线段的性质教案2

4.2 线段的性质

一、教学目标

（一）学习目标

1.掌握“两点之间，线段最短”的性质，并能熟练应用. 2.理解两点的距离，并能计算线段中两点的距离.

（二）学习重点

掌握“两点之间，线段最短”的性质及应用. （三）学习难点

两点的距离定义及计算

二、教学设计

（一）课前设计

1.预习任务

（1）两点的所有连线中，线段最短.简单说成：两点之间，线段最短. （2）连接两点间的线段的长度,叫做这两点的距离. 2.预习自测

（1）如图所示，在我国“西气东输”的过程中，从A城市到B城市架设管道，有四条路可供选择，在不考虑其他因素的情况下，架设管道的最短路线是

，你能说明为什么吗？

（2）下列说法中正确的个数是

(

) ①过两点有且只有一条直线；②连接两点的线段叫做两点的距离；③两点之间，线段最短．

A.O个

B．1个

C.2个

D.3个

(3)两个钉子就可以把木条固定在墙上；②从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设；③植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程，其中能用“两点之间，线段最短”来解释的现象有

(

) A.①②

B.①③

C.②④

D.③④

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（4）如图，M是线段AB的中点，点C在线段AB上，且AC=4cm，N是AC的中点，MN=3cm，则A、B两点的距离是

cm．

解：如图，∵M是线段AB的中点，N是AC的中点，∴AB=2AM，AN1AC，

2而AC=4cm，∴AN=2，∴AM=AN+NM=2+3=5cm，∴AB=2×5cm=10cm．

【答案】10. （二）课堂设计

1.知识回顾

（1）线段的中点及表示

（2）线段的和差计算

2.问题探究

探究一

探究线段性质★

●活动①

学生自主学习128、129页.

师问：从A地到B地有如图所示的三条路线：路线①：半圆的长；路线②：折线AC+CB的长；路线③: 线段AB的长.你认为哪条路线最短？

学生举手抢答. 师问:请用度量或计算的方法，验证你的结论是否正确？

学生活动：

学生思考，小组讨论，如何比较三条路线的长度，教师点拨. 总结：路线①>路线②>路线③，由此得出下列结论：在A、B两点的所有连线中，线段AB最短. 释义：“所有连线”包括：直线、射线、线段、折线、曲线等，在这些连线中，线段最短. 【设计意图】通过学生动手实践，由具体数据直观判断，探究得出线段性质“两点之间，

线段最短”，对性质理解更深刻. 探究二

线段性质的实际应用★

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●活动①

师问：你能列举“两点之间，线段最短”在生活中的例子吗？

学生举手抢答. 总结：梳理学生所举实例，正面实例：如修高速路时，隧道将路变直；铺水管时，走最短的路线等.负面实例：横穿公路，公园踩踏草坪等，此时对学生渗透德育教育. 【设计意图】通过列举实例，学生体会线段性质的应用在我们生活中处处存在，我们在不知不觉中运用这条性质. ●活动②

学生活动：完成教材130页第8题. 师问：

对于线段性质“两点之间，线段最短”，在现实生活中，是否都是以设计最短距离为好？（引发学生深层思考）

学生举手抢答. 总结：通过做第8题后得到启发：在现实生活中，对于线段性质的使用，不都是以设计最短距离为好，如直的河道改弯曲，可以减缓洪水压力，可以灌溉更多土地；风景区湖中修“九曲桥”，可以在桥上增加游客人数及游客停留时间等.

【设计意图】

通过做第8题后得到启发：在现实生活中，对于线段性质的使用，不都是以设计最短距离为好，要视情况灵活运用线段性质. ●活动③

探究两点的距离★▲

师问：什么叫做两点的距离？定义中的关键词是什么？

学生举手抢答. 总结：连接两点间的线段的长度，叫做这两点间的距离. 师问：下列说法正确吗？为什么？

（1）连接两点的线段叫两点的距离；

（2）画出A、B两点的距离

学生举手抢答：（1）错；（2）错. 总结：“线段的长度是距离”，距离是一个非负数，距离可度量，不能说画出来. 【设计意图】通过解答上述问题，在教师对定义强调后，让学生全面理解两点的距离的概念,突出对关键词的理解. 探究三

运用知识解决问题

★▲

●活动①

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例1.如图所示，设A、B、C、D为4个村庄，现在需要在四个村庄中间建一个自来水中心，请你确定一个点，使这4个村庄的居民到该中心的距离之和最小．

【知识点】线段性质. 【数学思想】

【解题过程】解：如图，连AC、BD交于O点，此时距离之和=AC+BD为最小.

【思路点拨】根据两点之间，线段最短，连AC、BD交于O点，此时距离之和最小. 【答案】如图，点O为所求. 练习：如图所示，A、B是两个村庄，若要在河边l上修建一个水泵站往两村输水，问水泵站应修在河边的什么位置，才能使铺设的管道最短，并说明理由．

【知识点】线段性质. 【数学思想】

【解题过程】解：如图所示，根据两点之间，线段最短，连接AB，交l于O点，则O点为水泵站位置.

【思路点拨】根据两点之间，线段最短，连接AB，交l于O点，则O点为水泵站位置.

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【答案】如图，O点为水泵站位置. 【设计意图】考查线段性质在实际生活中的应用，通过分析作图，进一步体会用线段性质的原理. ●活动2

例2.已知线段AB =10cm，点C在直线AB上，试探讨下列问题：

(1)是否存在一点C，使它到A、B两点的距离之和等于8 cm?并说明理由；

(2)是否存在一点C，使它到A、B两点的距离之和等于10cm?若存在，它的位置是唯一的吗？

(3)当点C到A、B两点距离之和等于20 cm，试说明点C的位置，并举例说明．

【知识点】线段性质. 【数学思想】分类讨论、数形结合. 【解题过程】解：（1）根据两点之间，线段最短，AC+BC最短距离为10cm，故不存在合条件的点；

（2）存在，这样的点不唯一，线段AB上任意一点均满足条件；

（3）存在，在A、B两点外5 cm处的点均满足条件. 【思路点拨】根据两点之间，线段最短，（1）不存在合条件的点；（2）存在，线段AB上任意一点均满足条件；（3）在A、B两点外均存在一个点满足条件. 【答案】（1）根据两点之间，线段最短，AC+BC最短距离为10cm，故不存在合条件的点；

（2）存在，这样的点不唯一，线段AB上任意一点均满足条件；

（3）存在，在A、B两点外5cm处的点均满足条件. 练习：数轴上，点A表示的数是-2，点B表示的数是6.解答下列问题：

（1）数轴上是否存在一点C，使它到A、B两点的距离之和等于6 ? 并说明理由；

（2）数轴上是否存在一点C，使它到A、B两点的距离之和等于8？若存在，它的位置是唯一的吗？

（3）数轴上当点C到A、B两点距离之和等于10时，试说明点C表示的数是什么数？

【知识点】线段性质. 【数学思想】分类讨论、数形结合. 【解题过程】解：（1）根据两点之间，线段最短，AC+BC最短距离为8，故不存在合条件的点；

（2）存在，这样的点不唯一，线段AB上任意一点均满足条件；

（3）存在，C点表示的数为-3或7时均满足条件.

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【思路点拨】根据两点之间，线段最短，（1）不存在合条件的点；（2）存在，线段AB上任意一点均满足条件；（3）在A、B两点外均存在一个点满足条件. 【答案】（1）根据两点之间，线段最短，AC+BC最短距离为8，故不存在合条件的点；

（2）存在，这样的点不唯一，线段AB上任意一点均满足条件；

（3）存在，C点表示的数为3或7时均满足条件. 【设计意图】线段性质和两点间的距离知识在实际问题中综合应用，渗透数学思想，提升学生的分析能力和思维能力.

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