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15.2.2 完全平方公式

教学目标：

（一）、知识与技能：1．完全平方公式的推导及其应用．2.能运用完全平方公式进行简单的运算.3．完全平方公式的几何解释。

（二）、过程与方法：1．经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推理能力．2．有意识地培养学生的思维条理性和表达能力。

（三）、情感、态度与价值观：在灵活应用公式的过程中激发学生学习数学的兴趣，培养创新能力和探索精神．体会数形结合的思想。

教学重点：完全平方公式的结构特征及运用。

教学难点：对具体问题会运用公式以及理解公式中字母的广泛含义。

教具准备：多媒体课件等。

教学过程设计：

一、【活动1】：

回顾与思考：1、请你叙述平方差公式并用字母表示。2、公式的结构特征及运用平方差公式的注意事项。

二、【活动2】：交流合作、探索发现

本次活动，通过创设问题情境，让学生尝试用两种不同的方法表示试验田的总面积，从而得到等式：

(a+b)²=a²+2ab+b²

。

问题：一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加 b 米。形成四块实验田，以种植不同的新品种(如图1—6).用不同的形式表示实验田的总面积, 并进行比较. 探索: 你发现了什么?

方法一：总面积=(a+b)²

方法二：总面积=a²+ab+ab+b² =a²+2ab+b²

结论：(a+b)²=a²+2ab+b²

图1—6 三、【活动3】：验证并揭示完全平方公式

本次活动着重引导学生利用多项式的乘法法则说明(a+b)²=a²+2ab+b²成立，然后由此等式直接导出(a-b)²=a²-2ab+b²，揭示完全平方公式：(a+b)²=a²+2ab+b²(a-b)²=a²-2ab+b²

（1）、你能用多项式的乘法法则来说明它成立吗? （2）、小明写出了如下的算式:(a-b)²=[a+(-b)]²他是怎么想的?你能继续做下去吗? 推证：(a+b)²=(a+b)(a+b)=a²+ab+ab+b²=a²+2ab+b²

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(a-b)²=[a+(-b)]²=a²+2a(-b）+（-b)²=a²-2ab+b²

四、【活动4】：

初识完全平方公式

引导学生观察公式，说出公式的结构特征，理解公式中字母的含义。

完全平方公式：(a+b)²=a²+2ab+b²(a-b)²=a²-2ab+b²

结构特征：1、左边：二项式：两数和(差)的平方。2、右边：二次三项式：首末是两数的平方和，中间是这两项积的两倍，符号与前面相同。3、公式中的字母a，b可以表示单项式或多项式。

五、【活动5】：

结合图形再识完全平方公式

本次活动教师引导学生观察图形，利用图形面积直观得到两个公式，体会数形结合的数学思想。

你能结合图形说明完全平方公式吗？

(a+b)²=a²+2ab+b²

(a-b)²=a²-2ab+b²

六、【活动6】：完全平方公式的运用

本次活动教师着重引导学生正确运用公式，对（4）题，鼓励学生思考，尝试用多种方法解此题，对例2，引导学生能化成两数和或差的平方，再运用公式，让学生感受到运用公式可简便运算。

2 例1、运用完全平方公式算一算：（1）（4m+n） (2) (y)

(a-b)²=a²-ab-b(a-b)+(-b)=a²-2ab+b²

122解：（1）（4m+n）是 与 和的平方

（4m+n）=（ ）+2（ ）

（ ）+（ ）

（ a +b）= a +2 a  b + b22 2 222222 （2）(y)=（

）－2（ ）（ ）+（

）122

（a －b）= a

－2 a  b + b22 2 2

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(3) (-4x+5y)² (解在此处略写出)

(4) (-1-2x)²

解：方法1：(-1-2x)²=(-1)²-2·(-1)·2x+(2x)²=1+4x+4x² 方法2：(-1-2x)²=(-1)²+2·(-1)·(-2x)+(-2x)²=1+4x+4x²

方法3：(-1-2x)²=[-(1+2x)]²=(1+2x)²=1+4x+4x²

例2、

利用完全平方公式计算：

（1）102² （2）99²

解：（1）102²=（100+2) ²=100²+2×100×2+2²=10000+400+4=10404 (2) 99²=(100-1)²=100²-2×100×1+1²=10000-200+1=9801

七、【活动7】

大胆尝试

练一练

本次活动，学生尝试运用完全平方公式独立完成计算，教师重点关注学生计算的准确性、熟练性、灵活性。注意学生信息的反馈，及时纠错。

1.利用完全平方公式计算：

(1) (x +6)² (2) (y-5)² (3) (-2x+5 )²

(4) (3/4x-2/3y)² (5)(-n -1)²

−n² （6）99.8²

2、纠错练习、

改一改. 指出下列各式中的错误，并加以改正：

(1) (2a−1)²＝2a²−2a+1 (2) (2a+1)²＝4a² +1 (3) (a−1)²＝a²−2a−1 (4) (a+b)²=a²+b² （5）(a-b)²=a²-b²

解: (1)第一数被平方时, 未添括号;第一数与第二数乘积的2倍少乘了一个2 ;应改为: (2a−1)2＝ (2a)2−2• 2a•1+1。

(2)

少了第一数与第二数乘积的2倍 (丢了一项);应改为: (2a+1)²＝ (2a)²+2•2a•1 +1。

(3)

第一数平方未添括号, 第一数与第二数乘积的2倍

错了符号;第二数的平方

这一项错了符号;应改为: (a−1)²＝(a)−2•a •1+12。

3、巩固练习

、选一选

：1）、下列计算中，正确的是（ ）

A. (a+b)²=a²+b² B. (a+2b)(-2b-a)=a²-4b²

C. (a-2b)²=a²-4b+2b² D. (x+3y) ²=x²+6xy+9y² 3

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2）、(x-y)²(x+y)²的计算结果是( )项 A. 一项 B. 二项 C. 三项 D. 四项

3）、下列各式的计算，正确式子的个数是( ) （1）(2x-6y)²=4x²-12xy+36y² (2).(x+6)(x-6)=x²-6 (3). (-x-2y)²=x²-4xy+4y² (4).(a+2b)=a²+4ab+4b²

A.1 B.2 C.3 D.4 4、拓展思维

举一反三：

1）、(x-y)(x+y)(x²-y²) 2）、(x-y)²-(2x+y)(y-2x) 3)、(x+1)²(x²+1) ²(x-1)²

4)、(a+b+c)² 5)、(2x-y-3)²

6)、若4x²+kxy+9y²是完全平方式，则k=___ 八、【活动8 】 1、

课堂小结：

本节课你学到了什么知识？有什么认识？

1）. 注意完全平方公式和平方差公式不同：

形式不同: 结果不同：完全平方公式的结果是三项，即

(a±b)²＝a²±2ab+b²;平方差公式的结果是两项，即

(a+b)(a−b)＝a²−b².

2）. 在解题过程中要准确确定a和b，对照公式原形的两边, 做到不丢项、不弄错符号、2ab时不少乘2。

3）. 口诀：首平方，尾平方，两倍乘积放中央，加减看前方，同加异减莫弄反。

2、布置作业：

1）. 基础训练：教材习题15.2第2.3.4题

2）. 拓展练习：

公式的拓展：在(a±b) ²=a²±2ab+b²中，若a+b,a-b,a²+b², ab等四个代数之间存在如下关系：

（１） a²+b²=(a+b) ²- 2ab

a²+b²=(a-b) ²＋2ab

（２）（a+b）²=(a－b) ²- -4ab

（a－b）²=(a＋b) ²＋-4ab （3）

已知a+b=-3 ab=2 求下列各式的值

（1） a²+b² (2)a²-ab+b² (3)(a-b)²

2019年5月25日 4

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