线段的垂直平分线的作图第一课时教学设计

1.3线段的垂直平分线(一) 教学目标

知识与技能：证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理；并会进行应用。

过程与方法：经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明能力．丰富对几何图形的认识。

情感态度与价值观：通过小组活动，学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果。

教学重点：运用几何符号语言证明垂直平分线的性质定理及其逆命题；并会进行应用。

教学难点：写出垂直平分线的性质定理的逆命题；垂直平分线的性质定理及其逆命题在实际问题中的运用。

教学过程

本节课设计了六个教学环节：第一环节：提出问题，情境引入；第二环节：定理的探索与证明；第三环节：新知应用；第四环节：解决问题；第五环节：课时小结；第六环节：作业布置。

第一环节：提出问题，情境引入

教师用多媒体展示中卫金沙岛的美丽图片。

师：中卫金沙岛这么美，你们想不想去转转？

生：想！

师：老师也想去转转，可是老师又怕累！

出示问题：

中卫金沙岛风景优美，其中薰衣草园、玫瑰园让不少游客流连忘返，为了方便游客旅行，计划在湖边修一个观光车车站，使它到薰衣草园和玫瑰园的距

A熏衣草园

离相等，观光车车站应建在什么位置?

B玫瑰园

学生思考回答：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，所以应建在线段AB的垂直平分线与湖的交点处。

师：很好，现在我们先来证明以前学过的这个定理。

设计意图：通过学生非常熟悉并且感兴趣的优美图片及旅游很美好，但又很累的感受引入，既刺激了学生的视觉兴趣，又自然引出解决“累”的方法。从而引入本课，自然而贴切。

第二环节：定理的探索与证明

（一）性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。

教师鼓励学生独立画图，写出已知、求证，并试着独立证明。一名学生上台板书，其他学生独立完成，教师巡视学生完成情况。

随后教师明确并写出已知、求证的内容。

已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上任意一点．

求证：PA=PB．

分析：要想证明PA=PB，可以考虑包含这两条线段的两个三角形是否全等．

证明：∵MN⊥AB，

PM∴∠PCA=∠PCB=90°

∵AC=BC，PC=PC, ∴△PCA≌△PCB(SAS)． ；

∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)．

特殊地，点P在C点处显然成立。

几何语言：如图, ACNB

∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一点(已知), ∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等). 设计意图：通过学生独立画图、分析、写出已知求证，并加以证明，使学生经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明能力．丰富对几何图形的认识。

过渡：你能写出上面这个定理的逆命题吗?它是真命题吗? 这个命题不是“如果……那么……”的形式，要写出它的逆命题，需分析原命题的条件和结论，将原命题写成“如果……那么……”的形式，逆命题就容易写出．鼓励学生找出原命题的条件和结论。

原命题的条件是“有一个点是线段垂直平分线上的点”．结论是“这个点到线段两个端点的距离相等”．

此时，逆命题就很容易写出来。

（二）逆命题：如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上．

写出逆命题后时，就想到判断它的真假．如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明．

组织学生四人一组合作交流，探索证明过程。

大致有如下几种证法： 证法一：

P已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB．

求证：P点在AB的垂直平分线上．

ACB证明：过点P作已知线段AB的垂线PC,PA=PB，PC=PC，

∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL定理)．

∴AC=BC，

即P点在AB的垂直平分线上．

证法二：取AB的中点C，过PC作直线．

∵AP=BP，PC=PC.AC=CB，

∴△APC≌△BPC(SSS)．

∴∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应角相等)．

又∵∠PCA+∠PCB=180°，

∴∠PCA=∠PCB=∠90°，即PC⊥AB ∴P点在AB的垂直平分线上．

P证法三：过P点作∠APB的角平分线．

∵AP=BP，∠1=∠2，PC=PC，

△APC≌△BPC(SAS)．

A12CB∴AC=BC，∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应角相等，对应边相等)．

又∵∠PCA+∠PCB=180°∴∠PCA=∠PCB=90°

∴P点在线段AB的垂直平分线上．

证法四：过P作线段AB的垂线PC．

利用等腰三角形三线合一

从同学们的推理证明过程可知线段垂直平分线的性质定理的逆命题是真命题，我们把它称做线段垂直平分线的判定定理．

逆定理：到一条线段两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．

展示几何语言：如图, A B P P12ACB∵PA=PB(已知),

∴点P在AB的垂直平分线上

(到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上). 设计意图：通过小组活动，学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果。并且培养学生一题多解的能力。

提问：如图所示的线段PC是否在AB的垂直平分线上？

生：不在，因为“两点确定一条直线”。

A c B P 设计意图：既强调了重点及易错处，又为接下来的例题做好铺垫。

那么，我们现在来看这道例题：

已知：如图 1-18，在

△ABC 中，AB = AC，O 是

△ABC 内一点，且 OB = OC. 求证：直线 AO 垂直平分线段BC。．

证明：∵ AB = AC，

∴

点 A 在线段 BC 的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）. 同理，点 O 在线段 BC 的垂直平分线上. ∴

直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线（两点确定一条直线）. 学生是第一次证明一条直线是已知线段的垂直平分线，因此老师要引导学生理清证明的思路和方法并给出完整的证明过程。

设计意图：通过板书给学生示范证明过程的书写及知识点的应用。

第三环节：新知应用

1.如图,在△ABC中,已知AC=27,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,△BCE的周长等于50,求BC= . 2.已知：如图 MN是线段AB的垂直平分线，C、D是MN上两点，

A C

D M

求证：∠CAD=∠CBD

B E A

C

D

N

B

设计意图：两道典型例题，巩固本节课知识点，培养学生的应用意识及解题过程的书写习惯。

第四环节：解决问题

利用白板上的尺规进行演示解决

设计意图：首尾呼应，解决问题，并引出课堂小结环节。

第五环节：课堂小结

通过这节课的学习你有哪些新的收获？还有哪些困惑？

设计意图:课堂小结，整理思路，明确重点。

第六环节：课后作业

必做：习题1.7 1、3、4 选做：习题1.7 2 设计意图：分层布置，因材施教

A熏衣草园

B玫瑰园