有理数比较大小课堂实录【2】

有理数之二：相反数、绝对值、有理数大小的比较（一）

一、重点：是相反数、绝对值的概念，这是很重要的两个概念，要求掌握。要能进行有理数的相反数、绝对值的一些初步计算及有理数大小的比较。

难点：是对绝对值意义的理解。

二、知识要点：

1．相反数：只有性质符号不同的两个数，才互为相反数。如

和- ；-3和3；7和-7都是互为相反数。0的相反数是0，由定义知相反数是成对出现的（但-3和5不叫相反数），数轴上表示它们的点分别在原点的两侧且与原点的距离相等。如下图，5 与-5 互为相反数，

一般地，数a的相反数是-a, 记作-(a)=-a；-a的相反数是a, 即-(-a)=a，这里a可表示正数，负数和

0。

正数的相反数是负数；0的相反

数还是0；负数的相反数是正数。例如：-（+5）=-5，-0=0，-（-7）=7等等。

2．绝对值：

（1）几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示a的点与原点的距离。

数a的绝对值记作|a|。例如-3在数轴上表示它的点与原点的距离是3个单位长度，如图，

∴

-3的绝对值是3，即|-3|=3。

（

2）代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。

用式子表示为：若a是有理数，则

|a| =

或

|a|=

或

|a| =

这几种表示法是等价的。例如：|5|=5，

|0|=0，

|-6|=6等等。

由绝对值的概念可知：

①一个数绝对值是非负数，即|a|≥0。

②互为相

反数的两个数的绝对值相等。

例如：|-7|=7，|7|=7。反之，若|m|=8,则m=±8,在这里要考虑到m的两种情况，建立分类的思想。

3．

有理数大小比较的法则如下：

（1）利用数轴比较有理数的方法；即在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

（2）比较有理数的一般方法；即正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。

（3）两个负数比较大小的方法和步骤：

①先求出两个负数的绝对值，比较两个绝对值的大小。

②用法则判断：绝对值大的反而小。

例如，试比较- 与- 的大小，因为|- |= ，|- |= ，而

> , 所以- <- 。

三、例题：

例1．判断正误

（1）符号相反的数叫相反数；

（2）数轴上原点两旁的数叫相反数；

（3）-a是相反数，

（4）-a和a都是相反数。

分析：（1）不正确。例如，-8和7的符号相反，但它们不互为相反数。（说明：当我们否定一件事情时，只需举出一个反例。）

（2）不正确。例如，-9和5在数轴上表示它们的点

一个在原点左侧，一个在原点右侧，但它们不互为相反数。

（3）不正确。因为相反数指的是两个数之间的关系，只有一个数时，不能说是相反数。例如-4是4的相反数，而不能说-4是相反数。

（4）不正确。应说成：-a和a互为相反数。

例2．

（1）用相反数的概念化简-[-(- )]

（2）一个数的倒数是

，求这个数的相反数。

（3）一个数的相反数的倒数是3 ，求这个数。

解：（1）-(- )表示- 的相反数，- 的相反数是

，

∴-(- )= ，

同样-[ ]=- ，∴

-[-(- )]=-[ ]=- 。

（2）∵

的倒数是

，

∴

这个数是

，

∴

-（

）=- ，

∴这个数的相反数是- 。

注意：要弄清楚倒数与相反数两个名词的区别，不要弄混淆。

（3）∵3 = ，

的倒数是

，

的相反数是- ，

∴

这个数是- 。

我们还可以利用方程的方法来解（3）小题：

设这个数为x，依题意得：

-x= ,

∴- x=1,

∴

x=- 。

当然在没有学习有

理数运算的同学做起来会有一些困难，但对于学有余力的同学不妨试一试。

例3．比较-5 和-5.6的

大小。

解：∵|-5 |=5 =5. ,

|-5.6|=5.6,

∴|-5 |>|-5.6|

∴-5 <-5.6。

(两个负数比较大小，绝对值大的反而小)。

例4．比较m与|m|的大小。

分析：∵|m|≥0, 而m为有理数，它可能为正数，负数或0，因此我们必须分三种情况进行讨论，数学上称这种思想方法为“分类讨论”。

解：当m≥0时，|m|=m, ∴m=|m|,

当m<0时，|m|=-m>0, ∴

m<|m|。

综上所述，当m≥0时，m=|m|；

当m<0时，

m <|m|。

例5．若|x|=8, |y|=5, 求

x+y的值。

解：∵|x|=8, ∴

x=±8 (注意x可取两个值)

∵|y|=5, ∴

y=±5。

(同上)

由此可知x, y共有四组不同的取值，下面分别进行讨论（即分类讨论）：

当x=8, y=5时, x+y=8+5=13；

当x=8, y=-5时, x+y=8+(-5)=3；

当x=-8, y=5时, x+y=(-8)+5=-3；

当x=-8, y=-5时, x+y=(-8)+(-5)=-13；

∴x+y的值为±13或±3。

注意：此题应用到了有

理数的加减法，未学加减法的同学可注重理解解题思路。