正数、负数以及0的意义优秀教案案例

17.1 勾股定理（第1课时）教学设计

崔顺太

教学目标：

知识与技能：了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理的探索过程,掌握勾股定

理的内容，会用面积法证明勾股定理。

过程与方法：在探索勾股定理的过程中，培养动口、动手、动脑的综合能力，并感受从具体到抽象的认识规律，发展合情推理能力，体会数形结合思想，学会与人合作并能与他人交流思维的过程和探究结果，体验数学思维的严谨性。

情感态度：通过对勾股定理历史的了解，感受数学的文化，激发学习热情。在探究活动中，体验解决问题的多样性，培养学生合作交流意识和探索精神。介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。

教学重点：探索和证明勾股定理。

教学难点：用拼图的方法证明勾股定理。

学情分析：

这节课是九年制义务教育初级中学教材人教版八年级第十七章第1节《勾股定理》第一课时，勾股定理是几何中几个重要定理之一，它揭示的是直角三角形中三边的数量关系。它在数学的发展中起到重要的作用，在现时世界中也有着广泛的作用。学生通过对勾股定理的学习，可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。

教学方法与手段：

针对八年级学生的知识结构和心理特征，本节课选择引导探索法，由浅入深，由特殊到一般地提出问题，引导学生自主探索，合作交流，并利用多媒体进行教学。

在教师组织引导下，采用自主探索、合作交流的方式，让学生自己实验，自己获取知识，并感悟学习方法，借此培养学生动手、动口、动脑能力，使学生真正成为学习的主体。让学生感受到自己是学习的主体，增强他们的主动感和责任感，这样对掌握新知会事半功倍。 教学过程设计：

一、创设情境，引入新课

师：（结合动画讲故事）西周开国时期，周公非常爱才，他和喜欢钻研数学的商高是好朋友。有一天，商高对周公说，最近我又有一个新的发现，把一根长为7教学设计

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的直尺折成直角，使一边长（勾）为3，另一边长（股）为4，连接两端（弦）得一个直角三角形，周公您猜一猜第三边的长等于多少？周公摇头不知道。

同学们，你们猜猜是多少？

生：5。

生：不知道。

师：不知道也没关系，我们来量一量斜边的长就知道了。

（动画演示）

师：后来又发现，直角边为6、8的直角三角形的斜边的长是10。这两组数据是否具有某种共同点呢？带着这个问题人们对直角三角形做了进一步的研究，通过计算三条边长的平方发现，直角三角形中的三条边长之间还真有一种特殊的关系。同学们也来算一算、猜一猜看，它们之间到底有什么样的关系呢？

生：324252、6282102。

师:这是两组特殊数字，但由此引发一个有待我们深入思考的问题，看哪位同学有新问题要提？

生：一个任意的直角三角形的三边是否也有这种相等关系呢？

师：这个问题提得好！我们用几何画板再做一个直角三角形来多实验几次，请注意观察。（任意改变三边的长，度量、计算显示相等关系依然不变。）

师：通过实验，可以得到什么结论？（或问同学们发现直角三角形的三边有什么样的关系？）请同桌商量讨论后把你们的结论用文字语言或数学式子表达出来。

生：直角三角形的三边满足：两直角边的平方和等于斜边的平方。

即

a2b2c2

师：同学们概括得非常好！这个结论尽管是通过多次实验得到的，但要说明它对任意的直角三角形都成立，还有待进行证明。首先我们要明确，在什么图形中要证明什么结论？

生：在直角三角形中证明a2b2c2

师：怎样证明呢？（学生茫然）这个问题是有点难度，让我们先来观察这个要证明的等式，看等式中的a、b、c表示什么？

生：表示直角三角形的三条边长。

师：a2、b2、c2是边长的平方，由边长的平方可联想到什么图形？

生：正方形，正方形的面积。

师：对整个等式你们怎样理解？

生：等式可以理解为两个正方形的面积和等于一个正方形的面积。

师：那好，下面我们就来做一个拼正方形的游戏，看能不能对我们证明结论有些帮助。

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二、动手拼图，合作探索

师：现在，前后4人为一个小组，老师给每小组提供了拼图模型两套，要求每一套模型拼成一个没有空隙且不重叠的正方形。拼好后请上台展示你们的成果，比一比，看哪一组完成任务最快。

【教学说明】这里充分利用了初中学生的好奇心和好胜心,给静态知识注入了活力，同时在课堂上增添了观察、探究等可形成能力的新因素。这样不仅可以调动学生的已有经验，沟通相关知识，而且还能培养学生观察、动手实践的能力。另外，在整个拼图过程中，学生自始至终处于主体位置上，老师只是他们的学习合作伙伴，在巡视的同时，给个别小组以适当指导。这样的设计体现了数学活动的教育思想，有利于学生在建构的环境中，真正主动的建构自己的理解。

(待各组同学基本完成后，挑选出一组拼图和同学们共同分析) 师：同学们对比自己拼成的两个图形，看看它们有什么共同点和不同点？

生：都是边长相等的正方形，但拼图的模型不同。

生：这两个正方形的面积相等。

师：这两个正方形的面积怎样计算呢？通过你的计算能否证明a2b2c2？请试一试。

师：看哪两位同学愿意上来写出证明过程。

生甲：证明

：

∵两个正方形的面积相等，∴4×(ab÷2)+a2b2=4×(ab÷2)+c2

∴a2b2c2

2生乙：证明

：∵ab=4×(ab÷2)+c2

∴a2+2ab+b2=2ab+c2

∴a2b2c2

（证明逐步深入，是为了启发学生把形的问题转化为数的问题，联想到用计算面积的方法证明a2b2c2，从而突破教学难点。）

师：两位同学刚才用两种不同的方法证明了实验得出的结论，这就是我们今天要学习的勾股定理。请两位同学再谈谈你们的证明思路好吗？

生甲：图（A）的面积用四个全等的直角三角形的面积加两个正方形的面积，图（B）的面积用四个全等的直角三角形的面积加一个正方形的面积，利用面积相等就证得结论。

生乙：我把图（B）用两种不同方法计算它的面积也能证得结论。

师：说得非常好！甲同学的证明思路正好符合我们前面对等式的理解，乙同学的证明思路启发我们还可以通过拼各种不同的图形来证明勾股定理。（多媒体展示拼图）按这个拼图也能证明勾股定理吗？请试试看。

生：根据拼图，用两种方法计算梯形的面积就能证明勾股定理。

2002年在北京召开了第24届国际数学家大会，它是最高水平的全球性数学科学学术会议，被誉为数学界的“奥运会”。这就是本届大会会徽的图案（出示教学设计

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图片或照片）。

（1）你见过这个图案吗？

（2）你听说过“勾股定理”吗？

【教学说明】这个图案是我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时用到的，被誉为“赵爽弦图”。通过对图片的观察，为学生积极主动投入到探索活动中创设情境，为探索勾股定理提供背景材料。并且让学生感受到中国古代在勾股定理研究方面所取得的伟大成就，激发学生的数学激情及爱国情感。 毕达哥拉斯是古希腊著名数学家.相传在2500年前，他在朋友家做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系。

通过观察上述问题的探讨，若将直角三角形的两直角边记为a，b，斜边为c，则应有a2+b2=c2，即直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。

师：对！证明勾股定理的方法很多，有兴趣的同学课后可以上网查询相关资料，也可以尝试拼出不同的图形对勾股定理给予证明。

三、运用新知，深化理解

1.你能利用如图所示的图形来证明勾股定理吗？不妨试试看，并与同伴交流。

2.你能用勾股定理解决下面的问题吗？

（1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=7，BC=24，试求斜边AB的长。

（2）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，试求直角边AC的长。

【教学说明】这两道题先由学生自主完成，然后由教师进行评讲。

3.在Rt△中，∠C=90°，BC=a ,AC=b,AB=c (a) 已知a=1，b =2，

则c=_________ (b) 已知a=15，c=17，则b=_________ (c) 已知c=25，b=15，则a =_________ 4. 一个底边长为6，腰长为5的等腰三角形，

求底边上的高和面积。

5. 小勇上学经过的路旁有一小湖，隔湖相对有两棵树A、B，

但无法直接测量出A、B之间的距离。请你帮他设计一个解决问题的方案好吗？

四、师生互动，课堂小结

师：通过以上练习，同学们可以感受到勾股定理有什么作用？

生：用勾股定理可以解决在直角三角形中已知两条边求第三边的问题。

师：说得非常好！在这一节课中，你们还学会了什么？

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生：通过拼图学会了用计算面积的方法证明勾股定理。

师：同学们总结得非常好！勾股定理的应用非常广泛，它是联系数学中数与形的第一个定理，是数形结合思想的最初体现，自从我国古代数学家发现勾股定理后，它对数学产生了巨大的作用和影响，我们不仅要为之自豪，更要切实学好它。

五、课后作业

1.请查阅资料或上网，收集一些证明勾股定理的方法，并与同伴交流。

2.完成练习册中本课时练习。

六、设计说明 1、根据学生的知识结构，我采用的教学流程是：创设情境引入新课——观察发现实验探究——动手拼图合作探索——运用新知深化理解——师生互动课堂小结这五部分。这一流程体现了知识的发生、形成和发展的过程，让学生经历了观察——猜想——归纳——验证——运用的思想和数形结合的思想。 2、探索定理采用了面积法，引导学生利用实验由特殊到一般的数学思想对直角三角形三边关系进行了研究，并得出了结论。这种方法是认识事物规律的重要方法之一，通过教学让学生初步掌握这种方法，对于学生良好的思维品质的形成有重要作用，对学生终身发展也有很大作用。

课后作业：

1.请查阅资料或上网，收集一些证明勾股定理的方法，并与同伴交流。

2.完成练习册中本课时练习。

教学反思：

新课程标准对勾股定理这部分的教学要求是: 体验勾股定理的探索过程,会运用勾股定理解决简单的问题。勾股定理是中学数学几个重要定理之一，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，既是直角三角形性质的拓展，也是后续学习“解直角三角形”的基础。它紧密联系了数学中两个最基本的量——数与形，能够把形的特征（三角形中一个角是直角）转化成数量关系（三边之间满足a2+b2=c2），堪称数形结合的典范，在理论上占有重要地位。另外八年级学生已具备一定的分析与归纳能力，初步掌握了探索图形性质的基本方法。但是学生在用割补方法和用面积计算方法证明几何命题的意识和能力方面存在障碍，对于如何将图形与数有机的结合起来还很陌生。基于以上三点的原因，本节课教学应把学生的探索活动放在首位，一方面要求学生在教师引导下自主探索，合作交流；另一方面要求学生对探究过程中用到的数学思想方法有一定的领悟和认识，从而教给学生探求知识的方法，教会学生获取知识的本领。为学生的终身持续发展奠定基础。

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