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平衡问题

学习目标：

1、

知道共点力作用下物理的平衡状态；

2、

知道共点力作用下物体的平衡条件，并能用它处理简单的平衡问题；

3、

会用正交分解法和与“三角形定则”相结合解决物体的平衡问题。

重点与难点

共点力作用下物体的平衡条件；

会用正交分解法和与“三角形定则”相结合解决平衡问题。

知识要点

一、共点力的平衡：

1、

平衡状态：

（1）如果一个物体在力的作用下处于静止或匀速直线运动状态，则这个物体就处于平衡状态。

（2）平衡态是指加速度为零的状态，而不是速度为零的状态。

注意：物体处于平衡状态时分两类：一类是共点力作用下物体的平衡；另一类是有固定转轴物体的平衡。我们现阶段只研究共点力作用下物体的平衡问题。

2、共点力平衡条件：

在共点力作用下物体的平衡条件是：合外力为零，即F0。

注：F表示对物体所受的所有外力求合力。

二、平衡条件的应用：

求解共点力作用下物体平衡的方法

（一）与“平行四边形定则”相结合：

对于物体受多个共点力作用处于平衡态的情况，此方法处理问题较复杂，因此较少使用。一般多用于解决物体受三个及以下共点力作用处于平衡态的问题。

根据矢量加法满足的“平行四边形定则”，

a、

合成：可先对两个力做出平行四边形，由几何关系求出合力，并用所求得的合力再与第三个力求合力，再根据平衡条件：F0，进而解得结果。

b、

分解：将其中一个力根据“平行四边形定则”按另外两个力的方向进行

1

分解，再根据平衡条件：F0，可知任一方向上的合力都为零，进而求得结果。

注：本文内容主要介绍后面两种方法，对于此法因其只是平行四边形定则的直接应用，很简单，因此后面就将不再详细叙述。

（二）正交分解法：

1)

解决平衡问题的一般步骤：

a、

选取研究对象；

b、

对所选研究对象进行受力分析，并画出受力图；

c、

对研究对象所受力进行处理：建立合适的直角坐标系，对各力按坐标轴方向进行正交分解；

d、

建立平衡方程：由F0可以得到：Fx0,e、

求解方程，必要时对结果进行讨论。

注意：建立直角坐标系时：

a、可以选任意方向为x轴，y轴必须与其垂直；

b、一般尽量使更多的力落在坐标轴上，以减少力的分解次数，简化计算。

2)

正交分解法解题的优点：

a、

对于物体受四个及四个以上共点力平衡的问题，应用正交分解法更加方便。

b、

将矢量运算转换为代数运算，降低了难度。

c、

将求合力的复杂的几何问题转化为正交分解后的直角三角形问题，更便于运算。

可用于求解多个未知条件的问题。

（三）与“三角形定则”相结合：

1)

这种方法也可称之为矢量三角形法，主要用来解决三力平衡的问题。根据平衡条件，并结合“三角形定则”，可得：将表示物体所受各外力的有向线段首尾顺次连接，构成一个闭合的三角形。

2)

优点：把三个平衡力转化为三角形的三条边，然后通过解这一三角形的几何问题，求解平衡问题，使得计算更加简便。

注意：求解三角形的几何问题，多数是解直角三角性形的问题。若不是直角三角形，可应用三角形的几何关系，或利用力的三角形与空间几何三角形的相似性等规律求解计算。

2 Fy0；

典型例题

（一）正交分解法：

例1、一质量为m的木块在拉力F的作用下，沿水平地面作匀速直线运动，如图所示。F与水平面的夹角30，木块与地面间的动摩擦因数为μ。求拉力F的大小？

解析：以物体为研究对象，对物块受力分析可知，

在拉力作用下，做匀速运动的物体受到重力，

拉力，地面对物体竖直向上的支持力和地面对

物体的摩擦力，四个力的作用。

物体做匀速直线运动

N F x f

mg y 由平衡条件得：

x:y:Fcosf0FsinNmg0 又fN

解得：Fmg

sincosmg。

sincos答：拉力F的大小为F点评：本题解题的关键是根据物体的运动状态，判断出物体所受合外力为零，然后根据受力分析画图建立直角坐标系，列出平衡方程，和滑动摩擦力满足的公式联立求解即可求得结果。

例2、如图所示，一个质量为m的木块沿着倾角为θ的斜面匀速下滑，则物体与斜面间

3 的动摩擦系数为多少？

解析：以物体为研究对象，对物块受力分析如图，

物体匀速下滑

由平衡条件得：

x:mgsinf0y:mgcosN0

又fN

解得：tan

答：物体与斜面间的动摩擦系数为tan。

例3、如图所示，质量为m的物块在水平恒力F的作用下沿斜面匀速下滑，已知物块与固定斜面间的摩擦因数为μ，斜面倾角为θ，求F的大小。

解析：以物体为研究对象，对物块受力分析如图，

物体匀速下滑

由平衡条件得：

4

x:mgsinfFcos0y:NmgcosFsin0

又fN

解得：Fmg(sincos)sincos

答：F的大小为mg(sincos)sincos

点评：例题2和例题3解题的关键是，根据物体的运动状态判断出物体所受合外力为零后，根据受力分析，选择平行于斜面的方向建立直角坐标系，这样可以使得更多的力落在坐标轴上，简化计算。

注意：物体在共点力作用下处于平衡态，则物体所受合外力为零，因此其在任一方向上的合力都为零。但有时物体只在某一方向上处于平衡态，则在此方向上也可以应用平衡条件列方程求解。

（二）与“三角形定则”相结合

例4、如图所示，在光滑的竖直墙上用轻绳悬挂一个质量为m球，若轻绳与竖直墙之间的夹角为，求墙对球的弹力和轻绳对球的拉力分别为多少？

解析：以球体为研究对象，对物块受力分析如图，

球体受到重力、墙壁的支持力和绳的拉力三个力的作用。

静止

三力可构成如图三角形，由几何关系得：

NmgtanT

θ

Tmg

cosN

答：墙对球的弹力和轻绳对球的拉力分

mg

别为mgtan,mgcos。

点评：例题4解题的关键是根据物体的运动状态判断出物体所受合外力为零

5 T N mg

后，画出球体的受力分析图，然后将各力首尾顺次相连，构成一个闭合的矢量三角形。三角形的边长大小表示力的大小，因此理学问题就转换为了求三角形边长的几何问题，根据直角三角形的几何关系可以直接求得结果。

例5、一个质量为m的均匀球体放在倾角为θ的光滑斜面上，并被斜面上一个垂直于水平面的光滑挡板挡住，处于平衡状态。求：挡板和斜面对球体的支持力。

解析：以球为研究对象，对物体受力分析如图， 解法一、（正交分解法）

建立如图直角坐标系

静止

N1

θ

N

由平衡条件得：

x:NN1sin0y:N1cosmg0解得：

mg

y N1

θ

N

x

mg

Nmgtan

mgN1cos

解法二、（矢量三角形法）

静止

三力可构成如图三角形

由几何关系得：

N1 Nmgtan

mgN1cos答：挡板和斜面对球的支持力分

N

mg 6

别为mgtan,mg

cos拓展：若挡板逆时针方向缓慢转动，则挡板和斜面对物体的支持力如何变化？

解析：以球为研究对象

静止

三力可构成如图三角形

N1 N

当挡板逆时针缓慢转动时，球体是时刻处于平衡态的，挡板对其的支持力N1mg 的方向，也随挡板的转动按

逆时针方向转动，但是斜面对球体的支持力的方向始终垂直于斜面向上，方向不变。

因此，由三力构成的矢量三角形图可看出：

a、挡板对物体的支持力N先变小后增大

b、斜面对物体的支持力N1一直变小

点评：由例题4和例题5的比较可看出，两题虽然都可以用正交分解法和矢量三角形法解题，但是对于三力平衡的问题，当三力可构成直角三角形时，则应用矢量三角形方法可使计算更加简便。另外，由“拓展问题”的解决可以看出，应用正交分解法很难求出该问题的结果，但是应用矢量三角形法，则可以很简便的解决问题。对于定性分析三力平衡条件下某个力的大小随角度变化的情况的问题，一般用矢量三角形的方法解决更简便。

小结：三种方法在解决物体平衡问题时各有所长，因此在具体问题中应该结合题目的条件和问题，灵活选择一种简捷的方法进行计算，以达到事半功倍的效果。

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