测试课时教案

八年级上学期

第12章

全等三角形

单元测试题

数

学

试

卷

考试时间：120分钟；满分：150分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

题号

得分

评卷人

得

分

一

二

三

总分

一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）

1．（4分）下列各作图题中，可直接用“边边边”条件作出三角形的是（

）

A．已知腰和底边，求作等腰三角形

B．已知两条直角边，求作等腰三角形

C．已知高，求作等边三角形

D．已知腰长，求作等腰直角三角形

2．（4分）如图，∠ABC=∠DCB，需要补充一个直接条件才能使△ABC≌△DEF．甲、乙、丙、丁四位同学填写的条件分别是：甲“AB=DC”；乙“AC=DB”；丙“∠A=∠D”；丁“∠ACB=∠DBC”．那么这四位同学填写错误的为（

）

A．甲

B．乙

C．丙

D．丁

3．（4分）如图，AC与BD相交于点E，BE=ED，AE=EC，则△ABE≌△CDE的理由是（

）

A．ASA

B．SAS

C．AAS

D．SSS

4．（4分）如图，已知AB∥DC，AD∥BC，BE=DF，则图中全等的三角形有（

）

A．3对

B．4对

C．5对

D．6对

5．（4分）如图，AB=AD，CB=CD，AC、BD相交于点O，则下列结论正确的是（

）

A．OA=OC

B．点O到AB、CD的距离相等

C．点O到CB、CD的距离相等

D．∠BDA=∠BDC

6．（4分）如图，△ABC≌△DEF，点A与D，B与E分别是对应顶点，若∠A=∠D=90°，AB=3，DG=1，AG=2，则梯形CFDG的面积是（

）

A．5

B．6

C．7

D．8

7．（4分）在△ABC中，∠B=90°，CD平分∠ACB，DE⊥AC于点E，若AB=4cm，则AD+DE的值为（

）

A．3cm

B．4cm

C．5cm

D．6cm

8．（4分）如图，已知△ABC中，∠C=90°，D，E分别为AC，AB上的点，若AD=BD，AE=BC，DE=DC，则∠AED的度数为（

）

A．45°

B．60°

C．75°

D．90°

9．（4分）如图是一个3×3的正方形，则图中∠1+∠2+∠3+…+∠9等于（

）

A．270°

B．315°

C．360°

D．405°

10．（4分）AD与BE是△ABC的角平分线，D，E分别在BC，AC上，若AD=AB，BE=BC，则∠C=（

）

623900A．69°

B．°

C．°

D．不能确定

913

评卷人

得

分

二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）

11．（5分）如图，在△ABC和△BAD中，利用HL求△ABC≌△BAD时，除了条件∠D=∠C=90°外，还需要的条件是

（写出一个即可）．

12．（5分）如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA于D点，PD=6，则P到OB的距离为

cm．

13．（5分）如图，AB=DB，∠1=∠2，请你添加一个适当的条件，使△ABC≌△DBE，请问添加下面哪个条件不能判断△ABC≌△DBE的有

．

①BC=BE；②AC=DE；③∠A=∠D；④∠ACB=∠DEB．

14．（5分）如图，已知△ACF≌△DBE，∠E=∠F，AD=9cm，BC=5cm，AB的长为

cm．

评卷人

得

分

三．解答题（共9小题，满分90分）

15．（8分）如图，在△ABC中，AB=8，AC=5，AD是△ABC的中线，求AD的取值范围．

16．（8分）如图，△ABC中，已知AB=AC，D、E分别是CB、BC延长线上的点．且DB=CE．

求证：∠D=∠E．

17．（8分）已知AD平分∠CAB，且DC⊥AC，DB⊥AB，那么AB和AC相等吗？请说明理由．

18．（8分）如图，已知△ABD≌△ACE．求证：BE=CD．

19．（10分）如图，∠1=∠2，∠3=∠4．求证：CE=DE．

20．（10分）如图，△ACF≌△DBE，∠E=∠F，若AD=11，BC=7，求线段AB的长．

21．（12分）如图，△ABE≌△EDC，E在BD上，AB⊥BD，B为垂足．

（1）试问：AE和CE垂直吗？AE和EC相等吗？

（2）分别将图中的△ABE绕点E按顺时针方向旋转，分别画出满足下列条件的图形并说出此时△ABE与△EDC中相等的边和角．

①使AE与CE垂合；②使AE与CE垂直；③使AE与EC在同一直线上．

22．（12分）如图1所示，A、E、F、C在同一直线上，AF=CE，过E、F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB=CD．

（1）试说明ME=MF；

（2）若将E、F两点移至如图2中的位置，其余条件不变，上述结论是否仍然成立？请说明理由．

23．（14分）如图①，△ABC与△DEF是两张全等的直角三角形纸片，

（1）将这两张三角形纸片摆放成②所示的形式，使点C与点F重合，AB交DE于点G，写出图中的全等三角形（不包括△ABC≌△DEF），并说明理由；

（2）若把这两张三角形纸片摆放成如图③所示的形式，使点C与点E重合，AB交DF于点H，交DC于点G，试判断AB与CD间的位置关系，并说明理由．

八年级上学期

第12章

全等三角形

单元测试题

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）

1．

【分析】根据直角三角形，等边三角形和全等三角形的判定定理进行说明即可．

【解答】解：A、是根据SSS作三角形，故本选项正确；

B、再加上直角相等，根据SAS作直角三角形，故本选项错误；

C、求出边长，根据HL可作等边三角形的一半，再延长作出另一半，即可得出等边三角形，故本选项错误；

D、再加上直角相等，根据SAS作直角三角形，故本选项错误；

故选：A．

【点评】本题考查了直角三角形，等腰三角形，等边三角形，全等三角形的判定定理等知识点，主要考查学生动手操作能力和理解能力．

2．

【分析】已知∠ABC=∠DCB，隐含的条件是BC=BC．甲“AB=DC”符合SAS；乙“AC=DB”是SSA不符合全等的条件；丙“∠A=∠D”，符合AAS；丁“∠ACB=∠DBC”符合ASA．

【解答】解：根据全等三角形的判定定理可知：SSA不能判定两三角形全等，因此乙的条件不正确．

故选：B．

【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

3．

【分析】由于BE=ED，AE=EC，再加上对顶角相等，则可根据“SAS”判断△ABE≌△CDE．

【解答】解：在△ABE和△CDE中，

∴△ABE≌△CDE（SAS）．

故选：B．

【点评】本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．

4．

【分析】根据全等三角形的判定方法进行判断．全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．

【解答】解：∵AB∥DC，AD∥BC，

∴∠DAC=∠BCA，∠CDB=∠ABD，∠DCA=∠BAC，∠ADB=∠CBD，

又∵BE=DF，

∴由∠ADB=∠CBD，DB=BD，∠ABD=∠CDB，可得△ABD≌△CDB；

由∠DAC=∠BCA，AC=CA，∠DCA=∠BAC，可得△ACD≌△CAB；

∴AO=CO，DO=BO，

由∠DAO=∠BCO，AO=CO，∠AOD=∠COB，可得△AOD≌△COB；

由∠CDB=∠ABD，∠COD=∠AOB，CO=AO，可得△COD≌△AOB；

由∠DCA=∠BAC，∠COF=∠AOE，CO=AO，可得△AOE≌△COF；

由∠CDB=∠ABD，∠DOF=∠BOE，DO=BO，可得△DOF≌△BOE；

故选：D．

【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质的运用，解题时注意：若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，或者是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．

5．

【分析】由已知条件加上公共边容易的得到△ADC≌△ABC，可得角相等，进一步利用角平分线的知识可得答案．

【解答】解：∵AB=AD，CB=CD，AC=AC

∴△ADC≌△ABC

∴∠DCA=∠BCA

∴点O到CB、CD的距离相等．

故选：C．

【点评】本题主要考查平分线的性质，三角形全等的判定及性质；由已知证明△ADC≌△ABC是解决的关键．

6．

【分析】根据全等三角形对应边相等可得DE=AB，然后求出EG，再根据相似三角形对应边成比例列式求出CG，然后根据梯形的面积=△DEF的面积﹣△GEC的面积，列式计算即可得解．

【解答】解：∵△ABC≌△DEF，

∴DE=AB=3，

∵DG=1，

∴EG=DE﹣DG=3﹣1=2，

∵△ABC≌△DEF，

∴∠B=∠DEF，

又∵∠ACB=∠GCE，

∴△ABC∽△GEC，

EGCG，

ABAC2CG即，

3CG2∴解得CG=4，

∴AC=AG+CG=2+4=6，

∵∠A=∠D=90°，

∴梯形的面积=△DEF的面积﹣△GEC的面积==9﹣4

11×6×3﹣×2×4

22

=5．

故选：A．

【点评】本题考查了全等三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟记性质并求出CG的长度是解题的关键．

7．

【分析】先根据角平分线的性质得出BD=DE，进而可得出结论．

【解答】解：∵在△ABC中，∠B=90°，CD平分∠ACB，DE⊥AC于点E，

∴DE=BD．

∵AB=4cm，

∴AD+DE=AD+BD=AB=4cm．

故选：B．

【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．

8．

【分析】由AD=BD，AE=BC，DE=DC可以证明△ADE≌△BCD（SSS），然后根据全等三角形的性质即可求出∠AED．

【解答】解：∵AD=BD，AE=BC，DE=DC

∴△ADE≌△BCD（SSS）

∴∠AED=∠C=90°

故选：D．

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质；三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，再根据全等三角形的对应边和对应角分别相等求值．

9．

【分析】根据正方形的性质及全等三角形的知识进行分析，发现规律，从而得到答案．

【解答】解：根据正方形和全等三角形的知识可知：相对应的三角形是全等的，如∠1与∠9所在的两个三角形全等，

则角之间的关系为：∠1+∠9=90°，∠2+∠6=90°，∠4+∠8=90°，∠3=∠5=∠7=45°，

∴∠1+∠2+∠3+…+∠9=405°．

故选：D．

【点评】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，还应注意规律的找寻．

10．

【分析】根据AD=AB和三角形内角和、外角性质，寻找∠C和∠BAC的关系的表达式；再根据BE=BC，寻找∠C和∠BAC关系的另一种表达式，由此可得关于∠BAC的方程，求得的度数，代入即可求得∠C．

【解答】解：∵AD=AB，

111（180°﹣∠BAC）=90°﹣∠BAC，

22411113∴∠C=∠ADB﹣∠DAC=（180°﹣∠BAC）=90°﹣∠BAC﹣∠BAC=90°﹣∠BAC；

22424∴∠ADB=∵BE=BC，

1117∴∠C=∠BEC=∠BAC+∠ABE=∠BAC+（180°﹣∠BAC）=∠BAC+45°﹣∠BAC=45°+4288∠BAC，

37∴90°﹣∠BAC=45°+∠BAC，

48360解得∠BAC=，

133360900∴∠C=90°﹣=．

41313故选：C．

【点评】此题综合考查角平分线的定义、外角的性质、三角形的内角和和等边对等角等知识点，难度较大，注意寻找角之间的关系．

二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）

11．

【分析】根据HL定理：斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等可得缺少一条直角边对应相等，故可添加条件AD=BC．

【解答】解：可以添加条件：AD=BC；

∵∠D=∠C=90°，

∴△ADB和△BCA是直角三角形，

在Rt△ADB和Rt△BCA中，

∴Rt△ADB≌Rt△BCA（HL）．

故答案为：AD=BC．

【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握HL定理：斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．

12．

【分析】可过点P作PE⊥OB，由角平分线的性质可得，PD=PE，进而可得出结论．

【解答】解：如图，过点P作PE⊥OB，

∵OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，且PD⊥OA，PE⊥OB，

∴PE=PD，又PD=6cm，

∴PE=PD=6cm．

故填6．

【点评】本题考查了角平分线的性质；要熟练掌握角平分线的性质，即角平分线上的点到角两边的距离相等．

13．

【分析】首先由∠1=∠2，根据等式的性质可得∠1+∠ABE=∠2+∠ABE，进而得到∠DBE=∠ABC，然后再利用三角形全等的判定方法分别进行分析即可．

【解答】解：∵∠1=∠2，

∴∠1+∠ABE=∠2+∠ABE，

∴∠DBE=∠ABC，

①添加条件BC=BE，可利用SAS定理判定△ABC≌△DBE；

②添加条件AC=DE，不能判定△ABC≌△DBE；

③添加条件∠A=∠D，可利用ASA定理判定△ABC≌△DBE；

④添加条件BC=BE，可利用AAS定理判定△ABC≌△DBE；

故答案为：②．

【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．

注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

14．

【分析】AB不是全等三角形的对应边，但它通过全等三角形的对应边转化为AB=CD，而使AB+CD=AD﹣BC可利用已知的AD与BC求得．

【解答】解：∵△ACF≌△DBE，∠E=∠F，

∴CA=BD，

∴CA﹣BC=DB﹣BC，

即AB=CD，

∴AB+CD=2AB=AD﹣BC=9﹣5=4（cm），

∴AB=2（cm）．

故答案为：2．

【点评】本题主要考查了全等三角形的对应边相等．难点在于根据图形得到线段AB=CD，也是解决本题的关键．

三．解答题（共9小题，满分90分）

15．

【分析】延长AD到E，使AD=DE，连结BE，证明△ADC≌△EDB就可以得出BE=AC，根据三角形的三边关系就可以得出结论．

【解答】解：延长AD到E，使AD=DE，连结BE．

∵AD是△ABC的中线，

∴BD=CD．

在△ADC和△EDB中，

∴△ADC≌△EDB（SAS），

∴AC=BE．

∵AB﹣BE＜AE＜AB+BE，

∴AB﹣AC＜2AD＜AB+AC．

∵AB=8，AC=5，

∴1.5＜AD＜6.5．

【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，三角形的中线的性质的运用，三角形三边关系的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．

16．

【分析】由已知条件，根据SAS判定△ABD≌△ACE，根据全等三角形的对应角相等，从而得到∠D=∠E．

【解答】证明：∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

∴∠ABD=∠ACE，

∵AB=AC，DB=CE

∴△ABD≌△ACE（SAS）

∴∠D=∠E．

【点评】本题考查三角形全等的判定和性质；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．

注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

17．

【分析】通过证明△ACD≌△ABD从而得出AB=AC．

【解答】解：∵AD平分∠CAB，且DC⊥AC，DB⊥AB，

∴∠CAD=∠BAD，∠ACD=∠ABD=90°．

∵AD=AD，

∴△ACD≌△ABD．

∴AC=AB．

【点评】主要考查全等三角形的判定方法的掌握情况．常用的判定方法有AAS，SSS，SAS，HL等，本题比较简单．

18．

【分析】CD和EB跟全等三角形的边有关系，应利用全等三角形的性质来做．只要能找到AC=AB，AE=AD问题就迎刃而解了．

【解答】证明：∵△ABD≌△ACE，

∴AB=AC，AD=AE，

∴AC﹣AD=AB﹣AE，

即CD=BE．

【点评】本题考查了三角形全等的性质；解决本题的关键是找出全等三角形的对应边，利用全的三角形的性质进行做题．做题时结合图形，找出各线段之间的关系也是十分重要的．

19．

【分析】根据三角形外角性质求出∠ECB=∠EDB，根据AAS推出△ECB≌△EDB即可．

【解答】证明：∵∠3=∠1+∠ECB，∠4=∠2+∠EDB，

又∵∠1=∠2，∠3=∠4，

∴∠ECB=∠EDB，

在△ECB和△EDB中

∴△ECB≌△EDB，

∴CE=DE．

【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL，全等三角形的对应边相等，对应角相等．

20．

【分析】根据全等三角形对应边相等可得AC=DB，然后推出AB=CD，再代入数据进行计

算即可得解．

【解答】解：∵△ACF≌△DBE，

∴AC=DB，

∴AC﹣BC=DB﹣BC，

即AB=CD，

∵AD=11，BC=7，

∴AB=11（AD﹣BC）=（11﹣7）=2

22即AB=2．

【点评】本题考查了全等三角形对应边相等的性质，根据图形以及全等三角形对应顶点的字母写在对应位置上准确找出AC、DB是对应边是解题的关键．

21．

【分析】（1）根据全等三角形对应边相等可得AE=EC，全等三角形对应角相等可得∠A=∠CED，然后求出∠AEC=90°，再根据垂直的定义判定；

（2）根据要求分别作出图形，再根据全等三角形对应边相等解答．

【解答】解：（1）∵△ABE≌△EDC，

∴AE=EC，∠A=∠CED，

∵AB⊥BD，

∴∠A+∠AEB=90°，

∴∠CED+∠AEB=90°，

∴∠AEC=180°﹣90°=90°，

∴AE⊥CE；

（2）如图所示，相等的边有AB=ED，AE=EC，BE=DC，

相等的角有∠BAE=∠DEC，∠ABE=∠EDC，∠AEB=∠ECD．

【点评】本题考查了全等三角形的性质，是基础题，熟记全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等是解题的关键．

22．

【分析】（1）由DE⊥AC，BF⊥AC得到∠AFB=90°，∠DEC=90°，可根据“HL”证明Rt△ABF≌Rt△CDE，则BF=DE，然后根据“ASA”可证明△BFM≌△DEM，根据全等的性质即可得到ME=MF；

（2）上述结论仍然成立．证明的方法与（1）一样．

【解答】（1）证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，

∴∠AFB=90°，∠DEC=90°，

∵在Rt△ABF和Rt△CDE中，

∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），

∴BF=DE，

∵在△BFM和△DEM中，

∴△BFM≌△DEM（AAS），

∴ME=MF；

（2）解：上述结论仍然成立．理由如下：

与（1）一样可证得Rt△ABF≌Rt△CDE得到BF=DE，

与（2）一样可证得△BFM≌△DEM，

所以ME=MF．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：有两组角分别相等，且其中一组角所对的边对应相等，那么这两个三角形全等；全等三角形的对应边相等．也考查了直角三角形的判定方法．

23．

【分析】（1）认真观察图②，找着△ABC≌△DEF是非常重要的，因为△ABC与△DEF全等，所以可利用其全等得出线段相等，角相等，再利用线段，角之间的关系，求解其它的全等三角形．

（2）判断两条直线之间的关系，可依据图形，先进行假设垂直，再求证结论的正确性．

【解答】解：（1）△AGE≌△DGB

∵△ABC≌△DEF，

理由：∴∠A=∠D，AC=DF，BC=EF

∴AC﹣EF=DF﹣BC，即AE=DB

又∵∠AGE=∠DGB，

∴△AGE≌△DGB．

（2）AB与CD互相垂直

理由：∵△ABC≌△DEF，

∴∠A=∠D

∵DF∥BC，

∴∠D=∠BCG∴∠A=∠BCG

∵∠A+∠B=90°，

∴∠BCG+∠B=90°

∴AB⊥CD．

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质；在图形的变换中，找着不变的量，找准有用的已知条件是非常关键的，注意培养自己的视图能力．