整式的乘除优质课一等奖

15.1同底数的幂相乘

[教学目标] 1、理解同底数幂的乘法法则，掌握其公式的运用；2、通过由特殊到一般的推导过程，培养学生的猜想、归纳和表达能力。

[重点难点]同底数幂的乘法公式及其运用是重点；理解同底数幂的乘法公式是难点。

展示目标：1.同底数幂的乘法法则---------------------

2.计算

1014×103

[教学过程] 一、情景导入

一种电子计算机每秒可进行1012次运算，它工作103秒可进行多少次运算？

可进行1014×103次运算. 如何计算1012×103呢？根据乘方的意义可知

1014×103＝（10×…×10）×（10×10×10）

14个10

＝（10×10×…×10）＝10

17个10 17容易知道1012×103是同底数的幂相乘。上面的计算有没有规律呢？

二、同底数幂的乘法法则

探究：根据乘方的意义填空：

（）（1）25×22＝2

；

（）

（2）a3·a2＝a

；

（）

（3）5m·5n＝5

（m、n都是正整数）。

你发现了什么？

这三个式子都是同底数的幂相乘；相乘结果的底数与原来底数相同，指数是原来两个幂的指数的和．

一般地，对于任意底数a与任意正整数m、n，a·a的幂是多少呢？

am×an＝（aa…a）（aa…a）= aa…a =a

m+n个a n个a m个a mnm+nm+nmn

因此，我们有a·a=a(m、n都是正整数) 用语言叙述是：同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 三、例题

例1 计算：

（1）x2·x5

（2）a·a6

（3）2×24×23

（4）xm·x3m+1

分析：式子表示什么运算？结果是多少？

解：（1）x2·x5=x2+5=x7．

（2）a·a6=a1·a6=a1+6=a7．

（3）2×24×23=21+4·23=25·23=25+3=28．

（4）xm·x3m+1=xm+(3m+1)=x4m+1．

149

注意：a＝a1。指数1一般省略不写。

3

例2

计算（1）am·an·ap;

（2）－a·(-a);

n23(3)27·3; (4)(a-b)(a-b). 分析：式子可以看成什么运算？结果是多少？

解：（1）

am·an·ap=（am·an）·ap

=am+n·ap=am+n+p；

31＋344

（2）－a·(-a)＝(-a)(-a)＝a；

334或－a·(-a)＝a·a＝a；

n3n3＋n (3)27·3＝3·3＝23；

232＋35 (4)(a-b)(a-b)＝(a-b)＝(a-b).

反思：①要注意有些形式上不是同底数幂的乘法可以转化为同底数幂的乘法来计算；②（1）的结果说明了什么？

四、课堂练习

课本142面练习（1）－（4）题。

五、课堂小结

这节课我们学习了一些什么知识？

探讨了同底数幂的运算法则；运用同底数幂的运算法则进行计算。

运用同底数幂的运算法则进行计算时要注意：必须是同底数的幂才能相乘；结果是底数不变，指数相加. 作业：

149面8题。

15.2－3 幂的乘方和积的乘方

[教学目标]

经历探索幂的乘方与积的乘方运算性质的过程，理解和掌握幂的乘方和积的乘方法则，并会运用它们进行熟练的计算。

[重点难点]

幂的乘方和积的乘方的计算是重点；正确地运用幂的乘方和积的乘方法则是难点。

展示目标：

223（1）3表示_____个_____相乘；（2）(3)表示_____个_____相乘；

223（3）a表示_____个_____相乘；（4）(a)表示______个_____相乘；

mm3（5）a表示 个 相乘；（6）（a）表示 个 相乘。

2323m3式子(3)、(a)、（a）有什么共同特点？都是幂的乘方.

二、幂的乘方

（一）幂的乘方法则

探究1

根据乘方的意义填空：

23222（ ）（1）（3）=3×3×3=3；

23222（ ）

（2）（a）=a×a×a=a；

m3mmm（ ） （3）（a）=a×a×a=a.

从计算中你发现了什么？

幂的乘方的结果是底数没有变，指数相乘。

mn（a）等于什么？

150

n个m

（am）n =amam…am= am+m+…+m=amn

n个am

即

（am）n =amn(m、n是正整数). 上面的结论用语言表达是：幂的乘方,底数不变,指数相乘。

（二）例题

例1 计算：（1）（103）5；（2）（a4）4;

（3）（am）2; （4）－（x4）3. 分析：式子表示什么意义？结果是多少？理由是什么？

解：（1）（103）5＝103×5＝1015；

（2）（a4）4＝a4×4＝a16；

（3）（am）2＝10m×2＝a2m；

（4）－（x4）3＝－x4×3＝－x12. 三、积的乘方

（一）积的乘方法则

探究2

填空：

（1）（ab）2=（ab）·（ab）=（a·a）·（b·b）=a(

)b(

)；

（2）（ab）3=______=_______=a(

)b(

)

（3）（ab）n=______=______=a(

)b(

)（n是正整数）

（ab）2、（ab）3、（ab）n表示什么运算？从上面的计算中你发现了什么规律？

积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．

用符号语言表达是：an·bn=（ab）n（n为正整数）

（二）例题

例2

计算：

（1）（2a）3；

（2）（-5b）3

；

（3）（xy2）2

； （4）（-2x3）4。

分析：式子表示什么意义？由积的乘方法则可得到什么？

解：（1）（2a）3=23·a3=8a3．

（2）（-5b）3=（-5）3·b3=-125b3．

（3）（xy2）2=x2·（y2）2=x2·y2×2=x2·y4=x2y4．

（4）（-2x3）4=（-2）4·（x3）4=16·x3×4=16x12．

四、课堂练习

课本143面练习；144面练习。

五、课堂小结

这节课学习了什么内容？

1、幂的乘方法则是什么？用符号怎么表达？

2、积的乘方法则是什么？用符号怎么表达？

3、幂的乘方与积的乘方的计算。

在计算过程中，要注意同底数的幂相乘、幂的乘方和积的乘方的区别，以免混淆出错。作业：

课本148面1、2。

151

15.1 整式的乘法（一）

[教学目标]探索并了解单项式与单项式、单项式与多项式相乘的法则，并会运用它们进行计算．

[重点难点]

单项式与单项式、单项式与多项式的乘法是重点；单项式与多项式相乘去括号法则的应用是难点。

[教学过程] 一、情景导入

52光的速度约为3×10千米/秒，太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×10秒，你知道地球与太阳的距离约是多少千米吗? 52地球与太阳的距离约为(3×10)×(5×10)千米．

52怎样计算(3×10)×(5×10)呢？

二、单项式与单项式相乘

（一）单项式乘法法则

根据乘法的交换律和结合律有

52527(3×10)×(5×10)=(3×5)×(10×10)=15×10. 思考：如果将上式中的数字改为字母，比如ac5·bc2，这是什么运算？怎样计算这个式子呢? ac5·bc2=(a·c5)·(b·c2) =(a·b)·(c5·c2)（乘法交换律和结合律）

=abc5+2（同底数的幂相乘）

=abc7

类似地，请你试着计算：

(-5a2b3)·(4b2c) 上面都是单项式乘以单项式，总结一下，怎样进行单项式乘法？

单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．

（二）例1计算：

232（1）（－5ab）（－3a）；（2）（2x）（－5xy）。

分析：（1）、（2）是什么运算？怎样进行这样的计算？

22解：（1）（－5ab）（－3a）=[（-5）×（-3）]（a·a）b 3 =15ab。

3232（2）（2x）（－5xy）=8 x·（-5）·xy

32 =[8 ×（-5）]（x·x）y42 = -40xy注意：系数相乘时要注意积的符号；先乘方再相乘。

思考：课本145面练习2题。

三、单项式与多项式相乘

（一）单项式乘多项式法则

看下面的问题：

三家连锁店以相同的价格m（单位：元/瓶）销售某种新商品，它们在一个月内的销售量（单位：瓶）分别是a、b、c，你能用不同的方法计算它们在这个月内销售这种商品的总收入吗？

方法一：先分别求三家连锁店的收入，总收入为ma+mb+mc。

方法二：先求三家连锁店的总销量，总收入为m（a+b+c）。

152

显然，m（a+b+c）=ma+mb+mc。

从运算的角度来说，这个式子表示什么？它有什么特点？

这个式子表示乘法分配律；这个式子左边是单项式乘以多项式，右边是单项式的和。

22请你试着计算：2a·（3a－5b）。

从上面解决的两个问题中，总结一下，怎样将单项式与多项式相乘？

单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．

容易知道，单项式与多项式相乘就是乘法分配律的运用。

（二）例2 计算：

（1）（－4x2）·（3x+1）；

（2）（2/3ab2－2ab）·1/2ab。

分析：从运算的角度看，这个式子表示什么？怎样进行这样的计算？解：（1）（－4x2）·（3x+1）=（－4x2）·3x+（－4x2）·1

=－12x3－4x2。

（2）（2/3ab2－2ab）·1/2ab=2/3ab2·1/2ab－2ab·1/2ab =1/3a2b3－a2b2。

注意：去括号时要注意符号。

四、课堂练习

课本145面练习1题；146练习1、2题。

五、课堂小结

这节课我们学习了什么内容？

1、单项式的乘法法则及其运用；

2、多项式的乘法法则及其运用。

作业：

149面3、4、6、9题。

第十五章第一阶段复习（15.1—4）

一、双基回顾

mnm+n1、同底数幂的乘法法则：a·a=a(m，n都是正整数). 同底数幂相乘，底数不变，指数相加. mnpm+n+p注意：①同底数幂的乘法法则可以推广，即a·a

a

=a(m，n，p都是正整数)；②同底数幂的乘法法m+nmn则可以逆用，即a= a·a。

232[1]计算：-x·（-x）= ；（a-b）（b-a）= 。

mnmn2、幂的乘方：(a)=a(m，n都是正整数).

幂的乘方，底数不变，指数相乘. mnmn注意：幂的乘方法则可以逆用，即a=(a)。

342n62（ ）3mm（ ）[2]计算：（a）= ；（a）= ；3=（3）；a=（a）。

nnn3、积的乘方：(ab)=ab(n为正整数). 积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. nnnnnnn注意：①积的乘方法则可以推广，即：(abc)=abc；②幂的乘方法则可以逆用，即ab=(ab)。

251010[3]计算：（-ab）= ；(1/2)·2= 。

153

4、单项式的乘法法则

单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 232[4]计算：1/2 xy·（-4xy）

5、单项式与多项式相乘的乘法法则

单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 注意：单项式与多项式相乘，其实质就是乘法分配律的应用. 2[5]计算：-2x(x-3x+2) 二、例题导引

例1计算：(-3)m2004·(1/3)n2005.

的值。

例2 若

36,272,求32232m3n例3计算：(-2a)(3ab-5ab). 例4解不等式：x+211x(3-2x)＜2. 24三、练习提高

1、下列运算中，正确的是( ) 236333A.x·x=x

B.(ab)=ab

25C.3a+2a=5a

D.（x³）²= x

2m2m+1 2、y·y·y= . 5 3、计算：(-x²y)= 32244.计算(a)+a·a的结果为( ) 9668A.2a B.2a

C.a+a

D.a

1215.1 整式的乘法（二）

[教学目标]

探索并了解多项式与多项式相乘的法则，会运用它们进行计算．

[重点难点]

多项式与多项式相乘是重点；去括号时符号的确定是难点。

[教学过程] 一、直接导入

前面我们学习了单项式乘以单项式，单项式乘以多项式，那么怎样进行多项式与多项式的乘法呢？

二、多项式乘多项式的法则

为了扩大街心花园的绿地面积，把一块长a米，宽m米的长方形绿地增长b米，加宽n米，你能用几种方法求出扩大后的绿地的面积？

2

方法一：由长乘宽得，绿地的面积为(a+b)(m+n)米．

2方法二：由四小块的面积相加得，绿地的面积为(am+an+bm+bn)米．

因此，(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn

154

这个等式的右边是怎样从左边得到的呢？

仔细地观察，我们可以发现：(a+b)(m+n)的结果可以看作由a+b中的每一项乘m+n中的每一项，再把所得的积相加而得到的。

即

(a+b)(m+n)= =am+an+bm+bn。

根据上面的分析，请你总结多项式与多项式相乘的法则：

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．

三、例题

例1计算：

（1）（3x+1）（x+2）；

（2）（x-8）（x-y）；

（3）（x+y）（x2-xy+y2）。

分析：这是什么运算？怎样进行这样的运算？

解：（1）（3x+1）（x+2）=3x·x+3x·2+1·x+1×2 2 =3x+6x+x+2 2

=3x+7x+2 2 （2）（x-8）（x-y）=x·x－xy－8xy+8y22=x－9xy+8y。

322223（3）（x+y）（x2-xy+y2）=x－xy+xy+xy- xy +y

33 =x +y。

注意：去括号时要注意符号的变化。

四、课堂练习

课本148面练习1、2。

五、课堂小结

这节课我们学习了多项式与多项式相乘，在计算的过程中要准确地运用法则，注意去括号时符号的变化。

作业：

课本149面5、7、10题；150面12题。

选做150面11题。

15.2.1平方差公式

[教学目标]1、经历探索平方差公式的过程，会验证平方差公式； 2、明确平方差公式的结构特征，并能正确地运用公式进行计算．

[重点难点]平方差公式及其应用是重点；平方差公式的结构特点及灵活运用是难点。

[教学过程] 一、情景导入

前面我们学习了多项式与多项式的乘法,回忆一下,怎样进行多项式与多项式的乘法? 计算下列多项式的积：

（1）（x+1）（x-1）;（2）（m+2）（m-2）; （3）（2x+1）（2x-1）;（4）（x+5y）（x-5y）. 观察上述算式，它们有什么特征？

155

它们都是两个数的和与差的积。

解:（1）（x+1）（x-1）=x2+x-x-1=x2-12

（2）（m+2）（m-2）=m2+2m-2m-2×2=m2-22

（3）（2x+1）（2x-1）=（2x）2+2x-2x-1=（2x）2-12

（4）（x+5y）（x-5y）=x2+5y·x-x·5y-（5y）2=x2-（5y）2

二、平方差公式

看看计算的结果，你发现了什么规律？

两个数的和与差的积等于这两个数的平方差。

你用字母表示上述规律吗？

（a+b）（a-b）=a2-b2．

2事实上，（a+b）（a-b）= a－ab+ab－b2= a2-b2．

我们还可以用下面的图来验证。

从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形，如图1；把阴影部分再剪掉拼到剩余的部分上得到图2，请你用图1、图2进行说明。

a a b b 图1 22a a-b 图2 b

图1的面积是a-b，图2的面积是（a+b）（a-b）。

22因此，（a+b）（a-b）=a-b．

我们称它为平方差公式。

注意：①公式的左边是两个二项式相乘，其中有一项完全相同，另一项互为相反数；②公式中的a、b可以是数，也可以是式（单项式或多项式）。

三、例题

例1运用平方差公式计算：

（1）（3x+2）（3x-2） （2）（b+2a）（2a-b） （3）（-x+2y）（-x-2y）

分析：这些式子有什么特点？相当于平方差公式中a、b的是什么？套用公式的结果是什么？

解：（1）（3x+2）（3x-2）=（3x）2-22 = 9x 2-4．

（2）（b+2a）（2a-b）=（2a+b）（2a-b）=（2a2 -b2= 4a2-b2．

（3）（-x+2y）（-x-2y）=（-x）2-（2y）2 = x2-4y2．

反思：套用公式的结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方。

例2 计算： （1）102×98 （2）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）

分析：（1）能够运用平方差公式计算吗？怎样变形呢？（2）这个式子有什么特点？

解：（1）102×98=（100+2）（100-2）=1002-22 =10000-4 =9996．

（2）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）=y2-22-（y2+5y-y-5）

=y2-4-y2-4y+5 =-4y+1．

反思：①对（2）题，你还有其它的变形方式吗？

（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）= y2-22-（y-1）（y+1）-5（y-1）。

②运用平方差公式，有时要进行适当的变形。

四、课堂练习

课本153面练习1、2题。

156

五、课堂小结

1、平方差公式是怎样的？用语言怎么叙述？

2、运用平方差公式要注意些什么？

①要明确公式的特点；②公式中的a、b可以是数，也可以是式（单项式或多项式）；③有时要进行适当的变形。

作业：

课本156面1题。

15.2.2完全平方公式（一）

[教学目标]理解完全平方公式的特征，了解公式的几何背景，会运用公式进行简单的计算。

[重点难点]完全平方公式及其应用是重点；完全平方公式的结构特征及灵活运用是难点。

[教学过程] 一、情景导入

请用两种方法计算下面图形的面积，你发现了什么？

由图（1）得（a+b）2= a2+ab+b2，

由图（2）得（a-b）2 = a2-2ab+b2。

类似这样的等式在整式乘法中经常遇到，它有没有特殊的意义呢？

二、完全平方公式

计算下列各式：

（1）（p+1）2 =（p+1）（p+1）=_______； （2）（m+2）2 =_______；

（3）（p-1）2 =（p-1）（p-1）=________； （4）（m-2）2 =________. 这些式子有什么特征？它们都是两数和或差的平方。

（1）p2+2p+1；（2）m2+4m+4；（3）p2-2p+1；（4）m2-4m+4。

仔细观察一下，看看式子与结果之间有什么关系？

两数和（或差）的平方等于这两数的平方和再加（或减）它们的积的2倍．

上述结论用字母怎么表示？

（a+b）2= a2+ab+b2 （a-b）2 = a2-2ab+b2。

这与我们开始从图中发现的结论是一样的。

我们来计算一下：（a+b）2=（a+b）（a+b）=a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b2；

（a-b）2 =（a-b）（a-b）=a2-ab-ab+b2= a2-2ab+b2.

这两个等式叫做完全平方公式。

三、例题例1运用完全平方公式计算： （1）（4m+n）2 （2）（y－1/2）2 分析：式子有什么特征？相当于公式中的a、b分别是什么？套用公式的结果是什么？

解：（1）（4m+n）2 =（4m）2 +2·4m·n+n2 =16m2+8mn+n2

157

（2）（y－1/2）=y －2·y·1/2+（1/2）

2 =y-y+1/4

注意：①公式中的a、b可以是数，也可以是式（单项式或多项式）；②套用公式的结果是三项。

2222思考：（b-a）与（a-b）

是否相等？（-a-b）

与（a+b）是否相等？为什么？

例2 运用完全平方公式计算：

22 （1）102 （2）99分析：怎么变形可使计算简便？套用公式的结果是什么？

22 解：（1）102=（100+2）22 =100+2×100×2+2 =10000+400+4 =10404．

22 （2）99=（100-1）22 =100-2×100×1+1 =10000-200+1 =9801．

四、课堂练习

课本155面2、1题。

五、课堂小结

这节课学***方公式。

1、完全平方公式是怎样的？用文字语言怎么叙述？

2、运用完全平方公式要注意什么？

①要明确公式的特征；②公式中的a、b可以是数，也可以是式（单项式或多项式）；③套用公式的结果是三项，要与平方差公式区分开来。

作业：

课本156面2题；4、6题。

2 2 215.2.2完全平方公式（二）

[教学目标]

进一步明确完全平方公式的结构特征，掌握添括号法则，利用添括号法则灵活运用完全平方公式．

[重点难点]

用添括号法则灵活运用完全平方公式是重点；添括号法则的运用是难点。

[教学过程] 一、复习导入

前面我们学习了去括号法则，回忆一下，什么是去括号法则？

根据去括号法则填空：

（1）a+（b+c）= ；

（2）a-（b-c）= 。

运用乘法公式计算，有时要在式子中添括号，怎么办呢？

二、添括号法则

把上面的式子反过来就得到添括号法则：

（1）a+b+c= a +（b+c）；

（2）a-b+c= a -（b-c）

158

用语言表达为：

添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；•如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．

思考：判断下列运算是否正确：

（1）2a-b-c/2=2a-（b- c/2）

（2）m-3n+2a-b=m+（3n+2a-b）

（3）2x-3y+2= -（2x+3y-2）

（4）a-2b-4c+5=（a-2b）-（4c+5）

三、例题

例1运用乘法公式计算

（1）（a+b+c）2 （2）（x+2y-3）（x-2y+3）

分析：式子可以直接运用乘法公式计算吗？可以作怎样的变形？根据添括号法则试一试。

解：（1）（a+b+c）2 =[a+（b+c）]2 = a2+2a（b+c）+（b+c）2

= a2+2ab+2a c+b2+2bc+c2 = a2+b2+c2+2ab+2abc +2ca。

（2）（x+2y-3）（x-2y+3）=[x+（2y-3）][ x-（2y -3）

=x2 -（2y -3）2= x2 -（4y2 -12y+9）

= x2 -4y2 +12y -9。

反思：想一想，还可以怎样变形？

例2 解方程：（x+4）2－（x+4）（x－4）=0 分析：这个方程有什么特点？可以怎样化简？

解：原方程变为

x2+8x+16－（x2－16）=0 x2+8x+16－x2+16=0 8x+32=0 ∴x=-4 反思：解方程和不等式时，恰当地运用乘法公式可以使运算简便。

四、课堂练习

课本156面1、2题。

五、课堂小结

这节课你有什么收获？

1、知道了添括号法则；

2、有些看上去比较复杂的式子，经过适当的变形（比如添括号）也可以运用乘法公式计算。3、解方程和不等式时，恰当地运用乘法公式可以使运算简便。

作业：

课本156面3题；157面5、8题。

第十五章第二阶段复习（15.1.4-15.2-2）

一、双基回顾

159

1、多项式与多项式相乘：

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

2特殊地，（x+a）（x+b）= x+（a+b）x+ab [1]用两种方法计算：（x－4）（x+1），看看结果怎么样？

222、平方差公式：（a+b）（a-b）=a-b。

两个数的和与这两个数的积，等于这两个数的平方差。

注意：①公式的左边是两个二项式相乘，其中有一项完全相同，另一项互为相反数；②公式中的a、b可以是数，也可以是式（单项式或多项式）。

[2]下列式子能用平方差公式计算吗？为什么？

①（x-2y）（x+2y）；②（-x+2y）（x+2y）；

③（-x+2y）（x-2y）；④（-x-2y）（x-2y）。

2223、完全平方公式：（a±b）= a±ab+b。

两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们积的2倍。

注意：①要认清公式的特点；②公式中的a、b可以是数，也可以是式（单项式或多项式）。

[3]判断下列计算是否正确，如果错了，指出错的地方。

222222222（1）（a-b）=a-b；（2）（-a+b）=a+2ab+b；（3）（-a-b）=a+2ab+b；

22222（4）（a+1/2）=a+ab+1/4；（5）（a-2b）=a-2ab+4b。

4、完全平方公式的变形：

222222（1）a+b=（a+b）-2ab；（2）a+b=（a-b）+2ab； 22（3）ab=1/4[（a+b）-（a-b）]。

22注意：在变形公式中，已知a±b，a+b，ab中任意两个的值，可以求出第三个的值或者已知其中任意两种形式可以变出第三种形式。

5、添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不改变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.

注意：添括号法则与去括号法则是相反方向的变形，添括号正确与否，可用去括号进行检验. [5]填空：

(a－2b+3c)=a+(

)= a－(

)。

二、例题导引

例1计算：

(1) (a+b)(a-2b)-(a+2b)(a-b)；(2)(x+2y-3)(x-2y+3)；

2（3）1998-1997×1999。

2例2 先化简，再求值：（3x+2）（3x-2）-5x（x-1）-（2x-1），其中x=-1/3。

2例3 已知a+b=3，ab=2，求(a-b)的值。

三、练习提高

21、下列计算结果是x-5x-6的是（ ）

A、（x-2）（x-3） B、（x-6）（x+1）

C、（x-2）（x+3） D、（x-3）（x+2）

2、下列添括号正确的是( ) 2222A. 2y-3x-y+3z=2y-(3x-y+3z) B. 9x-y+5z+4=9x-[y-(5z+4)] C. 4x-6y-5z+1=4x+[-6y+(5z-1)] D. -9x-2y-z-4=-(9x+2y)+(z+4) 23、填空：（3x+y）（x-2y）= ；(2x-3) =4x-9。

4、下列各式中，能用平方差公式的是( ) A、（-a+b）（a+b） B、（x+2y）（-x-2y）

C、（2x-y）（y-2x） D、（2a+3b）（3a-2b）

160

15.3.1同底数幂的除法

[教学目标] 1、理解同底数幂的除法法则和零指数幂的意义；2、会运用同底数幂的除法法则进行计算。

[重点难点]

运用同底数幂的除法法则进行计算是重点；理解同底数幂的除法法则和零指数幂的意义是难点。

[教学过程] 一、情景导入

8610 一种数码照片文件的大小是2K，一个存储量为2M（1M=2K）的移动存储器能存储多少张这样的数码照片？

这个移动存储器的容量为26×210=216K，所以它能存储这种数码照片的数量为216÷28．

216、28是同底数幂，同底数幂相除如何计算呢？

二、同底数幂的除法法则

根据乘法与除法的互逆关系，求216÷28，即求一个数使它与28的积是216，这个数是什么？另一方面，216÷28 = 16个2

（2×2×…×2）

8个2 =2×2×…×2=28。

即216÷28=28

（2×2×…×2）

8个2

探究：根据除法的意义填空：

（1）55÷53=5（ 2 ）；

（2）109÷102=10（ 7 ）；

（3）a7÷a3= a（

4 ）。

仔细观察一下，你发现了什么规律？上面的计算中底数和指数有没有变化？

底数没有变，被除数的指数减去除数的指数等于商的指数。

这就是说：

同底数幂相除，•底数不变，指数相减．

你能用字母表示吗？

am÷an=am－n（a≠0，m、n都是正整数，并且m＞n。）

下面来验证这个结论是正确的。

∵am-n·an=am-n+n=am ∴am÷an=am-n．

思考：为什么这里要规定a≠0？

三、例题

例 计算：

（1）x8÷x 2 （2）a4÷a （3）（ab）5÷（ab）2 分析：式子是什么运算？怎样进行同底数幂的运算？结果是什么？

解：（1）x8÷x2=x8-2=x6．

（2）a4÷a=a4-1=a3．

（3）（ab）5÷（ab）2=（ab）5-2=（ab）3=a3b3．

注意：公式中的a可以是数，也可以是式（单项式或多项式）。

思考：课本160面练习3题。

四、零指数幂的意义

探究：根据除法的意义填空：

（1）32÷32=（ 30 ）

161

（2）10÷10=（ 10）（3）a÷a=（ a

）（a≠0）

你发现了什么？

任何不等于0的数的0次幂都等于1．

0于是规定： a=1（a≠0）。

这样，同底数幂的除法的运算法则就可以扩展到：

mnm-n a÷a=a（a≠0，m、n都是正整数，且m≥n）．

五、课堂练习

课本160面1、2。

六、课堂小结

这节课你学习了哪些知识？

1、同底数幂的乘法法则是什么？用字母怎么表示？

2、零指数幂的意义是什么？

00没有意义。

3、同底数幂的乘法运算。

作业：课本164面1、5题。

330 mn015.3.2整式的除法（一）

[教学目标]经历探索单项式除以单项式运算法则的过程，理解单项式与单项式相除的算理，会进行单项式与单项式的除法运算．

[重点难点]单项式除以单项式的运算法则及其运用是重点；探索单项式与单项式相除的运算法则是难点。

[教学过程] 一、情景导入

2421 木星的质量约是1．90×10吨．地球的质量约是5.08×10吨。你知道木星的质量约为地球质量的多少倍吗？

2421木星的质量约为地球质量的（1.90×10）÷（5.98×10）倍．

24212124计算（1.90×10）÷（5.98×10）就是要求一个数，使它与5.98×10的乘积等于1.90×10。

21324 ∵（5.98×10）×（95/299 ×10）=1.90×10

24213∴（1.90×10）÷（5.98×10）=95/299×10≈3177. 把上面的数字换成字母该怎么计算呢？

二、单项式相除的法则

讨论：利用乘除法的互逆关系计算下列各式：

333232（1）8a÷2a；（2）5xy÷3xy；（3）12abx÷3ab．

23解答：（1）∵2a·（4a）=8a， 32∴8a÷2a=4a；

23（2）∵3xy·（2x）=6xy， 32

∴6xy÷3xy=2x；

223323（3）∵3ab·（4ax）=12abx

，

323223

∴12abx÷3ab=4ax．

这三个式子是什么运算？

都是单项式除以单项式。

162

从系数和字母两个方面观察，运算结果与原式有什么关系？

运算结果都是系数与系数相除，同底数幂与同底数幂相除，结果都作为商的因式，其余的也作为商的因式。

也就是：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式．

三、例题

例 计算：

423 （1）28xy÷7xy；

534 （2）-5abc÷15ab；

42（3）5（2a+b）÷（2a+b）。

分析：这是什么运算？怎样进行这样的运算？结果是什么？

423解：（1）28xy÷7xy 4-32-1 =（28÷7）·x·y

=4xy．534（2）-5abc÷15ab 5-43-1 =（-5÷15）abc 2=-1/3abc．

73 （3）5（2a+b）÷（2a+b）7-3 =（5÷1）（2a+b）4 =5（2a+b）423423注意：28xy÷7xy就是（28xy）÷（7xy），括号通常省略。

四、课堂练习

课本162面练习1、2题。

五、课堂小结

这节课我们探索了单顶式相除的法则，并进行了单项式与单项式的除法运算，你有些什么体会呢？

作业：

课本164面2、4题。

15.3.2整式的除法（二）

[教学目标]理解多项式除以单项式的法则,会进行多项式除以单项式的运算. [重点难点]

多项式除以单项式的运算是重点;准确地进行多项式除以单项式的运算是难点. [教学过程]

一、问题导入

上节课我们学习了单项式与单项式相除，怎样进行单项式与单项式的除法运算？如果是多项式与单项式相除，又怎样进行计算呢？

二、多项式除以单项式

探究：试计算下列各式：

(1)(am+bm)÷m；

2(2)(a+ab)÷a；

22(3)(4xy+2xy)÷2xy．

根据前面探究的经验，你认为应该怎样计算呢？

利用乘除互逆的关系计算：

163

（1）∵(a+b)m = am+bm ∴(am+bm)÷m = a+b 22（2）∵（a+b）a = a+ab ∴(a+ab)÷= a+b 2222（3）∵（2x+y）·2xy=4xy+2xy ∴(4xy+2xy)÷2xy=2x+y 仔细观察式子与结果，这个结果还可以怎样得到？

（1）(am+bm)÷m =am÷m+bm÷m=a+b; 22(2) (a+ab)÷a =a÷a+ ab÷a= a+b; 2222(3) (4xy+2xy)÷2xy =4xy÷2xy+2xy÷2xy=2x+y. 由此你认为怎样进行多项式除以单项式的运算？

多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．

三、例题

例3 计算：

32(1)(12a-6a+3a)÷3a；

4332222(2)(21xy-35xy+7xy)÷(-7xy)；

2(3)[(x+y)-y(2x+y)-8x]÷2x

分析：这是什么运算？怎样进行这样的运算？请你说一说运算过程。

32解：(1)(12a-6a+3a)÷3a

32=12a÷3a -6a÷3a +3a÷3a

2=4a-2a+1 4332222(2)(21xy-35xy+7xy)÷(-7xy) 22

=-3xy+5xy-y2(3)[(x+y)-y(2x+y)-8x]÷2x

222=（x+2xy+y-2xy-y-8x）÷2x

2=（x -8x）÷2x

= 1/2x-4。

注意：运算时要注意符号，多项式是几项结果就是几项。

四、课堂练习

课本163面练习题。

五、课堂小结

这节课学习了多项式与单项式相除。多项式除以单项式的基本思想是把多项式除以单项式转化为单项式除以单项式，计算时要注意符号，多项式是几项结果就是几项。

作业：

课本164面3、6、8。

第十五章第三阶段复习

一、双基回顾

mnm-n1、同底数的幂相除：a÷a=a（a≠0，m，n都是整数，且m＞n）

同底数的幂相除，底数不变，指数相减。

注意：计算时，要看清底数是否相同。

[1]下列计算是否正确，为什么？

164

①a÷a=a；

85 33②-a÷（-a）=（-a）=- a；

73 734③（-a）÷a=-a÷a=-a。

02、零指数幂的性质：a=1（a≠0）。

0注意：0没有意义。

0[2]函数y =（3-2x）自变量的取值范围是 。

3、单项式除以单项式法则：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

7442[3]-3abc÷9ab= 。

4、多项式除以单项式法则：多项式除以单项式，先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。

注意：运算时要注意符号的变化；多项式有几项，商就有几项，不要漏项。

3242[4]（2xy-5xy）÷（-xy）= 。

二、例题导引

3532例1已知长方体的体积为3abcm,它的长为abcm,宽为3/2abcm，求（1）它的高; (2)它的表面积. 例2化简求值: 2[4(xy-1)-(xy+2)(2-xy)]÷1/4xy,其中x=-2, y=1/5. m342n242例3 已知a（xy）÷（3xy）=4xy，求a÷mn值。

m n 2m-4n+1例4 若3 =6,9 =2,求3

的值. 三、练习提高

夯实基础

1、下列计算正确的是( ) 6325532422 A.x÷x=x B.a÷a=a C.y÷y=y D.(-c)÷(-c)=-c

02、计算(-3)的结果是( ) A.0 B.1 C.3- D. -3 623、计算：6a÷（-2a）的结果是（ ）

3434 A.-3a B.-3a C.-3/2a D.-3/2a2324、计算xy÷(-xy)的结果是( ). 2 A.xy B.x C.y D.xy24225、若8abc被某个单项式除后得4ab，这个单项式是（ ）

2222A、2abc B、2ab C、2bc D、1/2bc 22226、计算(14ab-21ab)÷7ab等于( ) 222A.2a-3 B.2a-3 C.2a-3b D.2ab-3 7、计算：

34723223 （1）-12axy÷（-3axy） （2）（3a）·b÷（8ab） 8、计算：: 42（1）（10x-15x+5x）÷（-5x）；

472632（2）(2/3ab-1/9ab)÷（-1/3ab)；

2（3）[(x-y)+(x+y)(x-y)]÷2x 9、先化简，再求值：

（a-2b）（a+2b）+ab÷（-ab）其中a=2，b=-1。

363210、一种被污染的液体每升含有2.4×10个有害细菌,为了试验某种杀菌剂的效果,科学家们进行了实

165 13

验,发现1滴杀菌剂可以杀死4×10个此种细菌,要将1升液体中的有害细菌全部杀死,需要这种杀菌剂多少毫升?(注:15滴=1毫升) 能力提高

11、下列计算正确的是( ) 52762456302A.(a)=a B.a÷a=a C. a·a=a D.a+2a=3a

23473312、计算：2a·a÷a=______；(x-y)÷(y-x)·(y-x)=_____. 2213、一个矩形的面积是3(x-y) , 如果它的一边长为( x+ y) , 则它的周长是______. 14、已知8ab÷28ab=2/7b，那么m、n的值为（ ）

A、m=4，n=3 B、m=4，n=1 C、m=1，n=3 D、m=2，n=3 xyy - x15、已知10=7/4，10=49，则10等于（ ）

A、28 B、503 C、471 D、以上都不对

4416、计算: 53433234（1）-5xyz÷15xy÷1/3xy （2）(2a)·(b)÷4ab；

432232（3）(-8mn+12mn-4mn)÷(-4mn) ；

2232（4）（ab-2ab-b）÷b+（a+b）。

17、先化简再求值：

222225（xy）（x+y）（x-y）-（4xy）÷4y，其中x=1，y=2。

mn2m-n18、已知3=15,3=6，求3的值. 探索创新

20、小明与小亮在做游戏，两人各报一个整式，小明报一个被除式，小亮报一个除式，要求商式必须为3222xy，若小明报的是xy-2xy，小亮应报什么整式？若小明报的是3x，小亮能报出一个整式吗？说说你的理由。

3m10n2215.4.1提公因式法

[教学目标]

1、了解因式分解的概念以及因式分解与整式乘法的关系；2、了解公因式的概念，会用提公因式法分解因式；3、在探索提公因式法分解因式的过程中发展学生的逆向思维。

[重点难点]

提公因式法分解因式是重点；确定公因式以及提出公因式后的另外一个因式是难点。

[教学过程] 一、复习导入

我们已经学习了整式的乘法，下面我们来做几道题。计算：

2 （1）x（x+1）=x+x；

2 （2）（x+1）（x-1）= x-1；

（3）m（a+b+c）= am+bm+cm。

反过来，就是

2 （4）x+x=x（x+1）

2 （5）x-1=（x+1）（x-1）

（6）am+bm+cm=m（a+b+c）

前面三个式子和后面三个式子各有什么不同？

前面三个式子是将“积”变成“和”，是整式的乘法，后面三个式子是将“和”变为“积”。

166

这是一种什么变形呢？

二、因式分解与提公因式法

像这种把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做因式分解。也叫做把这个多项式分解因式。

可以看出，因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即

x2-1

因式分解

整式乘法

（x+1）（x-1）

观察多项式（4）和（6），它们有什么共同的特征？

它们都有相同的因式，（4）中相同的因式是x，（6）中相同的因式是m。

我们把多项式中相同的因式叫做这个多项式的公因式。像（4）和（6）这样把一个多项式化成公因式与另一个因式乘积，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

三、例题

例

把下列各式分解因式：

323（1）8ab-12abc；

3（2）3x-6xy+x；

（3）2a（b+c）-3（b+c）。

分析：多项式的公因式是什么？提取公因式后剩下的因式是什么？

32222222解：（1）8ab+12abc=4ab·2a+4ab·3bc=4ab（2a+3bc）．

2（2）3x-6xy+x=x·3x-x·6y+x·1=x（3x-6y+1）．

（3）2a（b+c）-3（b+c）=（b+c）（2a-3）．

注意：某一项提完后还剩1；提取公因式后，剩下的因式与原因式的项数相同。

反思：怎样确定公因式呢？

取①各项系数的最大公约数；②各项相同字母的最低次幂作积。

四、课堂练习

课本167面练习1、2、3题。

五、课堂小结

这节课我们学习了什么内容？

1、因式分解、公因式和提公因式法的概念；

2、运用提公因式法分解因式。

作业：

课本170面1；171面6题。

15.4.2公式法（一）

[教学目标]

1、了解平方差公式的特点，能运用平方差公式分解因式；2、初步学会用提公因式法与公式法分解因式．

[重点难点]运用平方差公式分解因式是重点；灵活运用平方差公式分解因式是难点。

[教学过程] 一、复习导入

167

运用乘法公式计算：

（1）（x+2）（x－2）；（2）（a+2b）（a－2b）。

222解：（1）（x+2）（x－2）= x－2= x－4；

2222（2）（a+2b）（a－2b）= a－（2b）= a－4b。

222反过来，你能将x－16和a－4b分解因式吗？

二、公式法

222x－4= x－2=（x+2）（x－2）；

2222a－4b= a－（2b）=（a+2b）（a－2b）。

22把乘法公式（a+b）（a-b）= a-b反过来就是：

22a-b=（a+b）（a-b）

用语言叙述为：

两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。

上面就是利用这个公式分解因式的。像这样利用乘法公式分解因式的方法叫做公式法。

这个公式有什么特点呢？

（1）左边是二项式，每项都是平方的形式，两项的符号相反．

（2）右边是两个多项式的积，一个因式是两数的和，另一个因式是这两数的差．

这就是说，如果一个多项式是两项且符号相反，每一项都能写成平方的形式，那么就能运用平方差公式分解因式。

2222思考：（1）4a=（ ）；（2）4/9b=（ ）；

42222 （3）0.16a=（ ）；（4）1.21ab=（ ）。

三、例题

例1分解因式

222 （1）4x-9 （2）（x+p）－（x+q）

分析：这个式子能运用平方差公式分解因式吗？为什么？结果是什么？

22能。因为（1）可以写成（2x）－3；对（2），把（x+p）和（x+q）看成一个整体，设x+p=m，x+q=n，22则原式就化为m－n。

222解：（1）4x-9=（2x）－3=（2x+3）（2x－3）；

22（2）（x+p）－（x+q）=[（x+p）+（x+q）][ （x+p）－（x+q）] =（2x+p+q）（p－q）。

思考：课本168面练习1题。

例2 分解因式：

443（1）x-y；（2）ab-ab。

22222分析：（1）式有什么特点？（x+y）（x-y）还可以继续分解因式吗？（2）式有什么特点？ab（a-1）还可以继续分解因式吗？

44 解：（1）x-y2222 =（x+y）（x-y）

22 =（x+y）（x+y）（x-y）．

3（2）ab-ab 2=ab（a-1）

=ab（a+1）（a-1）．

反思：分解因式要注意什么问题？

①分解因式的结果要化简；②分解因式要分解到不能分解为止。

四、课堂练习

168

课本168面练习2题。

五、课堂小结

这节课我们学***方差公式分解因式。

1、在什么情况下可以运用平方差公式分解因式？

一个多项式是两项且符号相反，每一项都能写成平方的形式。

2、分解因式时要注意什么？

①如果有公因式应先提取公因式；②分解因式的结果要化简；③分解因式要分解到不能分解为止。

作业：

课本171面2、4、7题；选做172面11题。

15.4.2公式法（二）

[教学目标]

1、了解完全平方公式的特点，会用完全平方公式分解因式；2、学会用提公因式法和完全平方公式分解因式。

[重点难点]

用完全平方公式分解因式是重点；灵活运用公式分解因式是难点。

[教学过程] 一、问题导入

2222 你能把a+2ab+b和a-2ab+b分解因式吗？

222 能。实际上，把乘法公式（a±b）= a±2ab+b反过来，就得到

222 a+2ab+b=（a+b）

222 a-2ab+b（a-b）这就是说，运用完全平方公式也能分解因式。

二、完全平方公式的特点

这个公式用语言叙述是：

两个数的平方和，加上（或减去）这两数的积的2倍，•等于这两个数的和（或差）的平方．

能够用完全平方公式分解因式的多项式具有什么特点？

是一个二次三项式，其中有两项是两个数的平方且符号相同，另一顶是这两个数的积的2倍或其相反数。

这样的多项式叫做完全平方式。也就是说，只有完全平方式才能运用完全平方公式进行分解。

思考：课本170面练习1题。

三、例题

例1分解因式：

222 （1）16x+24x+9 ； （2）-x+4xy-4y分析：这个式有什么特点？用完全平方公式分解的结果是什么？

2解：（1）16x+24x+9 22 =（4x）+2·4x·3+32 =（4x+3）．

2222（2）-x+4xy-4y=-（x-4xy+4y）

22 =-[x-2·x·2y+（2y）]2 =-（x-2y）．

注意：如果多项式的首项是负的，分解因式时应先把负号提出来。

例2分解因式：

222 （1）3ax+6axy+3ay （2）（a+b）－12（a+b）+36 分析：这个式子有什么特点？还能继续分解吗？

169

解：（1）3ax+6axy+3ay

22=3a（x+2xy+y）

2=3a（x+y）。

2（2）（a+b）－12（a+b）+36 22=（a+b）－2·（a+b）·6+6

2=（a+b－6）。

反思：分解因式要注意什么问题？

①有公因式要先提取公因式；②要分解到不能分解为止。

四、课堂练习

课本170面练习2题。

五、课堂小结

这节课我们学习了运用完全平方公式分解因式。

1、怎样的多项可以运用完全平方公式分解因式？

2、分解因式的基本思路是什么？

首先考虑提取公因式，再考虑运用公式法，如果是两项考虑平方差公式，如果是三项考虑完全平方公式。

作业：

课本171面3、5、8、9题；选做10题。

22第十五章第四阶段复习（15.1.4）

一、双基回顾

1、因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。

注意：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，例如：

因此，因式分解可以用整式乘法来检验. [1] 下列变形是因式分解吗？为什么，

22(1)（x-3）（x+1）=x-2x-3；(2) xy+y +1=y（x+y）+1；

222（3）2xy-4xy=xy（2y+4x）；（4）x+x-2=x（x+1-2/x）。

2、提公因式法

一个多项式各项都有的因式叫做这个多项式的公因式。

确定公因式的方法：取①各项系数的最大公约数；②各项相同字母的最低次幂作积。

2[2]分解因式：6xyz－3xz= 。

223、平方差公式：a-b=(a+b)(a-b). 两个数的平方差，等于这两个数的和与这个数的差的积. 2[3] 分解因式：4x-9= 。

2224、完全平方公式：a±2ab+b=(a±b). 22a±2ab+b叫做完全平方式. 两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方. 22[4]分解因式：x-6xy+9y= 。

5、分解因式的基本思路：首先考虑提取公因式，再考虑运用公式法，如果是两项考虑平方差公式，如果

170

是三项考虑完全平方公式。

22[5] 分解因式： ax-ay= 。

二、例题导引

例1分解因式：

32(1)3m(x+y )-9n(x+y)；

(2) x-2x+x；

2222(3)x(x-y)+y(y-x)； (4)(a+b+c)-(a-b-c). 例2 用简便方法计算：

(1)7.6×199.9+4.3×199.9-1.9×199.9；

22(2)2002-4006×2002+2003。

2例3 若x+(k+3)x+9是完全平方式，则k= . 3223例4 已知x-y=1,xy=2，求xy-2xy+xy的值. 三、练习提高

夯实基础

1、下列各式中由等号的左边到右边的变形，是因式分解的是（ ）

22A、（x+3）（x-3）=x-9 B、x+ x-5=（x-2）（x+3）+1 222C、ab+ab=ab（a+b） D、x+1=x（x+1/x）

2、（3ax-y）（3a+y）是下列哪一个多项式因式分解的结果（ ）

22222222A、9a+y B、-9a+y C、9a-y D、-9a-y

233、多项式-2ab+4abc-8bc中各项的公因式是 。

222222224、下列各式：①x+xy+y；②x-xy+1/4y；③x-2xy+4y；④x+4xy+4y是完全平方式的是 。

225、填空：0.25x－（

）y＝（0.5x＋4y）（0.5x－

）；

2 6、若m+2(k-1)m+9是完全平方式，则k= . 227、-x-4y+4xy分解因式的结果是 。

28、当a=3，a-b=1时，代数式a-ab的值是 。

229、如果a-b=-20，a-b=4，则a+b的值为（ ）

A、-4 B、5 C、-5 D、以上都不对

210、对于任何形式的m，多项式（4m+5）-9都能（ ）

A、被8整除 B、被m整除 C、被m-1整除 D、被2m-1整除

11、因式分解：

2（1）3x(a-b)+2y(b-a) （2）y-7y+10 222（3）(m+n)-6(m+n)+9； （4）(x+y)-9y；

（5）-a+2a-a （6）ax16ay。 322212、计算：

222（1）565×11-435×11； （2）99+198+1 2213、已知xy=5，a-b=6，求xya+xyb-2abxy的值。

能力提高

214、若整式4x+1+Q是完全平方式，请你写一个满足条件的单项式Q是 。

2215、已知x+y=1，那么1/2x+xy+1/2y的值为 . n216、若(2x)-81=(4x+9)(2x+3)(2x-3)，则n的值是( ) A.2

B.4

C.6

D.8 17、因式分解

171

（1）(2a+b)(2a-3b)+(2a+5b)(2a+b) 22（2）ab+9ab+8a （3）(x+y)-4(x+y-1). 222222（4）(x+y)-4 xy (5)（a-b）a-ab+b

16、已知n是整数，请说明两个连续的奇数的平方差是8的倍数。

17、阅读：x-4y在有理数范围内可分解因式为（x-2y）（x+2y），在实数范围内分解因式为（x-2y）442222（x+2y）（x+2y）。

22在实数范围内分解因式：16x-25y。

探索创新

22218、已知a,b,c是△ABC的三边，且满足关系式a+c=2ab+2bc-2b，试说明△ABC是等边三角形. 19、给你多个长方形和正方形卡片如图，请你运用拼图的方法，选取相应一定种类和数量的卡片，拼成2222一个矩形，使它的面积等于2a+5ab+2b，并根据你拼成的图形分解多项式2a+5ab+2b。

a a

a b b

b 44第十五章小结

一、知识结构：

整式乘法

乘法公式

整式除法

因式分解

二、回顾与思考

1、幂的运算是整式乘除的基础，幂的运算有哪些法则？它们有什么区别？

mnm+n（1）同底数幂的乘法：a·a=a(m，n都是正整数). mnmn（2）幂的乘方：(a)=a(m，n都是正整数).

nnn（3）积的乘方：(ab)=ab(n为正整数). 同底幂的乘法是底数不变，指数相加，幂的乘方是底数不变，指数相乘，而积的乘方是分别乘方，把幂相乘。

2、单项式的乘除是整式乘除的关键，怎样进行单项式的乘除？怎样将多项式乘（除以）单项式、多项式乘多项式转化为单项式的乘除。

单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式．

多项式乘（除以）单项式，只需把多项式中的每一项与单项式相乘（除），再把所得的积（商）相加；多

172

项式乘多项式只需一个多项式中的每一项与另一个多项式中的每一项分别相乘，再把所得的积相加。

3、把一特殊形式的多项式写成公式的形式，可以简化运算。本章学习了哪几个乘法公式？你能从图形的角度解释乘法公式的合理性吗？

22平方差公式：（a+b）（a-b）=a-b

222完全平方公式：（a±b）= a±ab+b a a a-b b 图1 图2 a b 4、举例说明因式分解与整式的乘法有什么关系？你学习了哪几种分解因式的方法？请举例说明。

因式分解与整式乘法是相反方向的变形，如：

我们学习了提公因式法和公式法现种方法，如：

2提公因式法：x-x=x(x-1) 222公式法：4x-9=(2x)-3=(2x+3)(2x-3). 22222x-12xy+9y=x-2·x·3y+(3y)=(x-3y). 三、例题导引

22例1 若(3x-2x+1)(x+b)中不含x项，求b的值. 22例2 解不等式(1+3x)+(2x-1)＞13(x-1)(x+1). 例3 因式分解：

（1）x(m-x)(m-y)-m(x-m)(y-m)；

2222（2）(a+b)-4(a-b)+4(a-b)；

22（3）（y＋3y）－（2y＋6）. 22例4 已知m、n是三角形两边的长，m+n-6m+10n+34=0，求这个三角形第三边的取值范围。

四、练习提高

课本175复习题5。

第十五章整式的乘除与因式分解单元检测题

一、选择题（每小题3分，共30分）

1、下列计算正确的是（ ）

23544248236A、a+b=2a B、a÷a=a C、a·a=a D、（-a）=-a 2、下列分解因式正确的是（ ）

322A、x-x=x（x-1） B、m+m-6=（m+3）（m-2）

222C、（a+4）（a-4）=a-16 D、x+y=（x+y）（x-y）

325323253、下面是某同学在一次测验中的计算记录：①3x·（-2x）=-6x；②4ab÷（-2ab）=-2a；③（a）=a；32④（-a）÷（-a）=-a，其中正确的个数有（ ）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

173

4、如果9x+kx+25是一个完全平方式，那么k的值是（

）

A、

15

B、

±5

C、

30

D ±30 225、如果（2x－3y）（M ）=4x－9y，则M表示的式子为（ ）

A．－2x+3y B．2x－3y

Ｃ．－2x－3y

Ｄ．2x＋3y mnm+n6、若a =7,a=4. 则a=（ ）

A.3

B.11

C.28 D.7/4 7、要使（3x+a）（x-2）的展开式中不含x项，则a应为（ ）

A、-6 B、6 C、2 D、-3 28. 已知a+b=2，则（a-b）+4ab的值是（ ）

A、2 B、3 C、4 D、6 229、若a为整数，则（a+1）-（a-1）一定能被（ ）整除

A．2 B．3 C．4 D．5

10、如图15－18所示的是用4个相同的小矩形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知该图案的面积为49，小正方形的面积为4，若用x，y表示小矩形的两边长(x＞y)，请观察图案，指出以下关系式中，不正确的是( ) A.x+y=7 B.x-y=2 22

C.4xy+4=49

D.x+y=25 2

二、填空题（每小题3分，共30分）

011、当x 时，（x-4）等于 。

212、多项式4x－6xy＋2x提取公因式后剩下的因式是 。

13、多项式9x21加上一个单项式后，能成为一个完全平方式，那么加上的单项式可能是 3214、分解因式：xy-4x= 。

2215、计算：（9ab-6ab）÷（-3ab）= 。

216、计算：a（a-2b）-（a-b）= 。

17、计算：(2)2007(1.5)2008(1)2009 。

3218、若x+y=10，xy=24，则(x-y)= . 219、把20cm长的一根铁丝分成两段，将每一段围成一个正方形，如果这两个正方形的面积之差是5cm，则这两段铁丝分别长 ．

20、某体育馆用大小相同的长方形木板镶嵌场面，第1次铺2块，如图（1）；第2次把第1次铺的完全围起来，如图（2）；第3次把第2次铺的完全围起来，如图（3）；…。依此方法，用字母n表示第n次铺完后所使用的木板数 ．

三、解答下列各题（共60分）

21、计算：（10分）

174

(1)（3x-2）（2x+3）-（x-1）2

22232（2）[x（xy-xy）-y（x-xy）]÷3xy 22、因式分解：（16分）

2222 (1)axy-axy （2）2x-4xy+2y

2222（3）(a-2b)-16a （4）(a-b)(a-ab+b)+ab(b-a) 23、先化简（2x-1）2-（3x+1）（3x-1）+5x（x-1），再选取一个你喜欢的数代替x求值。

（6分）

3223 24、已知x-y=1,xy=2，求xy-2xy+xy的值.（6分）

25、如图，两小圆的直径分别是a㎝和b㎝，（1）用a、b表示阴影部分的面积；（2）当a=3，b=5时，求阴影部分的面积。（6分）

a㎝

b㎝

26、已知m2n2,n2m2(mn)，先化简再求m32mnn3的值．（7分）

27、老师在黑板上写出三个算式：

52-32=8×2，

92-72=8×4，

152-32=8×27，

王华接着又写出了两个具有同样规律的算式：

112-52=8×12，

152-72=8×22，……

（1）请你再写出两个（不同于上面算式）具有上述规律的算式；

（2）用文字写出反映上述算式的规律；

（3）证明这个规律的正确性。（9分）

175