添括号法则教学实录与评析

初中八年级数学上册

第十四章：整式的乘法与因式分解——14.2：乘法公式

一：知识点讲解

知识点一：平方差公式



公式：ababa2b2，即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。



特征：



左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。



右边是两项的平方差，即相同项的平方减去互为相反数项的平方。



巧记：两数和乘两数差，等于两数平方差。



特别提醒：



公式中的字母a、b可以表示具体的数，也可表示单项式或多项式。公式中的a与b不是单个数或字母时，运用公式计算时要加括号。



运用平方差公式的关键是确定公式ababa2b2中的a和b，完全相同的项是a，符号相反的项是b，确定a和b后套用公式即可。

例1：下列两个多项式相乘，哪些可以用平方差公式计算，哪些不能？能用平方差公式计算的，写出计算结果。

1)

(2a－3b)(3b－2a)；

2)

(－2a＋3b)(2a＋3b)；

3)

(－2a＋3b)(－2a－3b)；

4)

(2a＋3b)(2a－3b)；

5)

(－2a－3b)(2a－3b)；

6)

(2a＋3b)(－2a－3b)。

第

1 页

共

14 页

知识点二：完全平方公式



公式：aba22abb2，aba22abb2，即两个数的和（或差）的22平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。



特征：公式的左边是两个相同的二项式相乘（即二项式的平方）；公式的右边是一个三项式，首尾两项分别是二项式两项的平方，中间一项是二项式两项积的2倍。



巧记：首平方，尾平方，积的2倍在中央。



特别提醒：



公式中的字母a、b可以表示具体的数，也可表示单项式或多项式。



运用完全平方公式计算时，要注意2ab项的符号，更不能漏掉该项。



运算时要注意公式的变形巧用。如：abab，abab

2222例2：运用完全平方公式计算：

1)

a3b2；

x3y2；

mn2；

2x32x3。

2)

3)

4)

第

2 页

共

14 页

知识点三：填括号法则



添括号法则：



内容：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。



字母表示：abcabc，abcabc。



添括号与去括号是互逆的，符号的变化是一致的，在掌握添括号法则时，可与去括号法则相比较，括号前为正号，括到括号里的各项都不改变符号；括号前为符号，括到括号里的各项都改变符号，不可只改变部分项的符号。添括号是否正确可用去括号检验。



无论怎样添加括号，原式的值都不能改变，添括号法则在利用乘法公式进行计算的题目中应用较多。

例3：在括号内填上适当的项。

1)

2)

3)

a2bcda(

)；

a3bc(

)；

x22y22x3y(

)2x3y；

x2y2xyx2x(

)。

4)

二：知识点复习

知识点一：平方差公式

1.

下列计算错误的是(

) A. 6a16a136a21

B. a38a38a964

C. mnmnn2m2

D. a21a21a41

2.

计算：201720162018

。

2

第

3 页

共

14 页

3.

计算：

1)

11x2x23xx3；

2211bab3a2b3a2b。

222)

a

4.

用乘法公式计算：99.9100.199.8100.2。

5.

先化简，再求值：a14a2a12a1，其中a4。

第

4 页

共

14 页

知识点二：完全平方公式

116.

如果ax22x2xm，则a、m的值分别是(

) 221

41

42A. 2，0 B. 4，0 C. 2，D. 4，7.

下列各式可直接用完全平方公式计算的是(

) A. 2a3b3b2a

2mn2mn

B. 2a3b3b2a

2mn2nm

C. D. 8.

计算：

1)

2a5b2；

212)

x2y；

23)

4a3b2

xy2

4)

第

5 页

共

14 页

知识点三：添括号法则

9.

对于等式3ab4bc13ab，括号中所填入的整式应是(

) B. D. A. C. 4bc1

4bc1

4bc1

4bc1

210.

利用乘法公式计算x2y1x2y1x2y1

三：题型分析

题型一：平方差公式的重复运用

例1：计算：

1)

1121xxx；

3392)

2x14x212x116x41。

第

6 页

共

14 页

题型二：运用乘法公式简算

例2：运用乘法公式计算

1)

102×98；

2)

102²；

3)

99²。

题型三：乘法公式的灵活运用例3：计算：

1)

x2y3x2y3；2)

abc2

第

7 页

共

14 页

题型四：先利用乘法公式化简，再求值

例4：先化简，再求值：x3yyxyx，其中x2，y1

2

题型五：给值求值

例5：回答以下问题

1)

已知xy1，求2121xxyy2的值；

222222)

已知ab7，ab4，求ab，ab的值；

3)

已知x

第

8 页

共

14 页

113，求x22的值。

xx

易错点一：错误地添加括号、运用平方差公式

例6：计算：

1)

2xyz102xyz10；

2)

ab2ab2a2b2ab。

易错点二：错误地运用完全平方公式

22例7：已知xy25，xy12，且x0，y0，求xy的值。

第

9 页

共

14 页

四：习题

（一）：选择题

1.

已知2xm24x2nx9，则n的值为(

) A. ±6 B. ±12 C. ±18 D. ±36 2.

对于任意的正整数n，能整除代数式3n13n13n3n的整数是(

A. 3 B. 6 C. 10 D. 9 3.

已知ab3，则代数式a2b26b的值为(

) A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 4.

下列各式中计算正确的是(

) A. ab2a2b2

B. a2b2a22ab4b2

C. a212a42a1

D. mn2m22mnn25.

设5a3b25a3b2A，则A(

) A. 30ab

B. 60ab

C. 15ab

D. 12ab

6.

运用平方差公式计算x2y1x2y1，下列变形正确的是(

) A. x2y12

B. x2y1x2y1

C. x2y1x2y1

D. x2y12

第

10 页

共

14 页

)

7.

下列计算正确的是(

) A. xy2x2y2

x1x1x21

22B. xy2x22xyy2

x12x21

C. D. 8.

若ab3，ab7，则ab等于(

) A. 2 2B. 1 2C. ﹣2 D. ﹣1 9.

若x4x40，则3x26x1x1的值为(

) A. ﹣6 B. 6 C. 18 D. 30 （二）：填空题

10.

a2b3ca2b3c2b2ba3c。

211.

阅读理解：引入新数i，新数i满足分配律、结合律、交换律，已知i1，那么1i1i

。

（三）：解答题

11112.

计算：xyxyyx。

222

2

第

11 页

共

14 页

13.

已知a23与b23互为相反数，求a2b2ba2ba2a2的22值。

14.

先化简，再求值：ababab2a2ab，其中ab2。

2

15.

已知4x3y，求代数式x2yxyxy2y2的值。

2

第

12 页

共

14 页

16.

杨辉三角形，又称贾宪三角形、帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》（1261年）一书中用如图所示的三角形解释二项和的乘方规律。

结合杨辉三角形并观察下列各式及其展开式：

ab2a22abb2；

ab3a33a2b3ab2b3；

ab4a44a3b6a2b24ab3b4；

ab5a54a4b10a3b210a2b35ab4b5；

……

1)

根据上面各项系数的规律，求出ab的展开式；

92)

利用上面的规律计算：252102102521。

5432

第

13 页

共

14 页

17.

已知：a2b2abab；a3b3aba2abb2；a4b4aba3a2bab2b3；……，按此规律，回答下列问题：

1)

a5b5ab；

2)

若a

112，你能根据上述规律求出代数式a33的值吗？

aa

第

14 页

共

14 页