测试教学实录

几何画板迭代全解

几何画板迭代全解

目

录



迭代的基本概念以及迭代的基本操作



迭代的概念



迭代在代数、几何中的应用



画正多边形



数列的图像、前n项和与积



迭代与分形几何



Sierpinski 三角形



Sierpinski 地毯



摇曳的Pythagorean Tree毕达哥拉斯树



分形树



KOCH 曲线



KOCH Snowflake柯克雪花



数学之美



H迭代



蜂巢



其它分形欣赏



函数迭代：函数映射，M集，朱丽亚集



迭代法求方程解



MIRA 

Henon-Attractor



Mandelbrot集合



Julia

Sets集合



牛顿迭代法



下期预告

1

几何画板迭代全解

第一章：迭代的概念和操作

迭代是几何画板中一个很有趣的功能，它相当于程序设计的递归算法。通俗的讲就是用自身的结构来描述自身。最典型的例子就是对阶乘运算可看作一下n!n(n1)!的定义：

。递归算法的特点是书写简单，容易理解，但(n1)!(n1)(n2)!是运算消耗内存较大。我们先来了解下面这几个最基本的概念。

迭代：按一定的迭代规则，从原象到初象的反复映射过程。

原象：产生迭代序列的初始对象，通常称为“种子”。

初象：原象经过一系列变换操作而得到的象。与原象是相对概念。

更具体一点，在代数学中，如计算数列1，3，5，7，9......的第n项。我们知道anan12，所以迭代的规则就是后一项等于前一项加2。以1作为原像，3作为初像，迭代一次后得到5，再迭代一次得到7，如此下去得到以下数值序列7 , 9，11, 13, 15......如图1.1所示。

图

1.1 图

1.2 在几何学中，迭代使一组对象产生一组新的对象。图1.2中A、B、C、D、E、F、G，各点相距1cm，那么怎么由A点和B点得到其它各点呢？我们可以发现其中的规律就是从左到右，每一个点相当于前面一个点向右平移了1cm。所以我们以A点作为原像，B点作为初像，迭代一次得到B点，二次为C点，以此类推。

所以，迭代像就是迭代操作产生的象的序列，而迭代深度是指迭代的次数。那么下面我们通过例子来进一步地了解迭代以及相关的概念。

几何画板中迭代的控制方式分为两种，一种是没有参数的迭代，另一种是带参数的迭代，我们称为深度迭代。两者没有本质的不同，但前者需要手动改变迭代的深度，后者可通过修改参数的值来改变迭代深度。我们先通过画圆的正n边形这个例子来看一下它们的区别。

【例1】画圆的内接正7边形。

2

几何画板迭代全解

【分析】由正7边形的特征，我们知道，每一个点都相当于前面的点逆时针旋转360，抓住这个规律，我们可以用迭代功能来解决。

7【步骤】

1.

新建圆O，在圆O上任取一点A。

2.

双击圆心O作为旋转中心。选中A点，单击菜单【变换】【缩放】，旋转参数选为选择固定角度，然后在框中输入360/7，得到B点。连接线段AB。

第

2 步

第

3 步

3.

选择A点，单击【变换】【迭代】，点击B点作为初像。屏幕上显示出迭代的像是正7边形的4条边（因为系统默认非深度迭代的迭代次数是3次）。

4.

单击迭代框的【显示】按钮，选择【增加迭代】。（或者按键盘的‘＋’或‘－’）。增加三次迭代后，我们可以看到一个完整的正7边形。此时的迭代次数为6次，正7边形制作完成。

第

4 步

第

5 步

5.

单击迭代框的【显示】按钮【最终迭代】，得到的图像仅是最后一条边。

6.

点击迭代框【结构】按钮，我们可以设置创建的对象，选择“仅没有点的对象”则迭代的像只有正多边形的各条边，而没有顶点，反之则有。

3

几何画板迭代全解

选择迭代像，我们可以修改他们的属性，比如颜色和粗细等，但是细心的你会发现，线段的迭代像是不能够度量其长度的，当然也就不能取中点之类的操作。迭代的点是不能够度量他们的横纵坐标，但是我们可以得到迭代的终点，方法是选择迭代的点，然后单击【变换】【终点】，可以发现最后的那个点变成实点了，这个功能在函数映射里面会用到。

上述方法在增加后减少迭代次数时比较麻烦，而且迭代规则限定了，即每次都是旋转同样的角度。迭代次数和迭代规则能不能用带参数来控制呢？可以的，这就是深度迭代。

【例2】画圆的任意n边形

【步骤】

1.

新建圆O并在圆上任取一点A。双击圆心O作为旋转中心。

2.

新建参数n＝7，计算360,注意这时要带单位‘度’。

n3.

选择A点，单击菜单【变换】【旋转】，出现旋转对话框，单击计算结果‘360’作为标记角度，得到B点。连接线段AB。

n

第

3 步

第

4 步

4.

顺次选择点A和参数n，按住“shift”键不放，单击【变换】【深度迭代I】，出现迭代对话框。单击B点作为初像，屏幕上显示出完整的正7边形。按【迭代】完成操作。

4

几何画板迭代全解

5.

如何改变参数n呢？有两种方法，第一种是双击参数n，然后在对话框中输入值。第二种是单击参数n，按键盘的‘＋’、‘－’，系统默认变化量为1。右键单击可以修改变化量的大小。

注意：迭代时，作为迭代深度的参数n一定要在最后面选择，这是系统的规定。

上面讲的都是迭代在几何方面的应用，下面我们来看看用迭代在画数列图像和数列求和方面的应用。

【例3】求数列an1n

(n=1,2......)的图前8项，并在平面上画出散点2(n,an)。

【分析】由数列的表达式可知，(n,an)是直线y=1+0.5x上面的点。我们要产生两个数列，一个是作为横坐标的数列1，2，3......，一个是作为纵坐标的满足上述通项公式的数列。

【步骤】

1.

新建函数y=1+0.5x。

2.

新建参数a=1,计算a+1,a+1-1,f(a),f(a+1)。

（计算a+1-1是为了得到f(a)对应的横坐标a。因为迭代次数为0的时候，f(a)=1.5,a的值在迭代数据表中是不会显示出来的。）

3.

新建参数n＝7作为迭代深度。

4.

选择a和n，做深度迭代,原像是a,初像是a＋1。

5

几何画板迭代全解

5.

右键点击数据表，选择‘绘制表中记录’，设置x列变量为(a+1)-1，y列为f(a)。坐标系为直角坐标系。

第

5 步

第

6 步

6.

点击绘图，得到散点。这些点是可以度量的。但是当参数n改变的时候，这些点不与数据表同步，所以是不会改变的。

【例4】求数列1，3，5，7，9(n=1,2......)的前n项和。

SnSn1anSn1a1(n1)*d，【分析】公差为d，假设前n项和为Sn，在平面上描出（n, Sn）。

【步骤】

1.

新建参数x=1,计算x＋1。

2.

新建参数a=1,d=2。分别表示数列首项和公差。

3.

新建参数s=1,计算s+a+x*d 4.

选择x,x+1,s, s+a+x*d,和n做深度迭代。绘制数据表，x列为x＋1，y列为s＋a+x*d。

6

几何画板迭代全解

第

4 步

第

4 步

与此同理那么等比数列的制作也是一样的。下面我们来看看通项公式不知道的数列怎么画出其图像。

【例4】画出菲波拉契数列a11,a21,anan1an2。

【分析】数列的前提条件是a11,a21，因为anan1an2；所以原像是a1,a2，初像是a2,a3。

【步骤】

1.

新建参数f1=0,f2=1,计算f1＋f2,把计算结果的标签改为f3。

2.

新建参数a=1,计算a+1,。计算（a+1）+1(因为迭代0次的时候f3＝2，而，所以下标应该是3，而a=1,故计算a+1+1)

3.

新建参数n=8 4.

依次选择f1,f2,a1,a1+1,n,做深度迭代。

第

5 步

5.

绘制表中数据，x列为a13，y列为f3。

6.

画点（0,1）,(1,1)两点，作为数列的前两项。从图像可以看出，数列前面增长的很缓慢，但是到了后面就非常的惊人了。

第

6 步

7

几何画板迭代全解

【小结】

在开始下一章“迭代与分行”之前，先复习一下深度迭代的过程是：

1.

顺次选择原像和参数n。（注意顺序）

2.

按住shift不放，单击菜单【变换】【深度迭代】（出现对话框后可以松开shift键）。

3.

依次选取初像。（注意顺序）。

添加映射的方法是按键盘‘Ctrl＋A’。

8

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第二章：迭代与分形几何

分形的特点是，整体与部分之间存在某种自相似性，整体具有多种层次结构。分形图片具有无可争议的美学感召力，特别是对于从事分形研究的科学家来说。欣赏分形之美当然也要求具有一定的科学文化知识，但相对而言，分形美是通俗易懂的。分形就在我们身边，我们身体中的血液循环管道系统、肺脏气管分岔过程、大脑皮层、消化道

小肠绒毛等等都是分形，参天大树、连绵的山脉、奔涌的河水、漂浮的云朵等等，也都是分

形。人们对这些东西太熟悉了，当然熟悉不等于真正理解。分形的确贴近人们的生活，因而由分形而来的分形艺术也并不遥远，普通人也能体验分形之美。

因为分形几何的迭代的原像一般不止一个，而且均为多映射迭代，为了叙述的方便，我们先作以下两个约定。

1.

用(A,B,C)表示有顺序的两点A、B和C。

2.

(A,B,C)(D,E,F,),(G,H,I)表示A映射到D，B映射到D，C映射到F,然后添加映射A映射到G，B映射到H，C映射到I,如此类推。

【Sierpinski三角形】

波兰著名数学家谢尔宾斯基在1915-1916年期间，为实变函数理论构造了几个典型的例子，

这些怪物常称作“谢氏地毯”、“谢氏三角”、“谢氏海绵”、“谢氏墓垛”。如今，几乎任何一本讲分形的书都要提到这些例子。它们不但有趣，而且有助于形象地理解分形。

著名的Sierpinski三角形，它是很有代表性的线性分形，具有严格的自相似特点。不断连接等边三角形的中点，挖去中间新的小三角形进行分割---随着分割不断进行Sierpinski三角形总面积趋于零，总长度趋于无穷。Sierpinski三角形在力学上也有实用价值，Sierpinski三角形结构节省材料，强度高，例如埃菲尔铁塔的结构与它就很相似。

【步骤】

1.

在平面上任意画一个三角形ABC，取三边中点为D、E、F，连接DEF。

2.

新建参数n＝3 3.

顺次选择B,C,A三点和参数n，作深度迭代,(B,C,A)(D,F,A)。

4.

添加新的映射, (B,C,A)(B,E,D)。

9

几何画板迭代全解

第

3 步

5.

继续添加映射。(B,C,A)(E,C,F)

6.

改变参数n可观察图形变化。

第

4 步

第

5 步

【Sierpinski地毯】

和Sierpinski地毯相似，只是步骤多了一些。取正方形将其

9 等分，得到

9 个小正方形，舍去中央的小正方形，保留周围

8 个小正方形。然后对每个小正方形再

9 等分，并同样舍去中央正方形。按此规则不断细分与舍去，直至无穷。谢尔宾斯基地毯的极限图形面积趋于零，小正方形个数与其边的线段数目趋于无穷多，它是一个线集，图形具有严格的自相似性。

【步骤】

1.

平面上任取线段AB，以线段AB构造正方形ABCD。

2.

以A为缩放中心，B、D缩放为1/3,得到E、F；以D为缩放中心，A、C缩放为1/3得到G、H。同理得到I、J、K、L。连接各点，将正方形九等分；

3.

并填充中间的正方形MNOP，度量MNOP的面积，选择改度量结果和

10 第

6 步

几何画板迭代全解

填充的正方形，单击【显示】【颜色】【参数】，单击确定。则该MNOP的颜色随它的面积变化而变化。

第

2 步

第

3 步

4.

新建参数n＝4，顺次选择A、B两点和参数n，作深度迭代，（A，B）；（P，O）；（O，J）；（F，M）；（M，N）；（N，K）；（A，E）；（G，P）（E，L）；（L，B）。注意迭代中点的对应，当迭代框遮住图像的时候可用鼠标选中拖动开。单击迭代，隐藏不必要的点。

如果我们制作任意三角形的Sierpinski三角形和任意四边形的Sierpinski地毯（即三角形和四边形的顶点都是自由点），然后按照多面体的侧面数将他们复制。利用画板合并点的功能，将它们“粘贴”到三棱锥和正方体的各个侧面上，（如下图）可以制作空间的Sierpinski三角形和地毯。是不是很漂亮呢？

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几何画板迭代全解

【摇曳的Pythagorean Tree(毕达哥拉斯树)】

毕达哥拉斯学派发现勾股定理(西方叫做毕达哥拉斯定理)闻名于世，又由此导致不可通约量的发现。1988年，劳威尔通过数值研究发现毕达哥拉斯树花是一迭代函数系的J集。

【步骤】

1.

在屏幕上以任取两点A和B，作正方形ABCD，以CD为直径作圆O，取半圆弧OCD，在该弧上任取一点E，连接CE，DE。隐藏不必要的对象。

2.

填充四边形ABCD，度量ABCD的面积。选择四边形和度量结果，单击【显示】【颜色】【参数】。则四边形的颜色会随它的面积变化而变化。

3.

新建参数n＝4，选择A、B和n，作深度迭代，(A,B)(D,E),(E,C)。

第2 步

第

3 步

4.

选择E点，单击【编辑】【操作类按钮】【动画】，E点变动，很漂亮的效果。当E点在OCD的中点时，整个树显出对称美。

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几何画板迭代全解

【分形树】

【分析】和毕达哥拉斯树类似，树枝按一定的规律生长。

【过程】

1.

在垂直方向上画线段AB，在AB左上区域任取一点C。

2.

度量CB，BA的长度，计算CB/BA；度量CBA的大小。

3.

双击C点作为旋转中心，旋转角度为CBA，旋转B得到点E；继续以CB/BA为缩放比例，E点缩为F点；双击线段CB作为标记镜面，得到F点关于线段CB的对称点G。连接GC，FC。

4.

双击线段AB作为标记镜面，得到C、F、G关于线段AB的对称点D、H、I，连接BD、HD、ID。

第

3 步

第4 步

5.

新建参数n=3。顺次选择A、B、C三点和参数n，作深度迭代，(A,B,C) 

(B,C,G),(B,C,F),(B,D,H),(B,D,I)。

6.

移动C点的位置，改变树枝的形状。

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几何画板迭代全解

【KOCH 曲线】

瑞典数学家柯赫于1904年构造了如今称之为“柯赫曲线”(Koch curve)的几何对象，这一年

他一共发表了两篇论文描述这种曲线，他画出了此曲线的图形，给出了生成步骤。它的构造过程如下：取一条长度为L的直线段，与构造三分康托尔点集那样先将它三等分，然后保留两侧的两段，将中间的一段改成夹角为60o的两个等长的直线，每段长度均为L/3，这是n=1的第一次操作。类似地，第二次操作是将上次所得的四段边长为L/3的线段都进行三等分，现在每段长度为L/9，并将它们中间的一段改成夹角为60的两个长度为L/9的直线。如果将上述操作一直进行下去，最终得到一条具有自相似结构的曲线，称为三次科赫曲线。

【步骤】

1.

画线段AB，以A为缩放中心，B缩短为1/3,得到C点；同理以B为缩放中心，A缩短为1/3，得到D点。以C点为旋转中心，D点顺时针旋转60度，得到E点。

2.

隐藏线段AB，连接线段AC、CE、ED、DB。

3.

新建参数n＝3，顺次选择A、B两点和n，作深度迭代。(A,B) 

(A,C),(C,E),(E,D),(D,B)。（如下图所示）

o

14

几何画板迭代全解

4.

单击迭代框的“显示”按钮，选择“显示最终迭代”。隐藏线段AC、CE、ED、DB（如下图所示）。

5.

改变参数n，观察图形变化。

【KOCH雪花】

因为它酷似雪花，所以叫“雪花曲线”(snowflake curve)，也很像海岸线。柯赫曲线的生成过程很简单，以一个三角形作为源多边形，即初始元，将三角形的每一边做三等分，舍去中间的1/3，然后按科赫曲线的规则产生生成元。从源多边形开始，第一步形成一个六角星形，第二步将六角星形的12条边然后按科赫曲线的生成规则进行同样的操作得48条边星形，如图4-5，以后依此进行同样得操作，直至无穷，生成称为科赫雪花的图形。在极限的情况下，科赫雪花的上的折线演变成为曲线。由于科赫曲线生成中的每一步操作都会使折线的长度增加，所以在极限的情况下，科赫雪花边的总长度将趋于无穷。

柯赫曲线是很复杂的，首先它有许多折点，到处都是“尖端”，用数学的语言讲，曲线虽然

连续，但处处不可微，即没有切线。

【步骤】

1.

在平面上取AB做一个KOCH曲线，然后在A的左端任取一点G，在

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几何画板迭代全解

B的右边任取一点F，分别在AG和BF上做KOCH雪花，注意三个迭代深度都必须为n。

2.

以B点为旋转中心，A顺时针旋转60度得到H点。选择G，H两点，单击【编辑】【合并点】，则G点与H点合并。同理，再合并H、F两点。KOCH雪花完成了。

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几何画板迭代全解

【数学之美】

【

步骤】

1.

任取两点A、B，并作正方形ABCD。

2.

在AB上任取一点E,连接BE，度量线段BE的长度并计算BE/AB。

3.

双击A点作为缩放中心，选择D点，单击【变换】【缩放】以计算结果‘AE/AB’为比例缩放，得到点F；同理以D点为中心，缩放C点得到点G；以C点为缩放中心，缩放B点得到点H。连接正方形EFGH。

4.

新建参数n＝5，顺次选择A、B两点，和参数n，按下shift键不放，作深度迭代，(A,B)(F,E)

。如下图所示：

5.

选择E点，点击【编辑】【操作类按钮】【动画】。E点变动，产生梦幻般的效果。

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几何画板迭代全解

【H迭代】

【步骤】

1.

在水平直线上取两点A和B，连接AB。以A点为旋转中心，B点顺时针旋转90度，得到C点，再取AC中点D。

2.

以D为旋转中心，C点顺时针旋转90度得到E点，取DE中点F。以D为旋转中心，F点再旋转180度得到G点。连接FG。

3.

同理再画出H、I两点。以AB为标记镜面，得到F、G、H、I关于AB的对称点J、K、L、M，连接线段JK，LM。（如下图所示）

4.

隐藏不必要的点，新建参数n＝4。顺次选择A、B两点、参数n，作深度迭代，

(A,B)(F,G),(H,I),(J,K),(L,M).

5.

单击迭代，隐藏各点的标签。

【蜂巢】

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几何画板迭代全解

蜜蜂地巢你观察过没有？是什么形状呢？聪明的蜜蜂选择了正六边形，因为这样可以填充整个空间，而且正六边形是最省材料的一中结构。从蜂巢中我们也可以发现许多自相似的结构。由三条边迭代就可以得到蜂巢了，不信？请看。

【步骤】

1.

屏幕上任取线段AB，以B为旋转中心，A点顺时针旋转120度得到点C，A点逆时针旋转120度得到点D。

2.

新建参数n＝5。选择A、B和参数n，作深度迭代，(A,B)(B,C),(B,D)。

3.

单击迭代，得到蜂巢的图像。

上面的迭代只是分形几何的一部分，由于篇幅所限，下面给出其余一些分形几何的图片，以供欣赏：

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几何画板迭代全解

20

几何画板迭代全解

第三章：函数迭代

【多项式f(x)ax4bx3cx2dxe求根】

【分析】多项式求根的迭代式是xn1xn【步骤】

1.

新建参数a=-0.1,b=-0.1,c=1,d=2,e=-1，n＝5。

2.

新建函数f(x)ax4bx3cx2dxe，画出它的图像。

3.

在图像上任取一点A，度量A的横坐标xA。

4.

计算xAf(xA)f(xA)；计算f(xA)。

f(xA)f(xA)f(xA)f(xA)，f(xA【图表】【绘制点】。得到点B。

)单击f(xA)f(xA)f(xn)。

f(xn)5.

依次选择xA6.

度量B的横坐标xB。

7.

选中点A，和参数n，按住Shift键，单击【变换】菜单【深度迭代】，弹出迭代对话框，单击点B。结果如图1所示。

图

1 图

2

8.

选择迭代像，单击【变换】菜单【终点】，得到迭代的终点C，度量C点的横坐标xC。

9.

观察表格可知，显示方程的一个近似根是0.42。

10.

拖动A点，改变它的位置。观察表格可知道方程的另外一个近似根是

21

几何画板迭代全解

3.41。如图2所示。

【MIRA】

【步骤】

1.

在平面上取一点A，度量A的横坐标xA和纵坐标yA。

2.

新建参数a＝0.4，b=0，99875。（b取得尽量接近1）

(1a)x23.

新建函数f(x)ax。

1x24.

计算f(xA)＋byA,f(f(xA)＋byA)-xA。注意这里用的是函数嵌套。顺yA,f(f(xA)＋byA)-xA，B点的颜色次选择这两个结果，单击【图表】【绘制（x，y）】。得到点B。

5.

顺次选择点B和三个计算结果：f(xA)＋bxA。单击菜单【显示】【颜色】【参数】，单击确定。发现变了，其实B点已经隐藏起来，看到的是同一位置上的另外一个点B’。

6.

新建参数n＝1500，选择A点和参数n作深度迭代。AB'

22

几何画板迭代全解

【Henon Map（埃农映射）】

【步骤】

1.

在平面上取一点A，度量A的横坐标xA和纵坐标2.

新建参数a=1.2,b=0.4 3.

计算(1axA2)yA,byA。顺次选择这两个计算结果，点击【图表】【绘制(x,y)】，得到点B。

4.

选择点B，并依次选择(1axA2)yA,byA和xA，单击菜单【显示】【颜色】【参数】，出现颜色参数对话框，单击确定。得到点B’。

5.

新建参数n＝1500,选择点A和参数n，作深度迭代，AB'。

因为M集和朱丽亚集其实是复数平面迭代，我们先来复***面的一些知识。

若

Zk= xk+ iyk ,  = p+iq

yA。

ZK2(xk2yk2)(2xkyk)i,ZK2(xkykp)(q2xkyk)i

则

xk＋1＝xk2－yk2

＋p，yk＋1＝2xkyk ＋q，聪明的你应该知道怎么表示复平面上的点的平方了吧。

好了，那么什么是Julia集和Mandelbrot集合，他们之间的区别是什么呢？

考虑

Zk+1=Zk2+，给定复数初值Z0,

，得到无穷复数序列{Zk} Julia集：固定，J

={Z0序列{Zk}有界}

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几何画板迭代全解

Mandelbrot集：固定Z0，MZ＝{

序列{Zk}有界} 【

Mandelbrot 集合

】

【步骤】

1.

在平面上以原点为中心，建立一个矩形ABCD作为观察区域。

2.

在线段AD上取一点E，点击【编辑】【操作类按钮】【动画】，使得E点能够在AD上运动。

3.

作E点关于Y轴的对称点E ’,然后连接EE ’。在EE ’上取一点G，度量xG,yG。

4.

在平面上取一点F，度量

xF,yF。计算xFyF+xG和2xFyFyG，顺次选择这两个度量结果，单击【图表】【绘制（x ,y）】。得到点H。

5.

新建参数n＝100，选择点F和参数n，作深度迭代，FH。

6.

选择迭代像，单击【变换】【终点】，得到迭代终点I。度量I的横、纵坐标，并计算xI,yI,22xI，单yI，选择这三个结果和点G（注意是点G）击【显示】【颜色】【参数】，得到G’。

7.

选中G’，单击【作图】【轨迹】。隐藏线段EE’,选择刚才的轨迹，按右键，单击‘追踪轨迹’。

8.

把F点移至原点。点击动画按钮，则可以得到M集，适当调整窗口大小。

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几何画板迭代全解

【Julia Sets朱丽亚集】

【步骤】

1.

在平面上以原点为中心，建立一个矩形ABCD作为观察区域。

2.

在线段AD上取一点E，点击【编辑】【操作类按钮】【动画】，使得E点能够在AD上运动。

3.

作E点关于Y轴的对称点E ’,然后连接EE ’。在EE ’上取一点G，度量xG,yG。

4.

在平面上取一点F，度量

xF,yF。计算xFyF+xG和2xFyFyG，顺次选择这两个度量结果，单击【图表】【绘制（x ,y）】。得到点H。

5.

新建参数n＝100，选择点F和参数n，作深度迭代，FH。

6.

选择迭代像，单击【变换】【终点】，得到迭代终点I。度量I的横、纵坐标，并计算xI,yI,22xI，单击yI，选择这三个结果和点F（注意是点F）【显示】【颜色】【参数】，得到F＇。

7.

选中F＇，单击【作图】【轨迹】。隐藏线段EE＇,选择刚才的轨迹，按右键追踪轨迹。

8.

点击动画按钮，则可以得到Julia集，调整窗口大小。

25

几何画板迭代全解

【牛顿迭代法】

【步骤】

9.

在平面上以原点为中心，建立一个矩形ABCD作为观察区域。

10.

在线段AD上取一点E，点击【编辑】【操作类按钮】【动画】，使得E点能够在AD上运动。

11.

作E点关于Y轴的对称点E＇,然后连接EE＇。在EE＇上取一点G，度量xG,yG。

2xBxB2yB212.

在平面上取一点F，度量

xF,yF。计算，33(xB2yB2)22yB2xByB【绘制33(xB2yB2)2顺次选择这两个度量结果，单击【图表】（x ,y）】。得到点H。

13.

新建参数n＝100，选择点F和参数n，作深度迭代，FH。

14.

选择迭代像，单击【变换】【终点】，得到迭代终点I。度量I的横、纵坐标，并计算xI,yI,xI，单yI，选择这三个结果和点G（注意是点G）击【显示】【颜色】【参数】，得到G’。

15.

选中G’，单击【作图】【轨迹】。隐藏线段EE’,选择刚才的轨迹，按右键追踪轨迹。

把F点移至原点。点击动画按钮，则可以得到M集，调整窗口大小

26

几何画板迭代全解

下期精彩预告：

国外同行Paul Kunkel在September 29, 2003制作了Perspective Tools。同样地，国内的霍焰制作了hot_fire立体几何制作平台。两个工具包在制作立体几何图形非常地方便。而且富有立体感。文章主要介绍两个工具包的使用。初级内容为空间直角坐标系的建立，点线面和简单空间几何体的绘制。高级内容为空间曲线的绘制，包括旋正弦线，转抛物面，双曲面，椭球面，球体等的绘制。

棱锥

球

圆柱

锥

长方体

四棱台

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几何画板迭代全解

马鞍面

1 椭圆双曲面

旋转双曲面

李萨如曲线

正弦曲线

正弦波

球

1 球

2

球

3

球

3

球

4 球

5

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