习题训练教学设计一等奖

专题复习课之一: 证明两条线段相等的方法

————教材:义务教育课程标准实验教科书

八年级

上册

江海区外海中学

黄淑娟

一、知识总结：两条线段相等的方法有:

1、角平分线法

2、中垂线法

3、全等三角形法

4、等角对等边法

5、“三线合一”法

6、等量法

二、分讲方法

1、角平分线法：

根据角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。在计算和证明中，出现了角的平分线时，常作出角平分线上的点到角的两边的垂线段，从而得到线段相等。

如图，若AC平分∠AOB，PD⊥AO于D，PE⊥BO于E，则PD=PE.

A

D

P

O

C

l

P

2、中垂线法：

E

B

A

C

B

如图1

如图2 根据垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。在计算和证明中，出现了线段

的垂直平分线时，常连结垂直平分线上的点与线段的两个端点，从而得到线段相等，这方法简洁、灵活、实用。

如图2，若直线l 垂直平分线段AB，点P是直线l 上的点，那么AP=BP.

3、全等三角形法：

全等三角形的对应边、对应角相等，这是全等三角形的两条基本性质。若要证明的两条线段是在不同的两个三角形中时，通常可以证明这两个三角形全等，从而得到对应的线段相等。证明三角形全等来得到两条线段相等是经常用的数学方法。

4、等角对等边法：

“等角对等边”是等腰三角形的判定方法，通过两个角的相等来得出所对的边相等。如果要求证明的两条线段是在同一个三角形中时，可以通过证明边所对的两个角相等来得出这是一个等腰三角形，即两腰相等。

A

5、“三线合一”法：

等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、

底边上的高相互重合。这是等腰三角形的重要的性

质，简称“三线合一”。在证明两条线段相等时，如果

题目中所给出的三角形有等腰三角形的出现，那考虑

是否可以运用此法来证明。

B

D

5、等量法：

等量法包括“等量代换法”和“等量之差、之和相等法”。所谓的“等量代换法”，指的是：三条线段a、b、c中，若a=b，b=c，则a=c .这种方法经常用于不能通过只靠某一种方法直接得出两条线段相等，这时要用两种或两种以上的方法来进行证明，必须结合所有的线段的等量关系来间接得出所求。

“等量之差、之和相等法”指等量相加，和相等，等量相减，差相等。

三、例题讲解

A

例1、如图，△ABC中，AB=AC，AD

是高，求证：BD=DC . 分析：

法一：可以采取“等角对等边法”和

“全等三角形法”来证明；

法二：还可以运用“三线合一”法来证明.

B

D

C

C

例2、如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，且DB=DC，

求证：BE=CF . 分析：由已知AD是∠BAC的

平分线，DE⊥AB，垂足为E，

DF⊥AC，垂足为F，可以得出

DE=DF，又因为DB=DC，

所以△DEB≌△DFC（HL），

从而得到BE=CF .运用了角平分

线法和全等三角形法。

例3、如图点D、E在△ABC的边BC上，AD=AE，

BD=EC，求证：AB=AC . 分析：这题目可以采取“全等三角形法”，通过

证明全等三角形来证明，由AD=AE可以得出

∠ADE=∠AED，又根据等角的补角相等可以

得出∠ADB=∠AEC，所以可以证明△ABD≌

△ACE（SAS），从而得出AB=AC。

在这儿还介绍一种运用垂直平分线的方

法来证明。题目已知AD=AE，所以可以作辅

助线AO垂直BC，根据“三线合一”，可以得

到DO=EO，，再加上BD=EC，所以等量加等

法”，还有“三线合一法”。

E

D

B

A

F

C

A

B

量，和相等。这儿采取了“中垂线法”和“等量

D

E

C