有理数乘除法的混合运算课堂实录【2】

初二数学知识点总结

上册知识点：

第一章

一次函数

1

函数的定义，函数的定义域、值域、表达式，函数的图像

2 一次函数和正比例函数，及其表达式、增减性、图像

3 从函数的观点看方程、方程组和不等式

如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。

形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。

形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数。正比例函数是一种特殊的一次函数。当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小。

一、.常量、变量

在一个变化过程中,数值发生变化的量叫做变量，数值始终不变的量叫做常量。

二、函数的概念

函数的定义：一般的，在一个变化过程中如有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就说x是自变量，y是x的函数．

三、函数中自变量取值范围的求法

（1）用整式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。

（2）用分式表示的函数，自变量的取值范围是使分母不为0的一切实数。

（3）用奇次根式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。

用偶次根式表示的函数，自变量的取值范围是使被开方数为非负数的一

切实数。

（4）若解析式由上述几种形式综合而成，须先求出各部分的取值范围，然后再求其公共范围，即为自变量的取值范围。

（5）对于与实际问题有关系的，自变量的取值范围应使实际问题有意义。

四、函数图象的定义

一般的，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么在坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象。

五、用描点法画函数的图象的一般步骤

1、列表：表中给出一些自变量的值及其对应的函数值。

注意：列表时自变量由小到大，相差一样，有时需对称。

2、描点：在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点。

3、连线：按照横坐标由小到大的顺序把所描的各点用平滑的曲线连接起来。

六、函数有三种表示形式

（1）列表法

（2）图像法

（3）解析式法

七、正比例函数与一次函数的概念：

一般地，形如y=kx(k为常数，且k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。

一般地，形如y=kx+b

(k,b为常数，且k≠0)的函数叫做一次函数。.

当b =0 时,y=kx+b 即为

y=kx，所以正比例函数是一次函数的特例.。

八、正比例函数的图象与性质

图象：正比例函数y= kx (k 是常数，k≠0) 的图象是经过原点的一条直线，称之为直线y= kx 。

性质：当k>0时,直线y= kx经过第三，一象限，从左向右上升，即随着x的增大y也增大；当k<0时,直线y= kx经过二,四象限，从左向右下降，即随着

x的增大y反而减小。

九、求函数解析式的方法: 待定系数法：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法。

1、一次函数与一元一次方程：从“数”的角度看x为何值时函数y= ax+b的值为0．

2、求ax+b=0(a,

b是常数，a≠0)的解，从“形”的角度看，求直线y= ax+b与

x 轴交点的横坐标

3、一次函数与一元一次不等式：

解不等式ax+b＞0(a，b是常数，a≠0) ．从“数”的角度看，x为何值时函数y= ax+b的值大于0。

4、解不等式ax+b＞0(a，b是常数，a≠0) ．从“形”的角度看，求直线y= ax+b在

x 轴上方的部分（射线）所对应的的横坐标的取值范围。

十、一次函数与正比例函数的图象与性质

一

次

函

数

概

念

图

像

性

质

如果y=kx+b（k、b是常数，k≠0），那么y叫x的一次函数，当b=0时，一次函数y=kx（k≠0）也叫正比例函数。

一条直线

k＞0时，y随x的增大(或减小)而增大(或减小)；

k＜0时，y随x的增大(或减小)而减小(或增大).

（1）k>0，b＞0图像经过一、二、三象限；

直线y=kx+b（k（2）k>0，b＜0图像经过一、三、四象限；

≠0）的位置与k、（3）k>0，b＝0

图像经过一、三象限；

b符号之间的关（4）k＜0，b＞0图像经过一、二、四象限；

系. （5）k＜0，b＜0图像经过二、三、四象限；

（6）k＜0，b＝0图像经过二、四象限。

一次函数表达式求一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）时，需要由两个点来确定；求正比例函数y=kx（k≠0）时，只需一个点即可.。

的确定

十一、一次函数与二元一次方程组

解方程组

a1xb1yc1从“数”的角度看，自变量（x）为何值时两个函数的值相等并

xyc2a2b2求出这个函数值。

a解方程组



1

x



b

1

y



c

1

从“形”的角度看，确定两直线交点的坐标。. 

a2xb2yc2

第二章

数据的描述

1 了解几种常见的统计图表：条形图、扇形图、折线图、复合条形图、直方图。

条形图特点：

（1）能够显示出每组中的具体数据；（2）易于比较数据间的差别。

扇形图的特点：

（1）用扇形的面积来表示部分在总体中所占的百分比；

（2）易于显示每组数据相对与总数的大小。

折线图的特点；

描述数据的变化趋势。

直方图的特点：

（1）能够显示各组频数分布的情况；

（2）易于显示各组之间频数的差别。

求出各个小组两个端点的平均数，这些平均数称为组中值。

2 会用各种统计图表示出一些实际的问题。

第三章

全等三角形

一、全等三角形

能够完全重合的两个图形叫做全等形。

1、定义

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

理解：①全等三角形形状与大小完全相等，与位置无关；②一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形；③三角形全等不因位置发生变化而改变。

2、全等三角形有哪些性质

（1）全等三角形的对应边相等、对应角相等。

理解：①长边对长边，短边对短边；最大角对最大角，最小角对最小角；

②对应角的对边为对应边，对应边对的角为对应角。

（2）全等三角形的周长相等、面积相等。

（3）全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。

3、全等三角形的判定

边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等

边角边（SAS)：:两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等

角边角（ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等

角角边（AAS)：:两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等

斜边直角边（HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等

证明两个三角形全等的基本思路：4、证明两个三角形全等的基本思路

方法指引（1）：已知两边----找第三边(SSS)找夹角（SAS)找是否有直角(HL)找这边的另一个邻角(ASA)已知一边和它的邻角找这个角的另一个边(SAS)找这边的对角(AAS)已知一边和它的对角找一角(AAS)已知角是直角，找一边(HL)找两角的夹边(ASA)找夹边外的任意边(AAS)(2):已知一边一角---(3):已知两角---练习

二、角的平分线：从一个角的顶点得出一条射线把这个角分成两个相等的角，称这条射线为

这个角的平分线。

1、性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，到角的两边距离相等的点在角的平分线上。

2、判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

三、学习全等三角形应注意以下几个问题：

（1) 要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与“对角”的不同含义；

（2 表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；

（3）“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；

（4）时刻注意图形中的隐含条件，如

“公共角”

、“公共边”、“对顶角”；

（5）截长补短法证三角形全等。

第四章

轴对称

1 轴对称图形和关于直线对称的两个图形

2 轴对称的性质

轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；

如两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连的线段的垂直平分线；

线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；

到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。

3 用坐标表示轴对称

点（x，y）关于x轴对称的点的坐标是(x,-y)，关于y轴对称的点的坐标是(-x,y)，关于原点对称的点的坐标是(-x,-y).。

4 等腰三角形

等腰三角形的两个底角相等；（等边对等角）

等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合；（三线合一）

理解：已知等腰三角形的一线就可以推知另两线。

一个三角形的两个相等的角所对的边也相等。（等角对等边）

等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（等角对等边）

5 等边三角形的性质和判定

性质：等边三角形的三个内角都相等，都等于60度；

判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；

有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形；

推论：

1、直角三角形中，如果有一个锐角是30度，那么他所对的直角边等于斜边的一半。

2、在三角形中，大角对大边，大边对大角。

3、经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。

由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换。

6 轴对称图形

1. 把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。

2. 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图关于这条直线对称。这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点,叫做对称点。

3、轴对称图形和轴对称的区别与联系

轴对称图形A轴对称A'图形BA区别(1)轴对称图形是指( )一个(1)轴对称是指( )两个图形具有特殊形状的图形,的位置关系,必须涉及只对( )一个图形而言;( )两个图形;(2)对称轴( )不一定只有一条(2)只有( )一条对称轴.如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分,那么这两个图形就关于这条直线成轴对称.如果把两个成轴对称的图形拼在一起看成一个整体,那么它就是一个轴对称图形.CBCC'B'联系

4.轴对称与轴对称图形的性质

①

关于某直线对称的两个图形是全等形。

②

如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

③

轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

④

如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。

⑤

两个图形关于某条直线成轴对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上。

7 线段的垂直平分线

定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。

性质：线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等。

判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上。

8

用坐标表示轴对称小结

1、在平面直角坐标系中

①关于x轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数; ②关于y轴对称的点横坐标互为相反数,纵坐标相等; ③关于原点对称的点横坐标和纵坐标互为相反数；

④与X轴或Y轴平行的直线的两个点横（纵）坐标的关系；

⑤关于与直线X=C或Y=C对称的坐标

2、点（x, y）关于x轴对称的点的坐标为（x, -y）

点（x, y）关于y轴对称的点的坐标为（-x, y）

3、三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等。

第五章

整式

1 整式定义、同类项及其合并

2 整式的加减

3 整式的乘法

（1）同底数幂的乘法

（2）幂的乘方

（3）积的乘方

（4）整式的乘法

4 乘法公式

（1）平方差公式

（2）完全平方公式

5 整式的除法

（1）同底数幂的除法

（2）整式的除法

6 因式分解

（1）提共因式法

（2）公式法

（3）十字相乘法

1、式子是数或字母的积的式子叫做单项式。单独的一个数或字母也是单项式。单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

2、几个单项式的和叫做多项式。每个单项式叫多项式的项)，其中，不含字母的叫做常数项。多项式里次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。

3、单项式和多项式统称整式。

4、所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。

5、把多项式中的同类项合并成一项，即把它们的系数相加作为新的系数，而字母部分不变，叫做合并同类项。

6、几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号，合并同类项。

7、同底数幂相乘，底数不变，指数相加。幂的乘方，底数不变，指数相乘。积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

8、单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

9、单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

10、多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

完xpxqx2pqpq

平方差公式：ababa2b2

全平方公式：ab2a22abb2ab2a22abb2

abc2a22abcbc2

同底数幂相除，底数不变，指数相减。任何不等于0的数的0次幂都等于1。

下册知识点：

第一章

分式

1、分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A叫做分式。

B分式有意义的条件：分母不为零；分式值为零的条件：分子为零且分母不为零。

2、分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。

3、分式的通分和约分：关键是先分解因式

4、分式的运算：

分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。

分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

分式乘方法则：

分式乘方要把分子、分母分别乘方。

ababacadbcadbc,

cccbdbdbdbd分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减。

混合运算：运算顺序和以前一样。能用运算率简算的可用运算率简算。

5、任何一个不等于零的数的零次幂等于1，

即a1(a0)；当n为正整数时，a（a0)

6、正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂。(m,n是整数)

（1）同底数的幂的乘法：aaa（2）幂的乘方：(a)anmnmnmnmn0n1

an；

; n（3）积的乘方：(ab)ab；

（4）同底数的幂的除法：aaamnmnn( a≠0)；

anan（5）商的乘方：()n()；(b≠0) bb7.、分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。

解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程。

解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。

解分式方程的步骤

(1)能化简的先化简(2)方程两边同乘以最简公分母；（2）化为整式方程；(3)解整式方程；(4)验根。

增根满足两个条件：一是其值使最简公分母为0，二是其值应是去分母后整式方程的根。

分式方程检验方法：将整式方程的解代入最简公分母，如最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。

列方程应用题的步骤是什么？

(1)审；(2)设；(3)列；(4)解；(5)答。

应用题有几种类型；基本公式是什么？基本上有五种： (1)行程问题：基本公式：路程=速度×时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题 (2)数字问题

在数字问题中要掌握十进制数的表示法 (3)工程问题

基本公式：工作量=工时×工效 (4)顺水逆水问题 n8、科学记数法：把一个数表示成a10的形式（其中1a10，n是整数）的记数方法叫做科学记数法．

用科学记数法表示绝对值大于10的n位整数时，其中10的指数是n1

用科学记数法表示绝对值小于1的正小数时,其中10的指数是第一个非0数字前面0的个数(包括小数点前面的一个0)

第二章

反比例函数

1、定义：形如y＝ykx1k（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数。其他形式xy=k x1yk x

2、图像：反比例函数的图像属于双曲线。反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。有两条对称轴：直线y=x和

y=-x。对称中心是：原点。由于反比例函数中自变量x0，函数y0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

3、性质:：当k＞0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小；

当k＜0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大。

4、|k|的几何意义：表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。（如下图）

5、反比例函数双曲线：待定只需一个点，正k落在一三限，x增大y在减，图象上面任意点，矩形面积都不变，对称轴是角分线x、y的顺序可交换。

6、反比例函数解析式的确定

确定及诶是的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数yk中，只有一个待定系数，x因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。

7、反比例函数中反比例系数的几何意义

k(k0)图像上任一点P作x轴、y轴的垂线PM，PN，则所得的矩形xPMON的面积S=PMPN=yxxy。

反比例函数yy

k,xyk,Sk。

x

9、反比例函数的性质

反比例函数

k的符号

y

O

x

k>0

yk(k0)

xk<0

y

O x

图像

性质

①x的取值范围是x0，

y的取值范围是y0；

②当k>0时，函数图像的两个分支分别

在第一、三象限。在每个象限内，y 随x 的增大而减小。

①x的取值范围是x0，

y的取值范围是y0；

②当k<0时，函数图像的两个分支分别

在第二、四象限。在每个象限内，y 随x 的增大而增大。

第三章

勾股定理

1

勾股定理：直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方

如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么abc。

勾股定理逆定理：如果三角形三边长a, b, c满足abc，那么这个三角形是直角三角形。

2

勾股定理的逆定理：如果一个三角形中，有两个边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

3

经过证明被确认正确的命题叫做定理。

我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理）

4

直角三角形的性质

（1）、直角三角形的两个锐角互余。可表示如下：∠C=90°∠A+∠B=90°

（2）、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

∠A=30°

可表示如下： BC=2222221AB 2 ∠C=90°

（3）、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

∠ACB=90° 可表示如下： CD= D为AB的中点

1AB=BD=AD 2

5

摄影定理

在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项。

∠ACB=90° CD2ADBD



AC2ADAB

CD⊥AB BC2BDAB

6

常用关系式

由三角形面积公式可得：ABCD=ACBC 7

直角三角形的判定

1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。

2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有关系abc，那么这个三角形是直角三角形。

8

命题、定理、证明

1、命题的概念

判断一件事情的语句，叫做命题。

理解：命题的定义包括两层含义：（1）命题必须是个完整的句子；

（2）这个句子必须对某件事情做出判断。

2、命题的分类（按正确、错误与否分）

真命题（正确的命题）

命题

假命题（错误的命题）

所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。

所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。

3、公理

人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。

4、定理

用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。

5、证明

判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。

6、证明的一般步骤

（1）根据题意，画出图形。

（2）根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。

（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。

9、三角形中的中位线

连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

（1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。

（2）要会区别三角形中线与中位线。

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

三角形中位线定理的作用：

位置关系：可以证明两条直线平行。

数量关系：可以证明线段的倍分关系。

常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：

结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。

结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。

结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。

结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。

结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。

222

第四章

四边形

1 平行四边形：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

性质：对边相等；对角相等；对角线互相平分。

判定：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

对角线互相平分的四边形是平行四边形；

一组对边平行而且相等的四边形是平行四边形。

推论：三角形的中位线平行第三边，并且等于第三边的一半。

2 特殊的平行四边形：矩形、菱形、正方形

（1）

矩形：有一个角是直角的平行四边形。

性质：矩形的四个角都是直角；

矩形的对角线平分且相等；

矩形具有平行四边形的所有性质

判定：

有一个角是直角的平行四边形是矩形；

对角线相等的平行四边形是矩形；

有三个角是直角的四边形是矩形。

推论：

直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。

宽和长的比是512（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形。

（2）

菱形：邻边相等的平行四边形。

性质：菱形的四条边都相等；

菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；

菱形具有平行四边形的一切性质

判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；

对角线互相垂直的平行四边形是菱形；

四边相等的四边形是菱形。

菱形的面积=ab/2（a、b为两条对角线）

（3）

正方形：一个角是直角的菱形或邻边相等的矩形。既是一种特殊的矩形，

又是一种特殊的菱形，所以它具有矩形和菱形的所有性质。

判定：1.邻边相等的矩形是正方形。

2.有一个角是直角的菱形是正方形。

3梯形：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形。

包括直角梯形和等腰梯形

直角梯形：有一个角是直角的梯形。

等腰梯形：两腰相等的梯形。

性质：等腰梯形同一底边上的两个角相等；

等腰梯形的两条对角线相等；

同一个底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。

注：线段的重心就是线段的中点。

平行四边形的重心是它的两条对角线的交点。

三角形的三条中线交于疑点，这一点就是三角形的重心。

第五章

数据的分析

1.加权平均数：加权平均数的计算公式。权的理解:反映了某个数据在整个数据中的重要程度。

学会权没有直接给出数量，而是以比的或百分比的形式出现及频数分布表求加权平均数的方法。

2.中位数：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数。

3.众数：一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数。

4.极差：一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差。

5.方差：方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小，就越稳定。

6. 平均数：平均数受极端值的影响众数不受极端值的影响，这是一个优势，中位数的计算很少不受极端值的影响。

7.数据的收集与整理的步骤：1、收集数据 2、整理数据 3、描述数据 4、分析数据 5、撰写调查报告 6.、交流

专题一

整式乘除与因式分解

一．回顾知识点

1、主要知识回顾

幂的运算性质：aaa相加。

mnmn（m、n为正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数amn＝amn

（m、n为正整数）

mnmnnabanbn

（n为正整数）

幂的乘方，底数不变，指数相乘。积的乘方等于各因式乘方的积。a/aa（a≠0，m、n都是正整数，且m＞n）

同底数幂相除，底数不变，指数相减．

零指数幂的概念：a0＝1 （a≠0）

任何一个不等于零的数的零指数幂都等于l。

负指数幂的概念：ap1ap（a≠0，p是正整数）

任何一个不等于零的数的－p（p是正整数）指数幂，等于这个数的p指数幂的倒数。

n也可表示为：mpmn（m≠0，n≠0，p为正整数）

p（1）单项式的乘法法则：

单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．

（2）单项式与多项式的乘法法则：

单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加。

（3）多项式与多项式的乘法法则：

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相。

（4）单项式的除法法则：

单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

（5）多项式除以单项式的法则：

多项式除以单项式，先把这个多项式每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。

2、乘法公式

①平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2

语言叙述：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．

②完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2

（a－b）2＝a2－2ab＋b2

语言叙述：两个数的和（或差）的平方等于这两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍．

3、因式分解

因式分解的定义：

把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。

掌握其定义应注意以下几点：

（1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；

（2）因式分解必须是恒等变形；

（3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止。

弄清因式分解与整式乘法的内在的关系。

因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式。

二、熟练掌握因式分解的常用方法

1、提公因式法

（1）掌握提公因式法的概念；

（2）提公因式法的关键是找出公因式，公因式的构成一般情况下有三部分：①系数一各项系数的最大公约数；②字母——各项含有的相同字母；③指数——相同字母的最低次数。

（3）提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式．需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项。

（4）注意点：①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的．

2、公式。

运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；

常用的公式：

①平方差公式：

a2－b2＝

（a＋b）（a－b）

22②完全平方公式：

a＋2ab＋b＝（a＋b）2

a2－2ab＋b2＝（a－b）2

专题二

实数知识要点归纳

一、

实数的分类：

正整数

整数

零

有理数

负整数

有限小数或无限循环小数

正分数

分数

负分数

小数

1.实数

正无理数

无理数

无限不循环小数

负无理数

2、数轴：规定了

、

和

的直线叫做数轴(画数轴时，要注童上述规定的三要素缺一个不可)，

实数与数轴上的点是一一对应的。

数轴上任一点对应的数总大于这个点左边的点对应的数。

3、相反数与倒数；

a(a0)4、绝对值

|a|0(a0)

a(a0)

5、近似数与有效数字；

6、科学记数法；

7、平方根与算术平方根、立方根；

8、非负数的性质：若几个非负数之和为零

，则这几个数都等于零。

二、复习

1. 无理数：无限不循环小数

算术平方根定义如果一个非负数x的平方等于a，即x2a那么这个非负数x就叫做a的算术平方根，记为a，算术平方根为非负数a0正数的平方根有2个，它们互为相反数平方根0的平方根是0负数没有平方根2.无理数的表示定义：如果一个数的平方等于a，即x2a，那么这个数就叫做a的平方根，记为a正数的立方根是正数立方根负数的立方根是负数0的立方根是0定义：如果一个数x的立方等于a，即x3a，那么这个数x就叫做a的立方根，记为3a.

概念有理数和无理数统称实数正数有理数分类或0无理数负数3.实数及其相关概念绝对值、相反数、倒数的意义同有理数实数与数轴上的点是一一对应实数的运算法则、运算规律与有理数的运算法则运算规律相同。

专题三

二次根式知识点归纳

定义：一般的，式子a（a0）叫做二次根式，其中“”做“二次根号”，二次根号下的“a”叫做被开方根。

性质：1、a（a0）是一个非负数，即a0

2、a2=a

3、a2aa0

4、ababa0,b0，ababa0,b0

5、abaa0,b0

b