习题训练优秀公开课教案

第十三章

《轴对称》

复习专题

一、本章知识结构框图

二、本章复习目标

1.理解轴对称与轴对称图形的概念，掌握轴对称的性质

2.掌握线段的垂直平分线的性质及应用

3.理解等腰三角形的性质并能够简单应用

4.理解等边三角形的性质并能够简单应用

5.能够按要求做出简单的平面图形的轴对称图形

重点：掌握线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，性质及应用

难点：等腰三角形性质的应用，通过学习各个性质和判定，培养学生的综合应用能力和几何感觉

三、主要考点

考点一：轴对称的有关概念和性质

1.轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合

2.轴对称：如果把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合

3.轴对称的性质：成轴对称的两个图形是全等的

对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线

例

1

（期末第6题；14年中考第3题）下列标志中，可以看作是轴对称图形的是

1

A B C D

点评：本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠课重合

例2（期末第8题）如图，△ABC与△ABC关于直线l对称，且∠A=78°，

∠C=48°，则∠B的度数是

A．48°

B．54°

C．74°

D．78°

第8题

点评：本题考查的是轴对称变换，图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等是解答此类题的关键

练习

（期末第4题）下列交通标志图案是轴对称图形的是

A C B

（11年中考第5题）

（15年中考第10题）

考点二：轴对称作图题

1.画轴对称图形

2.用坐标表示成轴对称

关于x轴对称的点 相同 是相反数

关于y轴对称的点 相同 是相反数

3.路径最短问题

两点在一条直线的两侧

两点在一条直线的同侧

一点在两相交直线内部

一点在两相交直线内部

两点在一条和两侧

例3 （西青14~15期末第22题）

(Ⅰ)把下图补成关于直线l对称的图形

2 D ly 3 2 1 A C O -4 -3 -2 -1 -1 B l -2 -3 1 2 3 4

x

（Ⅱ）如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（－2，2），B（－3，－2），C（－1，0），画出△ABC的关于y轴对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1各顶点的坐标. 点评：本题考查轴对称的对称方法和坐标系内轴对称的符号特征. 例4 （西青期末第18题）如图，P，Q分别为△ABC边AB，AC上的两个定点. A 问在BC上是否存在点R，使△PQR的周长最小.

（用“存在”或“不存在”填空）. 如果存在，请在图中画出满足条件的点R并写出画法；

如果不存在，请说明理由. B 第18题

Q ·

P ·

C

练习

1.⑴点（-3，5）关于x轴对称的是（ ）关于y轴对称的是（ ）

⑵M（2a+b，a-2b）与N（2，3）关于y轴对称。则a= b= ⑶已知点M(3a-b,5)，N (9,2a+3b)关于x轴对称，则ab= ⑷已知点P关于x轴的对称点为（a，-2），关于y轴对称点为（1，b），那么点P的坐标为（

）

2（期末第22题）如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（－2，3），B（－4，1），C（－1，1），请在平面直角坐标系内分别作出△ABC关于y轴，x轴对称的△A1B1C1，△y A2B2C2，并写出点A1，A2的坐标. A 3

2

B C 1

-4 -3 -1 -2 O 1 2 3 4

x

-1

-2

-3 3作△ABC关于直线 的对称图形△A’B’C’

第22题

4公路l旁有两个工厂A,B，现要求建一座仓库P。

①若要使仓库P到A,B两厂的距离相等，仓库P应建在何处？

②若要使仓库P到A,B两厂的距离之和最小，仓库P应建在何处？

3

ll

l5小明从家A到河边 去提水然后到公路m上浇树再返回家里问怎么走路程最短？

再想想如果返回小明阿姨家B怎么办？

l

l

mm

6如下面图：某地有两所大学和两条相交叉的公路，（点M，N表示大学，AO，BO表示公路）.现计划修建一座物资仓库，希望仓库P到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等。你能确定仓库P应该建在什么位置吗？

AO

M

N

B考点三：线段的垂直平分线

定义：经过线段的_______,且和这条线段________的直线

性质：线段垂直平分线上的点到

的距离相等

判定：到

距离相等的点在线段的垂直平分线上

结论：

三角形三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等

应用：1.证明线段相等；2.证明垂直；3.证明点在直线上

辅助线：（已知垂直平分线如何加辅助线）——连接垂直平分线上的点到线段两端点的线段

例5

如图，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线AE于E，EF⊥AB于F，•EG⊥AC交AC延长线于G．

求证：BF=CG．

点评：1.要证明BF=CG需要构造什么？

2.E是BC的垂直平分线上的线应添加什么辅助线？

3.点E是∠BAC的平分线上的点，能得到什么结论？

练习

1如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线．

(1)若AC＝6，△ABD的周长是13，则△ABC的周长是_______；

4

(2)若△ABC的周长是30，△ABD的周长是25，则AC＝_______．

2如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、点D. 若BC＝8，则△ADE的周长是_______；

3（西青期末25题）

已知：如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于点D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于点E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连接DH与BE交于点G.

A

（Ⅰ）求证：BF=AC；

D

F

E

G

H

第25题

1（Ⅱ）求证：CE=BF；

2

B

（Ⅲ）你能猜想出GE+CE与BG的大小关系吗？请证明你的猜想. C

考点四：等腰三角形的性质与判定

（1）性质：等边对等角

等腰三角形

、

、

重合（三线合一）

（2）判定：等角对等边

例6 （

期末第7题）

等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为

A．12 B．15

C．12或15 D．18 点评：等腰三角形边与角计算中的分类讨论思想与方程思想

例7 如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O，过点O作

DE∥BC，与AB，AC分别相交于点D，E，若BD+EC=5，则DE等于

A．7

B．6

C．5

D．

4

点评：运用等腰三角形的判定，平行线的性质解决问题

练习

1.（1）等腰三角形的一边长为5，另一边长为11，则该等腰三角形的周长为

（2）等腰三角形的两边长分别为4、5.则该等腰三角形的周长为

（3）已知等腰三角形的一个外角为100°，则这个等腰三角形的顶角为__________．

（4）等腰△ABC中，若∠A=30°，则∠B=

．

（5）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为300，则它的顶角度数为_________.

（6）如图③，

AB=AC=DC，且BD=AD，则∠B=___

__．

2．如图，在△ABC中，BC=8 cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且PD∥AB，PE∥AC，求△PDE的周长．

3如图，在△ABC中，BD、CE是高，G、F分别是BC、DE的中点，

连接GF，求证：

GF⊥DE．

③

5

4.如图，设∠BAC=θ（0°＜θ＜90°）.现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB，AC上.从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第一根小棒，且A1A2=AA1 . (1)小棒能无限摆下去吗？答：

.(填“能”或“不能”)

(2)若已经摆放了3根小棒，则θ1 =___________，θ2 =__________，θ3=__________；（用含θ的式子表示）

考点五：等边三角形的性质与判定

（1）等边三角形的性质：

等边三角形的三条边

，三个角都是

，每条边上都有三线合一，

（2）等边三角形的3个判定方法：

三条边都

的三角形是等边三角形

三个角都

的三角形是等边三角形

有一个角是

的

三角形是等边三角形

（3）直角三角形中，30°的角所对的直角边等于

例8（西青期末第12题）．如图，△ABC为等边三角形，BM= CN，AM与BN

A 相交于点P，则∠APN等于

A．70°

B．60°

N P

C．50°

D．40° C B M 点评：全等三角形的判定，性质及等边三角形的概念

第12题

例9

如图，C为线段AB上任意一点（不与A、B重合），在AB的同侧分别作

△ACD和△BCE，CA＝CD，CB＝CE，∠ACD与∠BCE都是锐角，且∠ACD＝∠BCE，连接AE交CD于点M，连接BD交CE于点N，AE与BD交于点P，连接PC．

试说明：(1)

△ACE≌△DCB．

(2)

PC平分∠APB．

练习

1 如图，C为线段AE上一动点(点C不与点A、E重合)，在AE的同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE相交于点O，AD与BC相交于点P，BE与CD相交于点Q，连接PQ．下列五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°，其中恒成立的有__________(填序号)．

6

2如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M．

（1）求证：△ABQ≌△CAP；

（2）当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．

（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数．

l

7