习题训练教学实录

中考复习------最短路径专题（一）

四中

许建

教学目标： 1.

建立数学模型，能利用轴对称变换找对称点，并用两点之间线段最短的方法来求最短路径。

2.

借助特殊三角形、特殊四边形、圆、抛物线等这些基本图形的轴对称性，运用对称变换、平移变换等方法，能清晰的抓住求最短路径问题的本质。

3．在探索最短路径的过程中，体会轴对称的作用，感悟转化思想。

教学重点：利用轴对称，将最短路径问题转化为“两点之间线段最短”问题，增强解决实际问题的能力。

教学难点：运用轴对称，将不在同一直线上的线段转化在同一直线上，从而解决线段和（周长）最小值问题。

教学过程：

一、旧知回忆

1.两点之间， 最短。

2.对称点的连线，被对称轴 。

3.线段垂直平分线上的点，到线段两个端点的距离 。

4.如图所示，Ａ、Ｂ两点为植树地点，L为水渠，

将取水口C设在L上何处，才能使铺设的水管总和

AC+BC最短？

B 二、探究与应用

任务1：需在水渠上选取一个取水点，铺设水管为两处的树苗供水。

如图所示，Ａ、Ｂ两点为植树地点，L为水渠。将取水口C设在L上何处，才能使铺设的水管总和AC+BC最短？

【总结：单动点求两条线段和的最小值，只需做一次对称即可】

跟踪练习（一）

1、

如下图左，正方形ABCD的边长为8，

点M在DC上且DM=2，N是AC上的一动点，

则DN+MN 的最小值是 2、如下图中，MN是⊙O的直径，MN=2，∠AMN=30°，B点是AN的中点，P是直径MN上的动点，则PA+PB的最小值为 。

3.如下图右，已知抛物线y=x2-4x+3与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C （1）求点A、点B的坐标及抛物线的对称轴； （2）设P为对称轴上一动点，求当△APC的周长取最小值时点P的坐标。

l

任务2：如右图：点P为植树地点，OA、OB表示两条水渠，现要在两条水渠上分别选取点M、点N为出水口，往植树地点P铺设水管，且点M、点N也要互相连通，那么点M、点N应建在何处，才能使铺设的水管总和PM+MN+PN最小

【总结：双动点求三条线段之和最小，需作两次对称变换】

跟踪练习（二）

1、如图，已知两点P、Q在锐角∠AOB内，分别在OA、OB上求作点M、N，使PM+MN+NQ最短．

2、如图所示，在矩形ABCD中AB=2,AD=8,在边

BBC、AD上分别有两个动点E、F，则AE+EF+FC的最小值是 。

A

3、在直角坐标系中，已知两点P（2，2）、Q（4，1）以及动点M、N， 点M在x轴上运动，点N在y轴上运动，则当四边形PQMN的周长最小时， 则出点M坐标 ，点N 的坐标 及周长的最小值 。

三、课堂小结

1.单动点求两条线段和的最小值，只需作一次对称即可。

2.双动点求三条线段之和最小，需作两次对称变换。

四、课后作业

1、如右图，MN是⊙O的直径，MN=2，

∠AMN=40°，B点是AN的中点，P是

直径MN上的动点，则PA+PB的最小值

为 。

变式1：若∠AMN=20°则PA+PB的最小

值为 。

2、

如右图，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，

E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，

则PE+PB的最小值是 。

3、

在直角坐标系中有四个点A（-6，3），

B（-2，5），C（0，m），D（n，0），

当四边形ABCD周长最短时，则m+n= 。

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