来讲讲昨天犯错的原因和改正方法。

归纳：负整数指数幂的引入，将指数的取值范围扩大到了全体整数

amam0a1 (a0,m取正整数)

1amma【设计意图】这个环节一方面对学生预习案中的问题进行讲解，一方面对计算格式进行规范．同时也让学生自行改正预习案中的错误，进一步掌握负整数指数幂的定义.

（三）合作再探、深入理解

【教学内容与教师活动】

探究二：引入负整数指数幂后，正整数指数幂的5条运算性质能否推广到全体整数指数的情形？

问：引入负整数指数后，正整数指数幂的运算性质能否推广到全体整数指数的情形？接下来请4人一个小组，在预习案上验证，并讨论你们验证是否正确，看看还有哪些疑问。

我们举例验证一下： 你选取的指数进行验证

（1）验证同底数幂的乘法

1a3123(5) 由aaa552aa . aaa353(5)； 得到aaa353

归纳：amanamn这条性质，对于m、n是任意整数的情形任然适用

问：对于其它正整数幂的运算性质，对于m、n是任意整数的情形是否适用呢？请用类似的方法验证。

（2）

验证幂的乘方

121)6a6a(3)2

3aa 得到(a3)2a(3)2 . 32由(a)(n（am）amn这条性质，对于m、n是任意整数的情形任 （填“适用”或“不适用”）

归纳：

（3）验证积的乘方

1113a3b3

33(ab)ab3 得到(ab)a3b3 . 由(ab)3 归纳：(ab)nanbn这条性质，对于m、n是任意整数的情形任 （填“适用”或“不适用”）

（4）验证同底数幂的除法

3515a52(3)(5)由aa3a3aa

aa35(3)(5) 可得aaa . 归纳：amanamn这条性质，对于m、n是任意整数的情形任 （填“适用”或“不适用”）

（5）验证分式的乘方

a2b2b212a221由()()22ba

baaab2b2a2a2 可得()2 . bb anan归纳：()n这条性质，对于m、n是任意整数的情形任 （填“适用”或“不适用”）

bb

【学生活动】

每个小组的同学自己讨论完成这个环节，小组同学在交流的过程中，可以看到其他同学选取的是什么数进行的验证，进一步体会验证法从特殊到一般的过程，还能发现自己在验证的过程中存在的问题

【设计意图】

在这个探究过程中，学生可能存在三个问题，老师需要引导解决：

1、有些学生可能会选取2个正整数来进行验证，需要引导学生认识到，当数域进行推广之后，只要验证新推广的数对于性质是成立的就可以了。

2、在验证幂的乘方这条性质时，学生可能会列举出（a-2）3和（a2）-3这两种形式，要帮助学生理解符号和指数在这里的含义。

3、在验证分式的乘方这条性质时，要用到an 【教学内容与教师活动】与【学生活动】

由特殊到一般，体现了数学的一致性，于是通过验证我们得到结论，正整数指数幂的所有性质都可以扩充到整个整数指数幂的情形。那么接下来的运算，学生可以选择运用定义把负整数指数幂化成正整数指数幂的倒数，再用分式约分，也可以直接运用性质来计算，我们更推荐用性质来算，因为更加简便。

接下来让学生对预习案中的新知自测3进行改错，请同学上来讲解，老师板书。

例题讲解2：

（1）m31这个公式，需要给学生进行讲解。

anm2 (2) (x3132313) （3） （4）

(3ab)xy(xy)2y1

5m3232m5解：（1）mmmx3x3y636 (2) (2)6xy3

yyx27a3 (3) (3ab)(3)ab27ab3

b13333332313233310(4) xy(xy)xyxyxy1

x【设计意图】

通过例题的讲解，让学生进一步体会运算性质带来的好处和便利，并对昨天没有解决的问题进行理解和改错，加深对整数指数幂性质意义的理解

（四）当堂检测、巩固提高

【教学内容与教师活动】与【学生活动】

1、填空

(1)

(2)= ， (-3)-3= . 0

（2）(4)2= ，4= ，

12(3)

()= ，()= ，

212342、计算

x22 (1)

aa (2) (1) (3)

(a1b2)3 (4)

a2b2(a2b2)3

y72当堂检测卷在课上就发给学生，让学生现场完成，先做完的同学老师当场批改，之后投影一个学生的答案边讲解边批改，最后统计完成情况，记录在统计表中，以作对比。

【设计意图】

该环节主要是检测学生在完成预习案又经过课堂的讲解后解题的情况，通过数据对比来对课堂内容进行调整和完善

（五）运用新知、整合旧知

思考：下列等式是否正确？为什么？

a(2) ()nanbn(1) aaaabanananamanamnnn ()n, abn

mnmnbbb aaaaamanaman()nambnbmnmn同底数幂的除法转化为乘法 分式的乘方转化为积的乘方

由此我们可以将整数指数幂的运算性质进一步简化为3条：

（1）aman＝am+n（m、n是整数）

（2）（am）n＝amn（m、n是整数）

（3）（ab）n＝anbn（n是整数）

【设计意图】

该环节是让学生感受到数学知识的统一性以及数学的简洁美

（六）导图小结、质疑提新

【教学内容与教师活动】

幂的指数可以为负整数吗？幂的指数为正整数或0幂的指数为整数amanamnamnamnamanamnabmnabnnnamnamnaaaanabbnnmnan1n(a0)，aabnanbnamanamnanabbnna0 1 （a0）由旧知推新知验证法：由特殊到一般数学的简洁美

【学生活动】

学生根据预习案的提示，自己思考今天所学的内容

【设计意图】

一节课结束之前让学生思考所学的内容是十分重要的，适当的回顾以让学生对所学内容有进一步的理解和升华

当堂延伸

思考：幂的指数可以是分数吗？如果不可以，理由是什么？如果可以3的值为多少？

【设计意图】

34该环节是想激发学生课后自主探索的欲望，培养部分优等生自主学习的习惯，同时让学生感受到数学知识的的发展延伸是有主线、循序渐进的。

（七）布置作业、巩固提高

【教学内容与教师活动】

A层：全品作业本109页1－7题

B层：全品作业本109页1－10题

【学生活动】

学生在课本上勾记

【设计意图】A层作业比较基融．B层作业针对好的那一层同学有一定的提高

六、板书设计

课题：15．2．3整数指数

一、复习巩固

二、解决问题

思路1：a3a5=a3-5=a2(a0)

a31思路2：aa=5=2(a0)

aa35规定:

a2=1(a0)

a2三、例题讲解

四、总结提升

七、教学设计思路说明

1、设计基础

本节课是受到“翻转课堂”和“小组合作”理念的影响，再结合初中教学的特点以及学生的实际情况进行设计的。“翻转课堂”要求将课堂前置，学生通过老师给的小视频自主学习，课堂上的时间用来答疑解惑。这样的模式既能有效的提高课堂效率，又能提高学生的自学能力，是对学生能力培养所必须的。由于设备和初中学生认知水平的限制，本节课选择了预习案的方式，来完成课堂前置，将老师上课的所有过程呈现在预习案上，让学生在阅读课本的基础上认真完成。

由于本节课的两个重点一一负整数指数幂的规定以及幂的运算性质的推广，都是在学生已经学过的知识上推导而得，所以使本节课的自主学习模式有了实现的可能。而预习案的设置，则能更好的帮助学生理解课本的内容，老师在上课之前对预习案进行批阅分析，则能比较好的掌握学生仍然存在的问题，在课堂上进行解决，使整节课的目标得以实现。

2、设计目的

我们的初中学生现在习惯的学习模式是灌输式教学模式，就是老师教什么，就学什么老师间什么，就答什么，没有自主学习的意识，也没有质疑的能力。所以本节课就是针对目前初中生学习上的这两个缺漏而设计的。完成预习案的过程就是一次自主学习的过程，不仅要求学生认真阅读课本，还要理解预习案上每一个探究的过程，结合旧知，推出新知。而本节课的课堂，主要用来让学生质疑，解决头天预习案中自己不能完成的问题，然后同学之间互相帮助，共同探索，大家都不能解决的问题，再由老师解答，整个过程，学生的质疑能力起到关键的作用。所以本节课的设计，力求让学生的自学能力和质疑能力得到提高。

3、设计价值

很多老师认为这种课型的课并不适合初中学生，所以价值不大。但是笔者认为，正是因为学生在自学和质疑的能力上有所欠缺，才更应该引起我们一线老师的反思，我们平时是不是也习惯了灌输式的教学呢？由于进度，考试的压力，一节课要完成的内容很多，所以我们往往疏于给学生足够的时间来想，来练，就算是所谓的引导、探究，也没有都落在实处，我们更关注的是学生会不会解题。这就导致了学生养成依赖老

师的习惯，不会思考，不想思考。所以在学生知识水平能够达到的基础上，适当的增加这样的课型，让学生自己去探究，自己去质疑是十分必要的，对学生长久的学习能力和思维的培养也将起到关键的作用。

八、教学反思

本节课经历了四次磨课的过程，所以本节课所反映的问题比较全面，具有代表性。下面就从学生和教学两个方面进行反思学生主要存在的问题有以下两点：

1、没有自主学习的意识和能力。其实本节课的三个环节一复习回顾、探究新知和整合知，都可以在课本上找到答案，预习案上也清楚的写了“预习课本142－144页的内容”等字样但认真阅读课本的学生屈指可数，大多数学生都是一目十行，只寻找所需要的答案或者公式，不仔细理解课本内容的含义，更有甚者，看了公式以后直接完成习题，根本不看推导过程。这就证明学生在平时的学习过程中，也没有认真研习过课本，更不用说主动的预习和复习了，这样也就导致了“翻转课堂”的目的没有完全达到。

2、没有质疑能力，等着老师引导。本节课的一个关键部分，就是在课堂上解决学生的疑惑。不过遗憾的是，无论在哪个校区，当我问“大家还有什么疑问吗？”，学生都是异口同声的回答“没有”。但当我提出相应问题时，学生又答不出来。这就证明学生不会自己发现问题，他们总是等着老师带着他们走下一步，而他们充当的就只是接收者的角色。其实思考学生存在的以上两个问题，都是我们教学上的疏漏导致的，所以在对我们的教学模式进行反思之后，我发现有两个需要改进的地方：

1、改变灌输式的教学模式，教会学生自学质疑。在现今备考的压力下，我们往往为了赶进度或者注重分数，在教学时总是将课堂安排的满满的，根本没有给学生充分的时间思考，更不要说质疑。他们早已习惯了我们这种灌输式的教学，老师要我做什么，我们就做什么。所以适当的改变我们的教学模式，在某些学生知识体系能够达到的情况下，给学生充分的时间思索，放手让他们自学，允许他们发问，包容他们的错误，充分发挥他们的主观能动性，是十分必要的，毕竟我们不仅要教会学生知识，还要培养他们的思维模式，教会他们学习的方法

2、将探究、小组讨论落到实处。在新课程改革的背景下，我们的课堂往往会出现探究、小组讨论的方式，这种模式在本节课也有所采纳。但我发现，所谓的自主探究、小组讨论往往并没有落到实处，一个小组的同学真正进行讨论的也许只有那么1、2个，其余的同学要么随声附和，要么默不作声，如果有需要完成的问题，也就是抄抄了事。其实我们学生的智慧远比我们想象的深厚，他们的思路也比我们想象的活跃，如果能充分发挥小组这一块力量，让他们学会交流，学会帮助，那产生的收效将是出乎我们预料的。

本节课其实就是一种新的尝试和挑战，它还有很多不完善的地方，但是从准备这节课的过程中，我收获了很多宝贵的思考，这些思考使我受益匪浅，我也会在今后的教学过程中进行调整，争取让学生能真正喜欢数学，让每一个学生的数学思维都有所提高。

班级 姓名 .

一、

复习回顾 1.填空

计算

运算性质

同底数幂的乘法

幂的乘方

积的乘方

同底数幂的除法

分式的乘方

公式表示

整数指数幂预习案

3335

aman

(x3)3

(mn)4

(am)n

(ab)n

aman

a5a3

(2b3)

aa()n

b

2.

我们规定了0指数幂，首先复习0指数幂的规定过程：

mm()a(思路1：运用同底数幂的除法：aaa

思路2：运用分式的约分：amam)

 规定a0（a0）

二、探究新知（预习课本142页—144页）

探究一：幂的指数是否可为负数

思考：在整数指数幂的运算中，我们规定幂的指数m、n是正整数，那么幂的指数m、n能取负整数吗？

我们能否类似于0指数幂的规定过程处理以下运算呢？

思路1：252725722

125275-22122 252772思路2：222



：

思路15358思路2：

：

思路1a4a7思路2：

思路1：

m2m6思路2：



aa

mm2：

思路1

思路2：

12 规定：负整数指数幂：an

例题讲解1：

注意：引入负整数指数和0指数幂后，幂指数的取值范围就推广到全体整数。

2(1)-3-2 (2) ()

新知自测：

练习1、填空

（1）30= ，(-3)0= ，b0= 。

（2）

3= ，(-3)-2= ，3-22 。

111 （3）()2= ，()2= ，()-2= (b0)。

b22

练习2、将下列各式写成只含有正整数指数幂的形式：

2（1）x= ； （2）ab= ； （3）= ； （x2y）

探究二：引入负整数指数，正整数指数幂的5条运算性质能否推广到全体整数指数的情形？

我们举例验证一下： 你选取的指数进行验证

（1）验证同底数幂的乘法（1,2小组验证）

3341a3123(5) 由aaa552aa

aaa353(5)； 得到aaa353

mnmn归纳：aaa这条性质，对于m、n是任意整数的情形任 （填“适用”或“不适用”）

(2)验证幂的乘方（3,4小组验证）

32由(a)(1216(3)2)aa

36aa 得到(a)a

n（am）amn这条性质，对于m、n是任意整数的情形任 （填“适用”或“不适用”归纳：）

32(3)2

(3)验证积的乘方（5,6小组验证）

1113a3b3

33(ab)ab 得到(ab)3a3b3 由(ab)3归纳： (ab)nanbn这条性质，对于m、n是任意整数的情形任 （填“适用”或“不适用”）

(4)验证同底数幂的除法（7,8小组验证）

15a52(3)(5)由aa3a3aa

aa35(3)(5) 可得aaa 35归纳：amanamn这条性质，对于m、n是任意整数的情形任 （填“适用”或“不适用”）

(5)验证分式的乘方（9,10,11,12小组验证）

a2b2b212a2212

由()()22ba2baaabba2a2 可得()2 bb nana

归纳：()n这条性质，对于m、n是任意整数的情形任 （填“适用”或“不适用”）

bb

请你选取其他的数字作为指数带入以上5条性质，验证它们是否成立。

事实上，前面提到的5条运算性质都可以推广到整数指数幂。在计算时，我们可以利用性质直接进行运算。

新知应用：

例2.计算

（1）m

（3）(3ab) (4)x

133m2 （2）(x3) y223y(x1y)3

三、思考下列等式是否正确？为什么？

annn（1）aaaa （2）()ab

bmnmn

由此你能将整数指数幂的运算性质进一步归结为几条？

运算性质

公式表示