有理数乘除法的混合运算教学内容分析

1.4.2 第二课时

有理数的四则混合运算

一、教学目标

（一）学习目标

1.掌握有理数的加减乘除混合运算．

2.会综合应用知识解决实际问题；了解用计算器计算有理数的四则运算的方法．

（二）学习重点

掌握有理数的加减乘除混合运算．

（三）学习难点

掌握运算顺序以及灵活运算法则．

二、教学设计

（一）课前设计

1.预习任务

计算下列各题

（1）2382=

-2

；

（2）562=

-2

，

24032（3）24372=

22

；

（4）167=



．

7953观察上面四个小题，你发现有理数的混合运算的运算顺序是先乘除、后加减，如果有括号，先算小括号里面的，再算大括号里面的.

2.预习自测

1（1）计算：10+2÷×（﹣2）

3【知识点】有理数的混合运算．

【解题过程】解：原式=10+2×3×（﹣2）=10﹣12=﹣2．

【思路点拨】原式先计算乘除运算，再计算加减运算即可得到结果．

【答案】﹣2．

（2）计算：【知识点】有理数的除法．

1 ．

【解题过程】解：=．

【思路点拨】把除法变为乘法，再按照乘法的分配律进行计算．

【答案】23．

（3）计算

【知识点】有理数的混合运算．

【解题过程】解：原式=﹣×﹣×

= ×（﹣﹣）

=﹣．

．

【思路点拨】先把除法化为乘法，然后利用乘法的分配律进行计算．

【答案】﹣．

（4）计算：3.75×（2﹣1）+85%÷3．

【知识点】有理数的混合运算．【解题过程】解：原式= ×+÷

= +×= += ．

【思路点拨】根据有理数混合运算顺序先计算括号内的，再计算乘除运算，最后计算加减即可得．

【答案】

（二）课堂设计

1.知识回顾

有理数的混合运算中，先算__乘除___，再算__加减___，如果有括号，先算__括号内的__，再算_括号外的__.

2.问题探究

探究一

掌握有理数的加减乘除混合运算．★▲

●活动①

回顾旧知

师问1：在小学里，加减乘除四则运算的顺序是怎样的？

学生举手抢答．

总结：先乘除后加减，同级运算从左往右依次进行，有括号的，先算括号内的，另外还要注意灵活应用运算律．扩充到有理数的范围内，四则运算依然适用．

2 ．

例1．计算：

（1）－8+4÷（－2）；

（2）（－7）×（－5）－90÷（－15）．

师问2：你认为这两个算式的运算顺序是怎么样的？

生答：（1）按运算顺序，先做除法，再做加法．（2）先算乘、除法，然后做减法．

师讲：那同学们就动手做一做吧.

师生活动：有两名中等学生到黑板板演,结束后由学生点评.

师问3：你认为这两个题目中什么地方最容易出错？

师生活动：小组交流后得出结论

生答：第1题中，除法运算后的结果是负数，可能会忘掉，第2题中除法运算后的结果是负数，减去一个负数时，可能忘了变号.

总结：在计算过程中，最容易出错的问题是符号问题，当题目中出现负号时要高度预警，特别要注意.

【设计意图】通过例题的板演，让学生动手，体会解答过程，体会计算中最容易出错的符号问题.

●活动②

强化练习

巩固新知

练习：

计算：（1）6123

；

（2）34287；

23（3）488256

；

（4）420.25．

34师生活动：由4个同学在黑板上板演、再由学生点评. 【知识点】有理数的混合运算. 【解题过程】解：（1）6123

=64

=2

（2）34287

=124

=－16

（3）488256

= 6150

3

=－156 23

（4）420.25

34

=283

=－25 【思路点拨】注意观察运算结构，确定运算顺序，还需注意计算结果的符号问题.

【答案】（1）2、（2）－16，（3）－156，（4）－25. 【设计意图】在例题讲完之后，紧跟4个练习，让学生能够尽快熟练掌握有理数的混合运算.

探究二

会运用综合应用知识解决实际问题▲

●活动①

体会实际问题中的有理数的混合运算

例9：某公司去年1～3月平均每月亏损1.5万元，4～6月平均每月盈利2万元，7～10月平均每月盈利1.7万元，11～12月平均每月亏损2.3万元，这个公司去年总的盈利情况如何？

【知识点】实际问题中有理数的混合运算．

【解题过程】解：（－1.5）×3+2×3+1.7×4+（－2.3）×2

=－4.5+6+6.8－4.6=3.7（万元）．

答：这个公司去年全年盈利3.7万元．

【思路点拨】盈利与亏损是具有相反意义的量，我们把盈利额记为正数，亏损额记为负数，那么公司去年全年亏盈额就是去年1～12月的所亏损额和盈利额的和．

【答案】全年盈利3.7万元．

【设计意图】根据分析相反意义的量，弄清“平均每月”的含义，让学生体会生活中的有理数的混合运算.

●活动②

计算器的使用

师讲：

计算器是一种方便实用的计算工具，用计算器进行比较复杂的数的计算，比笔算要快捷得多．例如：用计算器计算例9中的：（－1.5）×3+2×3+1.7×4+（－2.3）×2 师生活动：学生阅读课本第37页有关内容，按课本介绍的方法操作．教师巡视，关注学习有困难的学生，给予指导．

【设计意图】让学生体会数学计算与现代科技的联系.

3.课堂总结

知识梳理

（1）掌握有理数混合运算的运算顺序.

4

（2）理解有理数混合运算中的易错点：符号问题.

（3）能从实际问题中提炼有理数混合运算的模型，了解用计算器计算有理数的混合运算.

重难点归纳

（1）在运算过程中，一级运算的结果出现负号时，注意要有整体意识.

（2）混合运算的运算顺序.

（三）课后作业

基础型

自主突破

1.下列计算结果等于0的是（

）

A.（﹣1）+（﹣1）

B．（﹣1）﹣（﹣1）

C．（﹣1）×（﹣1）

D．（﹣1）÷（﹣1）

【知识点】有理数的混合运算．

【解题过程】解：A.原式=﹣2，不符合题意；B.原式=﹣1+1=0，符合题意；

C.原式=1，不符合题意；D、原式=1，不符合题意.

【思路点拨】各项计算得到结果，即可作出判断．

【答案】B 2.计算12+（﹣18）÷（﹣6）﹣（﹣3）×2的结果是（

）

A．7

B．8

C．21

D．36

【知识点】有理数的混合运算．

【解题过程】解：原式=12+3+6=21，

【思路点拨】原式先计算乘除运算，再计算加减运算即可得到结果．

【答案】C

3.计算：1283742的结果是

．

【知识点】有理数的混合运算．

【解题过程】解：原式=12－（24+28）÷（－2）

=12+26

=38

【思路点拨】原式先确定运算顺序，再注意符号问题．

【答案】38.

4.如图所示是计算机某计算程序，若开始输入x=3，则最后输出的结果是

．

5

【知识点】有理数的混合运算．

【解题过程】解：根据题意可知，3×4﹣2=10=10，

所以再把10代入计算：10×4﹣2=38＞10，

即38为最后结果．

【思路点拨】把3按照如图中的程序计算后，若＞10则结束，若不是则把此时的结果再进行计算，直到结果＞10为止．

【答案】38．

5.计算：1+[4﹣（+﹣）×24]÷5．

【知识点】有理数的混合运算．

【解题过程】解：1+[4﹣（+﹣）×24]÷5

=1+[4﹣×24﹣×24+×24]÷5

=1+[4﹣9﹣4+18]÷5

=1+9÷5

=1+1.8

=2.8

【思路点拨】根据有理数的混合运算的运算方法，应用乘法分配律，求出算式的值是多少即可．

【答案】2.8．

6.浙江省居民生活用电可申请峰谷电，峰谷电价如下表：

高峰时间段用电价格表

高峰电价

（单位：元/千瓦时）

低谷时间段用电价格表

低谷月用电量

（单位：千瓦时）

50及以下部分

0.568

超过50至200的部分

超过200的部分

低谷电价

（单位：千瓦时）

0.288

0.318

0.388

小远家5月份的高峰时间用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为300千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为多少元？

【知识点】有理数的混合运算．

6

【解题过程】解：根据题意得：200×0.568+50×0.288+150×0.318+100×0.388=113.6+14.4+47.7+38.8=214.5（元），

则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为214.5元．

【思路点拨】根据表格中各自的电价列出算式，计算即可得到结果．

【答案】214.5元．

能力型

师生共研

1.计算12341415等于（

）

24682830A．

B．

C．

D．

【知识点】有理数的混合运算．

【解题过程】解：分子上1﹣2+3﹣4+…﹣14+15=1+3+5+…15﹣（2+4+…14）=64﹣56=8，

分母上﹣2+4﹣6+8﹣…+28﹣30=4+8+12+…+28﹣（2+6+10+14+18+…+30）=﹣16，

∴原式=﹣．

【思路点拨】本题可结合等差数列的性质，将相加相减的项分成两大项，然后再进行计算即可求得结果．

【答案】D．

2.任何一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p、q是正整数，且p≤q），如果p×q在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并规定：F（n）=，例如18可以分解成1×18，2×9或3×6，则F（18）=5×7，则F（35）=，则F（24）的值是（

）

A．

B．

C．

D．

【知识点】有理数的混合运算．

，例如35可以分解成1×35，【解题过程】解：∵24=1×24=2×12=3×8=4×6，∴F（24）==，

【思路点拨】由24=1×24=2×12=3×8=4×6结合最佳分解的定义即可知F（24）=．

【答案】A．

探究型

多维突破

1.高斯函数[x]，也称为取整函数，即[x]表示不超过x的最大整数．

7

例如：[2.3]=2，[﹣1.5]=﹣2．

则下列结论：

①[﹣2.1]+[1]=﹣2；②[x]+[﹣x]=0；

③若[x+1]=3，则x的取值范围是2≤x＜3；

④当﹣1≤x＜1时，[x+1]+[﹣x+1]的值为0、1、2．

其中正确的结论有

（写出所有正确结论的序号）．

【知识点】有理数的混合运算．

【解题过程】解：①[﹣2.1]+[1]=﹣3+1=﹣2，正确；

②[x]+[﹣x]=0，错误，例如：[2.5]=2，[﹣2.5]=﹣3，2+（﹣3）≠0；

③若[x+1]=3，则x的取值范围是2≤x＜3，正确；

④[x+1]+[﹣x+1]= [x]+1+[﹣x]+1= [x]+[﹣x]+2，当﹣1≤x＜1时，若x为整数时，

[x+1]+[﹣x+1]=0+2=2；若x为小数时，[x+1]+[﹣x+1]=-1+2=1，所以其可能的值为1、2，故④项错误。

【思路点拨】根据[x]表示不超过x的最大整数，即可解答．

【答案】①③．

2.阅读下面的文字，完成后面的问题：

我们知道：那么：

（1）

=

；=

；

=1﹣，

= ，

= ﹣

（2）用含有n的式子表示你发现的规律

；

（3）求式子++…+旳值．

【知识点】有理数的混合运算．

【解题过程】解：（1）（2）

= ﹣；

= ﹣；

111；

nn1nn1

+ ﹣+…+﹣

=1﹣

= ．

（3）原式=1﹣【思路点拨】（1）观察上述等式，得到结果即可；

（2）归纳总结得到拆项规律，写出即可；

（3）利用拆项法化简原式，计算即可得到结果．

8

【答案】（1）﹣；

自助餐

自我拓展

﹣；（2）111．

nn1nn11.计算62124的结果是（

）

A.30

B.6

C.﹣30

D.﹣6

【知识点】有理数的混合运算．

【解题过程】解：原式=6×（－5）=﹣30．

【思路点拨】原式先计算括号里面的乘除运算，再计算加减运算，再算括号外面的运算即可得到结果，注意绝对值的计算．

【答案】C

2.如果规定符号“★”的意义为a★b=A.6

B.﹣6

C.

D.【知识点】有理数的混合运算．

ab，则2★（﹣3）的值是（

）

ab

【解题过程】解：2★（﹣3）==6．

【思路点拨】按照规定的运算方法改为有理数的混合运算计算即可．

【答案】A．

x1yxy3.定义运算：x★y=，则（﹣1）★2=

．

y1xxy【知识点】有理数的混合运算．

【解题过程】解：∵﹣1＜2，∴（﹣1）★2=2×[1﹣（﹣1）]=2×2=4

【思路点拨】根据★的含义，以及有理数的混合运算的运算方法，求出（﹣1）★2的值是多少即可．

【答案】4．

4.为了缓解城市拥堵，某市对非居民区的公共停车场制定了不同的收费标准（见下表）．

地区类别

一类

二类

首小时内

2.5元/15分钟

1.5元/15分钟

9 首小时外

3.75元/15分钟

2.25元/15分钟

三类

0.5元/15分钟

0.75元/15分钟

如果小王某次停车3小时，缴费24元，请你判断小王该次停车所在地区的类别是

（填“一类、二类、三类”中的一个）．

【知识点】有理数的混合运算．

【解题过程】解：如果停车所在地区的类别是一类，应该收费：2.5×4+3.75×8=40（元），

如果停车所在地区的类别是二类，应该收费：1.5×4+2.25×8=24（元），

如果停车所在地区的类别是三类，应该收费：0.5×4+0.75×8=8（元），

所以，类别是二类．

【思路点拨】根据公共停车场的收费标准，分别求出三个类别停车所在地区的收费，进而求解即可．

【答案】二类．

5.符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算如下：f（1）=1+，f（2）=1+，f（3）=1+，f（4）=1+…

（1）利用以上运算的规律写出f（n）=

；（n为正整数）

（2）计算：f（1）•f（2）•f（3）•…•f（100）的值．

【知识点】有理数的混合运算．

【解题过程】解：（1）∵f（1）=1+，f（2）=1+，f（3）=1+，f（4）=1+…

∴f（n）=1+2．

n（2）f（1）•f（2）•f（3）•…•f（100）

=（1+）（1+）（1+）（1+）…（1+=××××…×==5151

【思路点拨】（1）根据f（1）、f（2）、f（3）、f（4）的运算方法，写出f（n）的表达式即可．

（2）根据（1）中求出的f（n）的表达式，求出f（1）•f（2）•f（3）•…•f（100）的值是多少即可．

2【答案】1+．

n10 ）

6.探究规律，完成相关题目

沸羊羊说：“我定义了一种新的运算，叫❈（加乘）运算．”

然后他写出了一些按照❈（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：

（+5）❈（+2）=+7；（﹣3）❈（﹣5）=+8；

（﹣3）❈（+4）=﹣7；（+5）❈（﹣6）=﹣11；

0❈（+8）=8；（﹣6）❈0=6．

智羊羊看了这些算式后说：“我知道你定义的❈（加乘）运算的运算法则了．”

聪明的你也明白了吗？

（1）归纳❈（加乘）运算的运算法则：

两数进行❈（加乘）运算时，

．

特别地，0和任何数进行❈（加乘）运算，或任何数和0进行❈（加乘）运算，

．

（2）计算：（﹣2）❈[0❈（﹣1）]=

．（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致）

（3）我们知道加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的❈（加乘）运算中还适用吗？请你任选一个运算律，判断它在❈（加乘）运算中是否适用，并举例验证．（举一个例子即可）

【知识点】有理数的混合运算．

【解题过程】解：（1）归纳❈（加乘）运算的运算法则：

两数进行❈（加乘）运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加．

特别地，0和任何数进行❈（加乘）运算，或任何数和0进行❈（加乘）运算，等于这个数的绝对值．

（2）（﹣2）❈[0❈（﹣1）]=（﹣2）❈1=﹣3

（3）加法交换律和加法结合律在有理数的❈（加乘）运算中还适用．

由❈（加乘）运算的运算法则可知：

（+5）❈（+2）=+7，（+2）❈（+5）=+7，所以（+5）❈（+2）=（+2）❈（+5），

即加法交换律在有理数的❈（加乘）运算中还适用．

故答案为：同号得正，异号得负，并把绝对值相加；等于这个数的绝对值；﹣3．

【思路点拨】（1）首先根据❈（加乘）运算的运算法则进行运算的算式，归纳出❈（加乘）运算的运算法则即可；然后根据：0❈（+8）=8；（﹣6）❈0=6，可得：0和任何数进行❈（加乘）运算，或任何数和0进行❈（加乘）运算，等于这个数的绝对值．

（2）根据（1）中总结出的❈（加乘）运算的运算法则，以及有理数的混合运算的运算方法，11

求出（﹣2）❈[0❈（﹣1）]的值是多少即可．

（3）加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的❈（加乘）运算中还适用，并举例验证加法交换律适用即可．

【答案】﹣3.

12