多边形的外角和教案和课堂实录

11.3.2

多边形的内角和

【教学目标】

知识与技能

1.了解多边形的内角、外角等概念.

2.能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式,并会应用它们进行有关计算.

过程与方法

在观察、操作、推理、归纳等探索过程中,发展学生的合情推理能力,逐步养成数学推理的习惯.

情感、态度与价值观

体会数学与现实生活的联系,增强克服困难的勇气和信心.

【教学重难点】

重点:多边形的内角和与多边形的外角和公式.

难点:多边形的内角和定理的推导.

【教学过程】

一、复习导入

我们已经证明了三角形的内角和为180°,在小学我们用量角器量过四边形的内角的度数,知道四边形的内角和为360°,现在你能利用三角形的内角和定理证明吗?

多边形的内角和

[投影1]如图,从四边形的一个顶点出发可以引几条对角线?它们将四边形分成几个三角形?那么四边形的内角和等于多少度?

可以引一条对角线;它将四边形分成两个三角形;因此,四边形的内角和=△ABD的内角和+△BDC的内角和=2×180°=360°.

类似地,你能知道五边形、六边形……n边形的内角和是多少度吗?

[投影2]观察下面的图形,填空:

从五边形一个顶点出发可以引

对角线,它们将五边形分成

三角形,五边形的内角和等于

;

从六边形一个顶点出发可以引

对角线,它们将六边形分成

三角形,六边形的内角和等于

;

[投影3]从n边形一个顶点出发,可以引

对角线,它们将n边形分成

三角形,n边形的内角和等于

.

n边形的内角和等于(n一2)·180°.

从上面的讨论我们知道,求n边形的内角和可以将n边形分成若干个三角形来求.现在以五边形为例,你还有其它的分法吗?

分法一

如图1,在五边形ABCDE内任取一点O,连结OA、OB、OC、OD、OE,则得五个三角形.

∴五边形的内角和为5×180°-2×180°=(5-2)×180°=540°.

分法二

如图2,在边AB上取一点O,连OE、OD、OC,则可以(5-1)个三角形.

∴五边形的内角和为(5-1)×180°-180°=(5-2)×180°.

如果把五边形换成n边形,用同样的方法可以得到n边形内角和=(n-2)×180°.

二、例题

[投影6]例1:如果一个四边形的一组对角互补,那么另一组对角有什么关系?

如图,已知四边形ABCD中,∠A+∠C=180°,求∠B与∠D的关系.

【分析】∠A、∠B、∠C、∠D有什么关系?

解:∵∠A+∠B+∠C+∠D=(4-2)×180°=360°,∠A+∠C=180°,

∴∠B+∠D=360°-(∠A+∠C)=180°.

这就是说,如果四边形一组对角互补,那么另一组对角也互补.

[投影7]例2:如图,在六边形的每个顶点处各取一个外角,这些外角的和叫做六边形的外角和.六边形的外角和等于多少?

如图,已知∠1,∠2,∠3,∠4,∠5,∠6分别为六边形ABCDEF的外角,求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的值.

【分析】多边形的一个外角同与它相邻的内角有什么关系?六边形的外角和是多少度?

解:∵∠1+∠BAF=180°,∠2+∠ABC=180°,∠3+∠BCD=180°,∠4+∠CDE=180°,∠5+∠DEF=180°,∠6+∠EFA=180°,

∴∠1+∠BAF+∠2+∠ABC+∠3+∠BCD+∠4+∠CDE+∠5+∠DEF+∠6+∠EFA=6×180°.

又∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=4×180°,

∴∠BAF+∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEF+∠EFA=6×180°-4×180°=360°.

这就是说,六边形形的外角和为360°.

如果把六边形换成n边形可以得到同样的结果:

n边形的外角和等于360°.

对此,我们也可以这样来理解.

[投影8]如图,从多边形的一个顶点A出发,沿多边形各边走过各顶点,再回到A点,然后转向出发时的方向,在行程中所转的各个角的和就是多边形的外角和,由于走了一周,所得的各个角的和等于一个周角,所以多边形的外角和等于360°.

三、课堂练习

课本24页习题11.3第2、3题.

四、课堂小结

n边形的内角和是多少度?

n边形的外角和是多少度?

五、布置作业

课本24页第2、3题.